§24 常用的连续型分布 一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布

一、均匀分布 均匀分布 均匀分布的分布函数

一、均匀分布 均匀分布 均匀分布的数字特征

二、指数分布 指数分布 指数分布的分布函数

二、指数分布 指数分布 指数分布的数字特征

二、指数分布 指数分布 定理25(指数分布的无记忆性 ) 非负连续型随机变量X服从指数分布的充要条件是 对任意正实数r和s 有

例222 某元件的寿命X服从指数分布 已知其平均寿命为1000 h 求3个这样的元件使用1000 h 至少已有一个损坏的概率 解 由题设知 EX1000 h 于是该指数分布的参数为 P{X1000} 1P{X1000} 1F(1000) e1 各元件的寿命是否超过1000 h是独立的 于是3个元件使用1 000h都未损坏的概率为e3 从而至少有一个已损坏的概率为1e3 从而X的分布函数为 由此得

三、正态分布 正态分布 正态分布的数字特征 正态分布的期望和方差为 EX DX 2 (276) 可见 正态分布的两个参数实际上分别为其数学期望和方差

正态分布的密度函数的特征 正态分布的“钟型”特征与实际中很多随机变量的“中间大 两头小”的分布规律相吻合 说明

正态分布的密度函数的特征 说明 比如考察一群人的身高 个体的身高作为一个随机变量 其分布的特点是 在平均身高附近的人较多 特别高和特别矮的人较少

正态分布的密度函数的特征 说明 一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征 进一步的理论研究表明 一个变量如果受到大量的独立因素的影响(无主导因素) 则它一般服从正态分布

正态分布的密度函数的特征 1 正态分布的分布函数

2 标准正态分布表 标准正态分布 标准正态分布表 在附录中列出了标准正态分布的密度函数值表和分布函数值表 但表中只列出x0时0(x)和0(x)的值 这是因为由正态分布的对称性可以导出0(x)和0(x)在x0时的值

2 标准正态分布表 标准正态分布 标准正态分布表 对于0(x)而言 直接由其对称性有 0(x)0(x) 因而 当x0时 0(x)0(x) 在表中查0(x)即得0(x)

2 标准正态分布表 标准正态分布 标准正态分布表 对于0(x) 由于0(x)关于x0对称 有 0(x)0(x)1 (280) 特别地 有0(0)05 当x0时 由0(x)10(x) 查表得0(x) 即可得0(x)  提示

例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|x|b}09242 P{Xc}02981 求a b c  解 (1)直接查表可得 P{X196}0(196) 0975 根据0(x)的对称性 有 P{X196}0(196) 10(196) 109750025 P{|X|196}P{196X196} 0(196)0(196) 20(196)1 209751095 P{1X2}0(2)0(1) 0(2)[1(1)] 0(2)0(1)1 097725084131081855

例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|x|b}09242 P{Xc}02981 求a b c  解 (2)直接查表可得a053 由 P{|X|b}20(b)109242 查表即得 b178 由于P{Xc}0298105 所以c0 根据对称性 有 0(c)10(c)07019 查表得c053 c053

3 一般正态分布与标准正态分布的关系 定理26(正态分布的线性变换) 设X~N(  2) YaXb a b为常数 且a0 则 Y~N(ab a2 2)  推论1 推论2 X~N(  2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使得X 提示 通常称为X的标准化

推论3 设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数 0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有 4 一般正态分布的概率计算 一般正态分布与标准正态分布的关系 为一般正态分布的概率计算提供了有效的途径 对于一般正态分布的有关问题 尤其是概率计算 都可以转化为标准正态分布来解决

例224 已知X~N(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P{75X10} (3)P{|X8|1} (4)P{|X9|05} 解 (1) (9)P{X9} 0(2) 097725 (7)P{X7} 0(2) 10(2) 002275

例224 已知X~N(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P{75X10} (3)P{|X8|1} (4)P{|X9|05} 解 (2) 0(4)0(1) 0(4)0(1)1 09999708413108413

例224 已知X~N(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P{75X10} (3)P{|X8|1} (4)P{|X9|05} 解 (3) 20(2)1 20.977251 09545 (4) 0(3)0(1) 09986508413 01573

例225 某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(2) 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为9236% 为使其寿命在x和x之间的概率不小于09 x至少为多大？ 解 由P{X250}P{X350} 根据密度函数关于x对称