风险管理 寻求套利 金融创新 定价 现金流 贴现率

第五讲 利率风险与资产负债管理 问题的起源 久期与免疫 凸性的应用

5.1 问题的起源 寿险公司出售保底投资合同GIC Guaranteed Investment Contract 合同规定，在未来指定日期一次性向合同持有者支付规定数额的现金 寿险公司保证实现规定的投资回报率

Example 寿险公司出售5年期的GIC 合同持有者投资9,642,899美元 寿险公司的投资经理如何保证？ 保证实现每年7.5％的债券相当收益率 或者说，对于合同期中的10个半年，每半年的利率为3.75％ 合同持有者投资9,642,899美元 则寿险公司向合同持有者承诺，５年以后支付13,934,413美元 寿险公司的投资经理如何保证？

可能方案1： 按面值买进价值9,642,899美元、到期收益率为7.5％、到期期限为５年平价出售的债券 能保证5年后获得13,934,413美元？

市场利率发生瞬间变化后，不再变化 新收益率(%) 息票（$） 再投资收益($) 债券价格（$） 累计价值($) 总收益率(%) 11.00 3616087 1039753 9642899 14298739 8.04 10.50 985615 14244601 7.96 10.00 932188 14191175 7.88 9.50 879465 14138451 7.80 9.00 827436 14086423 7.73 8.50 776093 14035079 7.65 8.00 725426 13984412 7.57 7.50 675427 13934413 7.00 626087 13885073 7.43 6.50 577398 13836384 7.35 6.00 529352 13788338 7.28 5.50 481939 13740925 7.21 5.00 435153 13694139 7.14 4.50 388985 13647971 7.07 4.00 343427 13602414

第一种方案的结论： 可能方案2： 能保证5年后获得13934413美元？ 投资于到期收益率等于目标收益率、且到期期限等于目标期限的附息债券并不能保证实现预期目标 可能方案2： 投资于按面值出售的、票面利率为7.5％的12年期债券 能保证5年后获得13934413美元？

市场利率发生瞬间变化后，不再变化 新收益率(%) 息票（$） 再投资收益 债券价格（$） 累计价值($) 总收益率(%) 11.00 3616087 1039753 8024639 12680479 5.55 10.50 985615 8233739 12835440 5.80 10.00 932188 8449754 12998030 6.06 9.50 879465 8672941 13168494 6.33 9.00 827436 8903566 13347090 6.61 8.50 776093 9141907 13534087 7.19 8.00 725426 9388251 13729764 7.50 675427 9642899 13934413 7.00 626087 9906163 14148337 7.82 6.50 577398 10178367 14371852 8.14 6.00 529352 10459851 14605289 8.48 5.50 481939 10750965 14848992 8.82 5.00 435153 11052078 15103318 9.18 4.50 388985 11353569 15368642 9.54 4.00 343427 11685837 15645352 9.92

相对于利率不变时候的变化值 新收益率(%) 再投资收入($) 价格变化($) 累计价值总变化($) 11 364326 (1618260) (1253934) 10.5 310188 (1409160) (1098973) 10 256761 (1193145) (936383) 9.5 204038 (969958) (765919) 9 152009 (739333) (587323) 8.5 100666 (500992) (400326) 8 49999 (254648) (204649) 7.5 7 (49340) 263264 213924 6.5 (98029) 535468 437439 6 (146075) 816952 670876 5.5 (193488) 1108066 914579 5 (240274) 1409179 1168905 4.5 (286442) 1710670 1434229 4 (332000) 2042938 1710939

第二种方案的结论： 如果市场利率发生变化，还是无法保证获得目标收益率 问题： 是否存在一种债券，使得其投资回报率等于目标收益率呢？

方案3： 一个6年期、票面利率为6.75%的债券，市场价格96.42899，到期收益率为7.5％ 购买1000万美元面值的这种债券刚好需要投资9642899美元

市场利率发生瞬间变化后，不再变化 新收益率(%) 息票（$） 再投资收益 债券价格（$） 累计价值($) 总收益率(%) 11.00 3375000 970432 9607657 13953089 7.53 10.50 919903 9652592 13947495 7.52 10.00 870039 9697846 13942885 7.51 9.50 820831 9743423 13939253 9.00 772271 9789325 13936596 7.50 8.50 724350 9835556 13934906 8.00 677061 9882119 13934180 630395 9929017 13934413 7.00 584345 9976254 13935599 6.50 538902 10023832 13937734 6.00 494059 10071755 13950814 5.50 449808 10120027 13944835 5.00 406141 10168650 13949791 4.50 363051 10217628 13955679 4.00 320531 10266965 13962495 7.54

相对于利率不变时候的变化值 新收益率(%) 再投资收入($) 价格变化($) 累计价值总变化($) 11 340037 (321360) 18676 10.5 289508 (276425) 13082 10 239644 (231171) 8472 9.5 190436 (185594) 4840 9 141876 (139692) 2183 8.5 93955 (93461) 493 8 46666 (46898) (233) 7.5 7 (46050) 47237 1186 6.5 (91493) 94815 3321 6 (136336) 142738 16401 5.5 (180587) 191010 10422 5 (224254) 239633 15378 4.5 (267344) 288611 21266 4 (309864) 337948 28082

第三种方案的结论： 即使市场利率发生瞬时变化，第三种方案仍然能保证获得目标收益率 第一、二、三种方案的差别在哪里？

GIC保底合同的Macaulay久期刚好为5 方案 久期 Macaulay久期 风险 5年期，7.5％票面利率，平价出售 4.11 4.26 再投资 12年期，7.5％票面利率，平价出售 7.83 8.12 价格 6年期，6.75％票面利息，价格为96.42899 4.82 5.00 规避

Macaulay久期与平衡点 又一个例子：你在0时点上购买票面利率7%的债券，价值 $1000。该债券期限10年，一年支付利息一次。该债券Macaulay久期为7.5年。 如果你的投资期为7.5年，看看在时点7.5年，你累积的财富情况呢？

如果在零时点利率立即变为7%，4%和10%，则

结论： 不管在0时点市场利率发生了怎样的变化，在7.5年后的财富将大致相等。 为什么？

5.2 免疫 什么是免疫 单一负债的免疫 多重负债的免疫

1、免疫( immunization)的定义 免疫就是让资产和负债规避利率变动风险的一种方法。 免疫的目标是让来自投资组合的收益满足负债的支付,而在投资后不必再增加额外资本 在不特别限制投资选择的情况下, 免疫较为容易实现

谁来应用 退休基金 寿险公司 商业银行

2、单一负债的免疫 例子： 假定你10年后必须偿还$1931,到期收益率曲线是水平的, 为10% 问题： 如何免疫？

免疫步骤： （1）计算负债的现值和久期： （2）寻找合适的债券 现值：1931/(1.10)10 = 745 久期：9.1 20年期债券，面值$1000，票面利率7%(一年支付)，价格 $745，到期收益率10％，久期也为9.1

如果到期收益曲线在投资后立即发生变化: Yield Bond Value(现值) Liability Value(现值) 4% $1408 $1305 6% 1115 1078 8% 902 895 9% 817.4 815.7 10% 745 745 12% 627 622 14% 536 521 16% 466 438 按照前面分析，能应付利率的瞬时变化，但如果不是瞬时变化呢？

问题： 为什么？ (1)利率不是瞬时变化的第一种情况 现在假定利率不是瞬时发生变化，而是在5年后上升到12％，而后一直保持不变到第10年底 在第10年底的资产价值还大于1931吗？. 为什么？ 12％ 10% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第10年末的债券价值： 利息及其再投资收入： 债券的价格： 总价值：1197.8＋717.5＝1915.3 < 1931

问题： 为什么？ (2)利率变化的第二种情况 现在假定利率瞬时下降到8％，一直保持到第5年底，而后又重新上升到10％ 在第10年底的资产负债还能匹配吗？. 为什么？ 10％ 8% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第10年末的债券价值： 利息及其再投资收入： 债券的价格： 总价值：1088.7＋815.7＝1904.4 < 1931

问题： 为什么？ (3)利率不是瞬时变化的第三种情况 现在假定利率不是瞬时发生变化，而是在5年后下降到8％，而后一直保持不变到第10年底 你认为，组合与负债还能很好匹配吗？. 为什么？ 10％ 8％ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第10年末债券的价值 利息及其再投资收入 债券的价格： 总价值： 1038.59+932.9 ＝ 1971.5 > 1931

利率瞬时下降到8％，一直保持到第5年底，而后又重新上升到10％ 为什么不同利率变化情况导致10年后不同？ 看第二种情况： 利率瞬时下降到8％，一直保持到第5年底，而后又重新上升到10％ 10％ 8% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

原因分析 一开始瞬时利率发生变化后资产（不考虑此后的利率变化）： 现值： 久期：10.08 与负债的久期大致匹配

但在5年后，利率又回升到10％后的资产： 现值： 久期：8.2 负债的久期：4.5 所以： 久期已经发生变化，需要重新免疫

现在假定利率不发生任何变化 考虑1、3、5、7年后资产的久期： (4)利率不发生任何变化 1年后久期：8.96 3年后久期：8.6 5年后久期：8.2 7年后久期：7.6

免疫问题总结 (1)免疫只是针对利率的瞬时变化（隔夜） (2)如果利率发生变化后，需要重新计算久期，进行重新免疫 (3)即使利率没有变化，一段时间后，资产与负债的久期也可能发生变化不匹配，也需要重新免疫

免疫的基本原理 目标 利率变动风险：再投资风险，价格风险 假设 锁定最小目标收益率和累计价值不受投资期内利率变化的影响。 收益曲线平行移动（即各种期限的收益率同步变动）

原理：寻求债券应该满足以下条件： （1）债券的久期等于负债的久期； （2）债券现金流的初始现值等于负债初始现值。 问题： 没有单个债券满足上述条件时候时，怎么办？

3、用债券组合免疫一组负债 目标: 找到债券组合来免疫一组已知负债 要求： 投资组合的久期和现值, 必须与负债的久期和现值相匹配

看一个例子： 假设1年期债券的票面利率为6%,每年支付一次利息 4年期债券的票面利率为8%,每年支付一次利息 即期利率(贴现率)为10% 投资者负债是5年期分期付款，每年支付100。 问题： 如何免疫负债?

第一步：计算负债的久期和现值 time 现金流 贴现因子 PV t*PV 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 100 0.9091 90.91 90.91 2 100 0.8264 82.64 165.29 3 100 0.7513 75.13 225.39 4 100 0.683 68.3 237.21 5 100 0.6209 62.09 310.46 Total 379.07 1029.26

计算负债的久期： 负债的现值： 379.07

第二步：计算各债券的现值和久期 （1）1年期债券的久期 time cashflow discout f. PV t*PV 1 106 0.9091 96.36 96.36

（2）4年期债券的久期和现值 time 现金流 贴现因子 PV t*PV 1 8 0.9091 7.27 7.27 1 8 0.9091 7.27 7.27 2 8 0.8264 6.61 13.22 3 8 0.7513 6.01 18.03 4 108 0.683 73.77 295.58 total 93.66 334.1

第三步：用1年期和4年期债券构建组合 负债的现值为$379.07，所以$111.21投资于1年期债券,$267.86 投资于4年期债券.

再看一个例子： 负债: 1 year $100 2 years $200 3 years $50 问题： 如何进行免疫？

第一步:根据当期市场中债券的到期收益率计算出负债的现值和久期 YTM PV 久期 6% $314.32 1.729 7% $308. 96 1.710 8% $303.75 1.691 9% $298.69 1.672 10% $293.76 1.653

票面利率 期限 价格 YTM 久期 第二步：分析哪些债券可以用来构建组合，对于每一种债券,都计算出到期收益率和久期 8 1 101.41 6.5% .939 6.7 2 100.73 6.3% 1.822 9 5 107.34 7.2% 3.981 8.5 8 102.87 8.0% 5.692 问题：可以有多种组合，选择哪一种？

增加第二个目标： 收益率最大化？ 挑选第一个和第四个债券组合，试试看？

1) 组合的现值等于负债的现值. 决定第一和第四种债券投资的数量,使得: 2)久期相等. 根据已知的到期收益率,负债久期大约为1.7年. 1年期和8年期债券的组合权重为: X(0.939) + (1 – X)(5.692) = 1.7 这意味着 84%投资于1年期债券,而16%投资于8年期债券.

也可以考虑其他第二个目标 比如，针对久期只能规避利率平行移动风险的缺陷，Fong and Vasicek（1984）引入下列离散度指标考虑收益率曲线风险： 在可选组合中，控制离散度指标

多重负债免疫的总结 资产 再投资 负债

多重负债免疫的三个条件 （1）资产现值与负债现值相等 （2）资产组合的久期等于负债组合的久期 （3）单项资产的久期分布要大于单项负债的久期分布。

利用免疫进行资产/负债管理 假定投资者的净权益为50,000 投资者希望保持20年的附息债券负债，但愿意调整3年期零息债券的头寸 资产包括305个单位的3年期零息债券（面值为12892.53） 负债包括300个单位的20年期附息债券（年票面利息为1009.09，面值为9363.03）。 投资者希望保持20年的附息债券负债，但愿意调整3年期零息债券的头寸 投资者也愿意购买或者发行20年期的零息债券（面值为73074.31）。 问题：如何调整组合才能免疫？

利率期限结构 Term(年) spot rate% discount fct 1 8.5056 0.9216 2 8.6753 0.8467 1 8.5056 0.9216 2 8.6753 0.8467 3 8.8377 0.7756 4 8.9927 0.7086 5 9.1404 0.6458 6 9.2807 0.5871 7 9.4136 0.5327 8 9.5391 0.4824 9 9.657 0.4362 10 9.7675 0.3938 11 9.8705 0.3551 12 9.9659 0.3198 13 10.0537 0.2878 14 10.134 0.2589 15 10.2067 0.2327 16 10.2718 0.2092 17 10.3292 0.1880 18 10.379 0.1691 19 10.4212 0.1521 20 10.4557 0.1368

计算债券价格：

投资者调整前的资产负债表 305个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券 价值3,050,000 价值3,000,000 305个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券 价值3,050,000 价值3,000,000 权益50,000

计算金额久期：

调整组合：

投资者调整后的资产负债表 200个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券 价值2,000,000 价值3,000,000 200个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券 价值2,000,000 价值3,000,000 105个单位的20年期零息债券 价值1,050,000 权益50,000

资产/负债管理久期策略的基本方法 投资者为了让他的权益资本达到一个既定的利率风险目标（用久期来表示），希望调整他的资产和负债，他可以： 调整组合中资产和负债以使权益有一个理想的久期，即 权益的市场价值等于组合中资产的价值减去负债的价值

问题：如何通过卖空流动性很强的国债来规避风险？ 久期与避险 例子：做市商的资产组合的避险 一公司债券做市商在某交易日结束时拥有5年期公司债券面值$1mm，票面利率 6.9%（半年支付）价格为平价 该债券流动性很差，因此出售该债券会遭受很大的损失 隔夜持有该债券也有很大风险，因为如果市场利率上升，该债券价格会下降 问题：如何通过卖空流动性很强的国债来规避风险？

市场中有下面两种债券 10年期，票面利率 8%的国债，价格P = $1,109.0（面值 $1,000） （1）如果只卖空一种国债，那么应卖空多少10年期国债？3年期呢？ （2）如果所有债券的到期收益率一夜之间上升 1%，该做市商根据前面的卖空头寸，其交易结果如何？ （3）如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少（假设卖空的总价值也为1mm）？

解答 (1): 1. 计算被避险债券的久期 2. 计算卖空债券的久期 3. 计算对冲比率（ hedge ratios） 对于5年期公司债券而言，票面利率6.9%,平价交易,因此y = 6.9% b.e.y, D = 4.1688 2. 计算卖空债券的久期 3. 计算对冲比率（ hedge ratios）

卖空10年期国债 卖空3年期国债 票面利率 8%,价格1109.0 , y=6.5% b.e.y, D=7.005 10年期国债卖空数量 x, solves: x(7.005) = $1mm(4.1688). x = $593,861.5 卖空3年期国债 票面利率 6.3% ,价格1008.1, y = 6.00% b.e.y, D = 2.700 3年期国债卖空数量 y, solves: y(2.7) = $1mm(4.1688). y = $1.54072 mm

解答（2）： 卖空10年期国债 卖空3年期债券 yield = 7.5% => P= 1034.74/$1000. 5年期公司债券 yield = 7.9%, => P= $959.344/$1000. 多头损失 = $1mm(1-.959344) = $40,656 卖空10年期国债 yield = 7.5% => P= 1034.74/$1000. 1034.74/1109 = .933. (1-.933)(593,861.5) = $39,765.7 (赢利). 卖空3年期债券 yield = 7% => P= 981.35/$1000. 981.35/1,008.1 = .97346. (1-.97346)(1,540,720) = $40,891 (赢利.)

但，如果利率非平行变动，则将面临免疫风险。 解答（3） 为了避险,被避险公司债券的价值等于避险债券价值时，资产和负债的久期应该相等: x(7.005) + (1-x)(2.7)=4.1688 x为10年期国债卖空的比重 但，如果利率非平行变动，则将面临免疫风险。

5.3 凸性的应用 债券的利率风险综述 久期与凸性 免疫 凸性的应用

在关键利率久期一节中，两个组合的久期都是16年，但利率非平行变动时，两者的价值变化却不同。 免疫的假设与问题 最重要假设 利率是平行变动，因为用久期衡量利率风险 问题： 利率非平行变动时，就会存在免疫风险 在关键利率久期一节中，两个组合的久期都是16年，但利率非平行变动时，两者的价值变化却不同。

免疫风险 久期匹配带来再投资风险与价格风险的相互抵消，所以能规避利率平行变动的风险。 但，如果利率非平行变动，则将面临免疫风险。

凸性在投资组合中的应用 例子：有以下国债，均为平价交易: Bond Coupon(%) Maturity (yrs) Yields Dm Γm A 8.5 5 8.5 4.00 19.81 B 9.5 20 9.5 8.88 124.2 C 9.25 10 9.25 6.43 55.45

两种国债组合策略: (a) 只投资于 C (b) 投资于A 和 B 如果组合的金额久期等于 C，则：

Bullet 和Barbell 策略 上述两种策略中，组合的久期相等 Bullet （子弹）策略 Barbell（哑铃）策略 第一种策略：现金流集中于中间 Barbell（哑铃）策略 第二种策略：现金流分布在两端 两者的凸性将不同 子弹策略的凸性：55.45 哑铃策略的凸性：.502×19.8 + .498× 124.2=71.8

子弹策略：9.25％ 再看哑铃收益率： .502(8.5%) + .498(9.5%) = 9.00% 哑铃策略的收益率要小于子弹策略 两种策略的收益率比较 子弹策略：9.25％ 再看哑铃收益率： 粗略估计 barbell的到期收益率是两个债券的加权平均，因此 barbell的到期收益率为: .502(8.5%) + .498(9.5%) = 9.00% 哑铃策略的收益率要小于子弹策略 哑铃策略的凸性要大于子弹策略

两种策略的比较   久期 凸性 到期收益率 哑铃策略 6.43 71.8 9.00 子弹策略 55.5 9.25 哑铃策略的凸性大有什么好处呢？

Leveling Flattening Steepening 三种利率变化情况 利率水平变化 5年期到期收益率比水平移动多涨 25 个基点,而20年期比水平移动少涨25bp Steepening 5年期到期收益率比水平移动少涨 25 个基点,而20年期比水平移动多涨25bp

在6个月的持有期间，bullet 收益金额减去 barbell收益金额后的结果 % yield ch. level shift flattening Steepening -5.0 -7.19 -10.69 -3.89 -4.0 -4.00 -6.88 -1.27 -3.5 -2.82 -5.44 -0.35 -2.0 -0.59 -2.55 1.25 -1.0 0.06 -1.54 1.57 0.0 0.25 -1.06 1.48 2.0 -0.31 -1.18 0.49 2.75 -0.73 -1.46 -0.05 3.00 -0.88 -1.58 -0.24 3.75 -1.39 -1.98 -0.85

在到期收益率和曲线都不发生变化时，Bullet要比barbell的收益大0.25％ 第一个推论 在到期收益率和曲线都不发生变化时，Bullet要比barbell的收益大0.25％ 一般债券的凸性是个正数，因此凸性的存在改善了债券价格的风险状况 组合经理期望在市场利率变化后,barbell 表现得好一些，所以该经理或许愿意舍弃一点收益率，而获得较高的凸性 固定收益证券管理中存在着努力实现组合凸性最大化的动机

在到期收益率都不发生变化，但曲线发生变化，考虑flattening的情况，即短期上涨25bp，长期下降25bp 第二个推论 在到期收益率都不发生变化，但曲线发生变化，考虑flattening的情况，即短期上涨25bp，长期下降25bp 哑铃策略的收益大于子弹 1.06％ 为什么？ 短期债券的价格下降，要小于长期债券的增加，即4.00×(-25bp)*0.502 ＋8.88×25bp*0.498 > 0

在到期收益率都不发生变化，但曲线发生变化，考虑steppening的情况，即短期下跌25bp，长期上涨25bp 第三个推论 在到期收益率都不发生变化，但曲线发生变化，考虑steppening的情况，即短期下跌25bp，长期上涨25bp 哑铃策略的收益小于子弹 1.48％ 为什么？ 短期债券的价格上涨，要小于长期债券的下跌，即4.00×25bp*0.502 ＋8.88×(-25bp)*0.498 < 0

在利率水平变动情况下，总体上讲哑铃策略要优于子弹策略，利率变化幅度越大越明显 第四个推论 在利率水平变动情况下，总体上讲哑铃策略要优于子弹策略，利率变化幅度越大越明显 为什么？ 久期的作用一样，但正凸性发挥作用，哑铃的凸性大于子弹

在利率小幅度变动，而且为曲线为flattening变动时，哑铃策略要优于子弹策略 第五个推论 在利率小幅度变动，而且为曲线为flattening变动时，哑铃策略要优于子弹策略 为什么？ 短期债券的久期的作用要小于长期债券，短期债券下跌幅度小于长期上涨幅度

在利率小幅度变动，而且为曲线为steppening变动时，哑铃策略不如子弹策略 第六个推论 在利率小幅度变动，而且为曲线为steppening变动时，哑铃策略不如子弹策略 为什么？ 短期债券的久期的作用要小于长期债券，短期债券上涨幅度小于长期下跌幅度，而且正凸性发挥的作用不大

在利率大幅度变动，而且曲线为steppening变动时，哑铃策略也优于子弹策略 第七个推论 在利率大幅度变动，而且曲线为steppening变动时，哑铃策略也优于子弹策略 为什么？ 尽管久期发挥作用，短期债券上涨幅度小于长期下跌幅度，但正凸性发挥的作用更大

如果利率曲线发生小幅度Steppening变化，则应该进行子弹策略 如果利率发生大幅度变化，则也应该进行哑铃策略，发挥正凸性作用 总结 如果利率曲线发生小幅度Steppening变化，则应该进行子弹策略 如果利率发生大幅度变化，则也应该进行哑铃策略，发挥正凸性作用

凸性与利率风险规避 当投资者对利率的未来趋势有自己的判断之后，他希望让自己的资产组合存在一定的风险，那么凸性可以成为久期的一个重要补充和辅助。 例如，投资者可以根据利率预测设置一个高的或者低的组合久期，这样，他可以利用瞬时的利率变化来获利。但高的凸性使得投资者在利率下降时获得更大的收益，而在利率上升时，损失却在下降。当然这一策略要求投资者能够对利率的未来趋势作出判断。