开拓视野 深化研究 促进内涵发展 小学数学概念教学研究 曹培英

一、教学研究的现状与改进 1.现状 小学数学概念教学研究了近百年。 似乎每个角落都被反复挖掘，似乎早就没了未开垦的处女地。 改进的着力点：集中于教学方式、方法的表现力 …… 就教学研究教学的局限性不言而喻。 怎样跳出局限？ 容易形成共识：必须拓宽视野。

一、教学研究的现状、反思与改进 2.怎样拓宽视野 历史观：数学文化的重要内涵。 1972年成立了专门研究数学史与数学教育的国际组织（HPM）。 现状呢？ 数学文化只是“花边”“点缀”“调料”。 数学文化的教学功能待挖掘、提升。 到定点的距离等于定长的轨迹叫做圆 “圜，一中同长” →同圆无数条半径都相等 “圆出于方”

一、教学研究的现状、反思与改进 2.怎样拓宽视野 历史观： 数学观：数学教学及其研究的统领性观点。 “不了解、曲解学科本意的改进甚至是一种危险”。(顾泠沅) “何为大数？”“100万有多大？” 100万细菌、星球…… “从现有的课例(包括‘课标’)列举的往往是一些没事找事、人为编造、十分牵强的例子，误人不浅”。 —方运加

大数靠概念推出数感！ 有时无法也无需实验检验。 这是数学的本质特征与精髓。 只知眼见为实恰恰是理性思 维的缺失。 当时知道，难成素养 数学依靠推理获得正确结论， 有时无法也无需实验检验。 这是数学的本质特征与精髓。 只知眼见为实恰恰是理性思 维的缺失。 8844m▲ 100张1厘米 100×100张100厘米 1万张1米 10000×1万张10000米 1亿张1万米 当时知道，难成素养

一、教学研究的现状与反思 怎样拓宽视野？ 历史观： 数学观： 教学观：在研究“学”的基础上研究“教”。 如今，“学情分析”已成教案规定栏目，但大多以教材编排的“应然”代替“实然”，用经验判断代替真实调研…… 例如：“几个与第几个”究竟难在哪里？

一、教学研究的现状与反思 请看真实的调研。 　请看真实的调研。 实验１：教师左右手各拿5支铅笔，然后分别将手伸给学生，请学生从这只手中拿走三支笔，再从另一只手中拿走第三支笔。” 　实验结果是，所有被试都能拿对。 　实验２：示生活情境图，请学生看图说一说(教师口述)： 　“小胖排在第几个，小胖的前面有几个小朋 友，后面又有几个小朋友。” 　实验结果是，同样没有学生发生错误。 　以上两个测试表明，学生完全能够正确区分 生活情境中“几个和第几个”的不同含义，他们不一定能清晰地表达两者的区别，但能借助生活经验正确回答有关的实际问题。

一、教学研究的现状与反思 请看真实的调研。 实验3：看图回答。 △△□△○□△△○△●□△△■○△□△ 　实验3：看图回答。 　△△□△○□△△○△●□△△■○△□△ ①从左数起，●是第( )个，从右数起，第5个图形是( )。 ②■的右边有（ ）个图形，■的左边有（ ）个图形。 ③上面一共有（ ）个图形。 看着实物和实物图能说出正确答案的学生，面对由文字叙述的题目时，纷纷陷入了困惑与茫然。 分析：问题出在审题：学生中有的左右不分，有的不识字，有的识字但不理解题目意思。当教师读题后，特别是采用读一小题、填一小题的方式后，只有左右不分的学生出错。 结论：同一句指导语，小学生对语言指令的反应，听觉要比视觉更为灵敏、正确。即听觉理解优于视觉理解。 最佳对策：等待语文教学的进展！

一、教学研究的现状与反思 数学史 数 学 课程论 教学论 心理学 民族文化 融合 教学法 主要研究视角： 看来，只有在回归本原，秉承解放思想、实事求是精神的前提下，多视角的研究才有实际意义。 主要研究视角： 数学史 数 学 课程论 教学论 心理学 民族文化 融合 教学法

一、教学研究的现状与反思 数学概念的教学法研究 创设概念引进情境 展现概念形成过程 凸显概念本质内涵 揭示概念外延对象 适时使用概念变式 概括一般化策略： 创设概念引进情境 展现概念形成过程 凸显概念本质内涵 揭示概念外延对象 适时使用概念变式 在辨析中理解概念 在应用中掌握概念 研究具体内容的改进策略 圆柱的高有无数条？ “距离”是唯一确定的！ 圆柱的母线有无数条 (形成曲面的动线) 且与高相等

3.深度学习(基础教育领域) 深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实, 并将它们融入原有的认知结构中, 能够在众多思想间进行联系, 并能够将已有的知识迁移到新的情境中, 作出决策和解决问题的学习。 特点： 理解与批判 联系与构建 迁移与应用 个性化学习 …… 通常理解： 深度与广度 深入与拓展 深刻与灵活 因人而异

数学概念的深度学习(问题解决模式) 如“路程、时间、速度” 出示情境 让学生提出问题 两两比？谁最快？最慢？ 让学生自己选择问题探究 ( )和( )比, ( )比( )快。 交流比较快慢的方法

数学概念的深度学习(问题解决模式) 如“路程、时间、速度” …… 让学生自己选择问题探究 交流比较快慢的方法 推理 模型（广义） 直接比较：①象＞熊 ②牛＞熊 ③牛 象 熊最慢 归纳 牛最快 计算比较： ＞ 一般方法 比较“速度” 由③和①：牛＞象＞熊 传递 演绎 反过来： 熊＜象＜牛 逆反 路程÷时间＝速度 象8分跑544米 牛6分跑432米 →2分跑138米 →2分跑144米 →笔算544÷8 → 432÷6 估算不到每分70米 超过每分70米 转化 …… 运算（数感）

小学数学概念若干具体内容的 教学改进研究

二、认识小数的教学研究 1.小数与分数 “小数是十进分数”有问题吗？ 实数 小数 把小数看作十进分数仅局限在有理数范围内。 整数 自然数 有限或循环小数 无限不循环小数 实数 小数 无理数 把小数看作十进分数仅局限在有理数范围内。 为什么有了分数还要小数？

十进 十进 整数 小数 十分 十分 … … • ？ ？ ？ ？ 二、认识小数的教学研究 2.小数与整数 采用整数位值原则书写的十进分数（几十年的老话） 怎样加工， 为儿童理解？ 2.小数与整数 十进 十进 整数 小数 十分 十分 … 回归数学本色 促进概念同化 渗透对立统一思想 … • 一 ？ 十分之一 ？ 百分之一 千分之一 百 十 ？ ？ 十进制数模型 位值制、十进制计数法 “最妙的发明” 100 10 1 0.1 0.01 0.001

三、认识分数的教学研究 世界公认的教学难点 本质上是从自然数到非负有理数的跨越 “学习分数是儿童数学发展上的最严重的障碍” “1”的累加→“1”的等分 两个数→合起来表示一个数 本质上是从自然数到非负有理数的跨越

三、认识分数的教学研究 1.分数的含义 (原始意义) 国外众多学者认为有五种含义： 部分与整体 商 比 测量 算子 (解决除法封闭问题) (仅限同类量的比较) (以1/b为单位去量) (将一个集合转化为另外一个集合的变换) 即将一个特定的量先扩展a倍, 再压缩b倍的操作。 即分数乘法的意义 典型的简单问题复杂化！

三、认识分数的教学研究 1.分数的含义 国外众多学者认为有五种含义。 我们认为： 分数本质上是两个量的关系，具有相对性 整体与部分的关系 两个独立量的关系(测量) 男生人数占全班的2/5 男生人数是女生的2/3 a÷b＝a : b ＝a/b (b ≠0)

三、认识分数的教学研究 2.分数理解的文化因素 不同的读写顺序 三分之二： 分数线-分母-分子 Two-thirds：分子-分数线-分母 三分之二： 分数线-分母-分子 Two-thirds：分子-分数线-分母 共同点：“读写一致” 不同顺序的影响：各有利弊 除法与分数的关系 分数乘法 a b 2 3 a÷b＝ (b ≠0) 36× 理解为：36×2÷3 “算子” 2 3 a b a÷b＝ (b ≠0) 36× 理解为：36÷3×2 “归一”

三、认识分数的教学研究 3.中国文化背景下的分数教学 “归一” 概念教学意义重大！ 写出分数的生成 把单位1平均分 读出分数的数感 2/3什么意思？ 2/3的意思就是三分之二。 读出分数乘、除法的算法 2 3 -成3份 -表示其中2份 ：数学教育的中华民族特色 6 18的三分之二 18÷3×2 “归一” 9 18÷2×3 已知一个数的三分之二是18，求这个数

四、认识图形的教学研究 以平行四边形为例 两种引入方式： 从实物引入 从平行引入 “概念形成” “概念同化” 探究 ↓ 定义 儿子生成老子！ 探究 ↓ 定义 已知两组边平行→这样组成的四边形对边平行

四、认识图形的教学研究 以平行四边形为例 两种引入方式： 从实物引入 从平行引入 两者的异同： “概念形成” “概念同化” 比较项目 经验基础 思维方式 认知结构 概念形成 概念同化 直接经验为主 间接经验为主 归纳为主 演绎为主 顺应为主 同化为主 共同点：参与、理解

四、认识图形的教学研究 以平行四边形为例 平行四边形一般与特殊的关系 变化边 最一般 变化角 对边平行 对边相等 四边相等 对角相等 最特殊 四角相等

五、认识平均数的教学研究 1.平均数的统计意义是什么？ 平均数与中位数、众数都是刻画一组数据集中趋势的统计量。 通俗地讲，都是用一个数表示一组数据的一般水平(整体水平）。 小学生能理解吗？ 请看实证： 五、认识平均数的教学研究

《平均数》教学案例 射击比赛，比5轮（每轮环数最高得★，★多者胜） ： 轮次 一 小胖 3 小亚 4 小巧 8 小丁丁 ★

《平均数》教学案例 射击比赛，比5轮（每轮环数最高得★，★多者胜） ： ★ ★ ★ ★ 根据规则 ★ ★ ★ ★ 轮次 一 小胖 3 小亚 4 小巧 8 小丁丁 二 5 9 三 5 6 4 四 7 5 6 五 5 8 ★ ★ ★ ★ 根据规则 ★ ★ ★ ★ （1）根据数据，分析各人的射击水平。 数据分析观念

《平均数》教学案例 平均数 5 6 6 射击比赛，比5轮： 30÷5 （1）根据数据，分析各人的射击水平。 数据分析观念 代表数 轮次 一 小胖 3 小亚 4 小巧 8 小丁丁 二 5 9 三 5 6 4 四 7 5 6 五 5 8 5 6 6 30÷5 （1）根据数据，分析各人的射击水平。 数据分析观念 渗透：小胖，“众数” 小亚，“中位数”

《平均数》教学案例 平均数 5 6 6 7 射击比赛，比5轮： 30÷5 28÷4 （1）根据数据，分析各人的射击水平。 数据分析观念 代表数 轮次 一 小胖 3 小亚 4 小巧 8 小丁丁 二 5 9 三 5 6 4 四 7 5 6 五 5 8 5 6 6 30÷5 7 28÷4 （1）根据数据，分析各人的射击水平。 数据分析观念 渗透：小胖，“众数” 小亚，“中位数”

《平均数》教学案例 平均数 5 6 6 7 射击比赛，比5轮： 25÷5 30÷5 30÷5 28÷4 （1）根据数据，分析各人的射击水平。 代表数 轮次 一 小胖 3 小亚 4 小巧 8 小丁丁 二 5 9 三 5 6 4 四 7 5 6 五 5 8 5 25÷5 6 30÷5 6 30÷5 7 28÷4 （1）根据数据，分析各人的射击水平。 数据分析观念 渗透：小胖，“众数” 小亚，“中位数” ＝平均数；

《平均数》教学案例 平均数 5 6 6 ＜ ＞ 7 ＜ ＞ 7 射击比赛，比5轮： 25÷5 30÷5 30÷5 28÷4 轮次 一 小胖 3 小亚 4 小巧 8 小丁丁 二 5 9 三 5 6 4 四 7 5 6 五 5 8 平均数 5 25÷5 6 30÷5 6 30÷5 ＜ ＞ 7 ＜ ＞ 7 28÷4 （1）根据数据，分析各人的射击水平。 数据分析观念 （2）小丁丁补射一枪，会是什么结果？ 渗透：平均数是随机变量的数字特征之一； 平均数具有敏感性。

《平均数》教学案例 平均数 5 6 6 7 射击比赛，比5轮： 25÷5 ★ 30÷5 30÷5 28÷4 轮次 一 小胖 3 小亚 4 小巧 8 小丁丁 二 5 9 三 5 6 4 四 7 5 6 五 5 8 平均数 5 25÷5 ★ 6 30÷5 6 30÷5 7 28÷4 （1）根据数据，分析各人的射击水平。 数据分析观念 （2）小丁丁补射一枪，会是什么结果？ （3）平均数相等，射击水平相等吗？ 渗透：平均数的代表性可能不理想

《平均数》教学案例 统计方法没有简单意义上的对错 ——史宁中 了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法 ——教育部《数学课程标准》 教练挑选运动员： 5, 5, 7, 5 6, 6, 8, 6, 4 ★ (5+5+7+5)÷4=5.4 (6+6+8+6+4)÷5=6

五、认识平均数的教学研究 1.平均数的统计意义是什么？ 2.统计教学的重点是什么？ 数据分析观念 分析数据： 4人100；5人110 平均25；22 两班平均？ 大于22，小于25 平均数较合适 平均数不合适 五、认识平均数的教学研究 22＜ ＜25

五、认识平均数的教学研究 3.平均数的练习怎样突显统计内涵 为凸显平均数的统计内涵可以考虑以下设计方向： ①每个原始数据的“贡献”； ②极端原始数据的“干扰”； ③原始数据权重的“影响”； ④平均数的估计（取值范围）； ⑤用样本平均数估计总体。 参见《小学数学教师》2011年第7-8期合刊 35

五、认识平均数的教学研究 3.平均数的练习怎样突显统计内涵 某次40人测验,平均87.2分,发卷后一生指出少算10分。该次测验实际平均多少分? 每个原始数据都有“贡献” 歌唱比赛评委评分： 9.1,9.0,8.6,8.5,8.3,8.3,4.9。 计算7名评委的平均分和去掉最高、最低分后的平均分。比较两个平均分,你有什么感想? 极端原始数据的“干扰” 36

五、认识平均数的教学研究 3.平均数的练习怎样突显统计内涵 田径队男生平均体重42千克,女生平均体重38千克。全体队员平均体重可能是多少？ 当男女人数相等时,是(42＋38)÷2＝40； 当男生人数更多时,在40～42之间； 当女生人数更多时,在38～40之间； 原始数据权重的“影响” 体操比赛7名评委评分：9.15，9.06，8.96，8.95，8.93，8.83，8.79，估计平均分。 平均数的估计：取值范围 37

五、认识平均数的教学研究 3.平均数的练习怎样突显统计内涵 一箱苹果共48只，取出5只称出重1260克， 这箱苹果大约重多少？ 用样本平均数估计总体 和姚明一平均，我的身高1米9 38

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