实际电压源与理想电压源是有差别的，它总有 内阻，其端电压不为定值，可以用一个电压源与电 阻相串联的模型来表征实际电压源。如图所示 1.9 实际电源的两种模型及相互转换 一、实际电压源的模型 实际电压源与理想电压源是有差别的，它总有 内阻，其端电压不为定值，可以用一个电压源与电 阻相串联的模型来表征实际电压源。如图所示 + - US RS I a b U U US I U=US U=Us-RsI

由非理想电压源的电路模型写出电压电流方程： U=Us-RsI 解得：I＝ － （1）当I＝0时，有U=Us，此时的端口电压称作 开路电压Uoc, Uoc=Us; （2）当U＝0时，有I＝ ，此时的端口电流称为 短路电流Isc, Isc= = （3）非理想电压源的端电压、端电流由外电路决定。 非理想电压源的内阻Rs＝

二、 实际电流源的模型 实际电流源与理想电流源也有差别，其电流 值不为定值，可以用一个电流源与电阻相并联的模型 来表征实际电流源。如图所示。 二、 实际电流源的模型 实际电流源与理想电流源也有差别，其电流 值不为定值，可以用一个电流源与电阻相并联的模型 来表征实际电流源。如图所示。 I Rs Is + _ U O I Is I=Is Is=U / Rs+ I U

（1）当U=0时，有I= Is ，端口的短路电流 Isc=I； （2）当I＝0时，端口的开路电压Uoc＝IsRs ＝IscRs 由非理想电压源的电路模型写出电压电流方程： I= Is- 解得 U=(Is-I)Rs （1）当U=0时，有I= Is ，端口的短路电流 Isc=I； （2）当I＝0时，端口的开路电压Uoc＝IsRs ＝IscRs （3）非理想电流源的端电压、端电流由外电路决定。 非理想电流源的内阻Rs＝

1.10 戴维宁定理与诺顿定理 无源单口网络：单口网络中没有电源。 有源单口网络：单口网络中含有电源。 b a E + – R1 R2 IS

a b R a b 无源二端网络 无源二端网络可化简为一个电阻 + _ E R0 a b 电压源 （戴维宁定理） a b 有源二端网络 有源二端网络可化简为一个电源 a b IS R0 电流源 （诺顿定理）

一、戴维南(Thevenin)定理： 线性单口网络 N，就其端口来看，可等效为一个电压源串联电阻支路(图a)。电压源的电压等于该网络 N 的开路电压uoc(图b)；串联电阻R o 等于该网络中所有独立源为零值时所得的网络N0的等效电阻Rab(图c )。 N M a b i + u – uoc Ro = (a)

N0 N a a + uoc Rab = Ro – b b (c) (b) N——线性含源单口网络； N0——N中所有独立源为零值时所得的网络 M——任意的外电路

= 戴维南定理证明： N N M N0 N i a i a + + u u – – b b (b) (a) i a + uoc Rabi – （c）根据叠加定理 u = u – Rabi N0 i Rabi

M Ro a i + u – uoc b (d) 图(a)含源 单口网络 N 可等效为电压源串联电阻支路 N——线性含源单口网络；

例1.9 求如图电路中12k电阻的电流 I。 解：根据戴维南定理，这电路中除12k电阻以外，其它部分（虚线框）所构成的含源单口网络，可以化简为一个电压源U与一个电阻Ro相串联的等效支路。 8k 20V – + 10V 10k 12k a b 为求得u，应使该单口网络处于图(a)所示的断开状态， U即为ab两端的电压。设该电路电流为 I’，由KVL可得 (8+10)I’ – 20 + 10 = 0

20–10 即 I’ = = 0.556mA 8+10 得 Uoc = 10I’ + 10 = 5.56 + 10 = 15.56V I’ 8k 20V – + 10V 10k a b I’ (a) Uoc 4.45k 15.56V 12k (c) (b) Rab 即 I’ = 8+10 20–10 = 0.556mA 得 Uoc = 10I’ + 10 = 5.56 + 10 = 15.56V

为求得Ro，应把图(a)所示含源二端网络中的两个独立电压源作短路处理，得电路(b)。显然，电路ab两端的等效电阻 Rab = 8+10 8×10 = 4.45k 故得 Ro = 4.45k 8k 10k a b (b) Rab 这样，我们就得到了如图（c）所示用来代替原图中虚线框单口网络的等效电路。 此时，我们用KVL可以很方便地求得 I (12+4.45)I – 15.56 = 0 4.45k 15.56V – + 12k a b (c)

解：先解出除RL 以外的其余部分电路就端口 ab 而言的戴维南等效电路。 即 I = 12+4.45 15.56 = 0.946mA 例1.20 试用戴维南定理求如图电路 中 RL的电流 I 。 Us R1 R2 R4 RL R3 + I – a b 解：先解出除RL 以外的其余部分电路就端口 ab 而言的戴维南等效电路。 第一步，求Uoc。为避免发生错误，最好将外电路断开后的电路画出如图 (a)所示，以此为据去考虑如何求出图中 ab 间的电压。 图(a)为一并联电路， (R1+R2)与(R3+R4)相并联，由此可得

第一步，求 Uoc：断开RL支路，求开路电压U 第二步，求 Ro：断开RL支路，电压源短路，求出Rab即Ro d Rab (b) Us R1 R2 R4 R3 + – a b c d Uoc (a) RL I Uoc + – a b (c) Ro=Rab 运用戴维南定理的三个步骤 第一步，求 Uoc：断开RL支路，求开路电压U 第二步，求 Ro：断开RL支路，电压源短路，求出Rab即Ro 第三步，求 I ：作出等效电路，补上RL支路，即可求出 I

( ) 第二步，求Ro。为此将外电路断开，电压源用短路代替，得到一个无源单口网络，见图(b)，求出图中 ab 间的等效电阻。 (a) Us R1 R2 R4 R3 + – a b c d Uoc (a) Uoc = Uab = Uac + Ucb Us – R1 R1+R2 R3 Us R3+R4 = – R1 R1+R2 R3 = Us R3+R4 ( ) R1 R4 – R2 R3 = Us (R1+R2 )(R3+R4 ) 一般说来，在这一步若遇到复杂电路，则必须采用网孔法或节点法等来解决问题。 第二步，求Ro。为此将外电路断开，电压源用短路代替，得到一个无源单口网络，见图(b)，求出图中 ab 间的等效电阻。

R1 R2 R4 R3 a b c d Rab 本例的无源单口网络恰好由电阻并联、串联组成，可得 + R1R2 R1+R2 R3R4 Rab = R3+R4 必须强调：要特别注意识别电阻的并联、串联。因为从不同的端口或情况观察结果是不同的，求 Uoc时，R1和R2 为串联，但此时从ab端口看是并联的。

第三步，求 I 。根据已求得的Uoc和Rab，可作戴维南等效电路，接上RL 的电路如图（c）所示，I 即可求得为 + – a b (c) Ro=Rab 第三步，求 I 。根据已求得的Uoc和Rab，可作戴维南等效电路，接上RL 的电路如图（c）所示，I 即可求得为 Uoc Ro+RL I = = R1 R4 – R2 R3 Us (R1+R2 )(R3+R4 ) + R1R2 R1+R2 R3R4 + RL R3+R4 说明：第一、二步是为第三步服务的。运用戴维南定理避免了在原电路求解 I ，而原电路是一个复杂的电路，求解 I 需要解联立方程，比较麻烦。

1.11诺顿(Norton)定理： 线性含源单口网络 N，就其端口来看，可等效为一个电流源并联电阻的结合(图a)。电流源的电流等于该网络 N 的短路电流isc；并联电阻 R o 等于该网络中所有独立源为零值时所得的网络N0的等效电阻R(图b )。

N M a b i + u – isc Ro = (a) N a b (b) N0 Rab = Ro isc 诺顿定理

例1.21 用诺顿定理求如图电路4电阻上的电流 I。 解：把原电路除4电阻以外的部分化简为诺顿等效电路。为此先应把拟化简的单口网络短路，如图 (a)所示，求短路电流Isc。根据叠加定理，可得 + 24 10 12 Isc = 10//2 = 2.4 + 7.2 = 9.6A 10 24V – + 12V 2 4 a b 再把拟化简的单口网络中的电压源用短路代替，得图(b)，可得 Ro = 10//2 = 1.67

1.67 I = = 2.78A 4+1.67 Rab Isc I (c) 求 I (a) 求Isc (b) 求Ro 运用诺顿定理的三个步骤 10 24V – + 12V 2 a b Isc (b) 求Ro Rab 运用诺顿定理的三个步骤 9.6A 1.67 4 (c) 求 I I 求得诺顿等效电路后，再把4电阻接上得图(c)，由此可得 9.6 1.67 I = 4+1.67 = 2.78A

1.12 实际电源的等效转换 实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所谓的等效是指具有相同的伏安特性。 i i + uS iS + 1.12 实际电源的等效转换 实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所谓的等效是指具有相同的伏安特性。 i + _ uS Ri u i Rj + u _ iS u=uS – Ri i u=(iS – i)Rj i = uS/Ri – u/Ri i =iS – u/Rj 通过比较，得等效的条件： iS = uS/Ri ，Rj = Ri

由电压源变换为电流源： i + _ uS Ri u i Rj + u _ iS 转换 iS = uS/Ri ，Rj = Ri i + _ uS Ri u 由电流源变换为电压源： i Rj + u _ iS 转换 uS = iS Rj ， Ri =Rj

1.13 最大功率传输定理 本节主要内容：给定一线性含源单口网络 N1，接在它两端的负载电阻不同，从单口网络传递给负载的功率也不同。在什么条件下，负载能得到的功率为最大？ uoc Ro RL N1 N2 i 线性含源单口网络 可以用戴维南或诺顿等效电路代替，如图所示，设负载电阻为RL，则当RL很大时，流过RL的电流很小，因而RL获得的功率 i2RL很小。 isc Ro RL N1 N2 i 若RL很小时，虽然流过RL的电流很大，但RL获得的功率 i2RL仍然很小。

求传递给负载的功率 uoc Ro RL N1 N2 i (a) 戴维南等效电路 isc (b) 诺顿等效电路 在 RL = 0 与 RL = 之间，将有一个 R 值，可使负载所得的功率为最大。

要解决这一 RL 的值究竟多大的问题，可先写出 RL 为任意值时的功率 p ： uoc Ro RL N1 N2 i p = i2RL = uoc Ro+RL 2 RL （4-32） 要使 p 为最大， 应使dp/dRL= 0，由此可解得 p 为最大时的RL。即 = u2oc (Ro+RL)4 dRL dp (Ro+RL)2 – 2(Ro+RL) RL = u2oc (Ro–RL) (Ro+RL)3 = 0 u2oc (R2o–R2L) (Ro+RL)4

显然，结果完全一样！ RL 为任意值时的功率 p 也可以按诺顿等效电路写： i isc Ro RL iscRo RL p = i2RL = N1 N2 i p = i2RL = iscRo Ro+RL 2 RL 同理，令dp/dRL=0，即 = (iscRo)2 (Ro+RL)4 dRL dp (Ro+RL)2 – 2(Ro+RL) RL = （4-33） (iscRo)2 (Ro–RL) (Ro+RL)3 = 0 (iscRo)2 (R2o–R2L) (Ro+RL)4 显然，结果完全一样！

由此可得 Ro = RL = d2p dRL2 u2oc 8Ro3 – < 0 而由于 所以，上式是使 p 最大的条件。 最大功率传递定理：由线性单口网络传递给可变负载RL的功率为最大的条件是应使负载RL与网络的戴维南（或诺顿）等效电阻相等。

最大功率匹配：网络满足Ro = RL的情况时称为最大功率匹配，即负载与含源线性单口网络的输出电阻相等。 最大功率匹配时的输出功率为 p = i2RL = uoc Ro+RL 2 RL pmax = u2oc 4Ro （戴维南定理） p = i2RL = iscRo Ro+RL 2 RL pmax = i2scRo 4 （诺顿定理）

给定i1和i2，则i3 = – (i1+i2)，可确定。 1.14 T型网络和II型网络的等效变换 T-II转换的作用：在求单口网络的等效电阻时，有时单口网络内的电阻虽不属于串、并联，但运用本节介绍的T-II变换后却仍可能利用串并联等效电阻公式，使运算简单。 设两个三端网络 N和N’ 如图所示。根据KVL给定两对端钮间的电压，其余一对端钮间的电压便可确定；根据KCL，给定任何两个端钮的电流，另一个端钮的电流便可确定。例如： N 2 3 1 i1 i3 i2 给定u13和u23，则u12 = u13 – u23，可确定； 给定i1和i2，则i3 = – (i1+i2)，可确定。

三端网络等效：在对两个三端网络的端钮进行编号后，若两个网络的u12、u23、i1、i2的关系完全相同，则这两个三端网络 N和N’是等效的。 两个三端网络的等效 3 1 i1 i3 i2 N 三端网络等效：在对两个三端网络的端钮进行编号后，若两个网络的u12、u23、i1、i2的关系完全相同，则这两个三端网络 N和N’是等效的。 三端网络的最简单形式是T型联接网络和II型联接网络。

T型网络：将三个电阻的一端连接在一个接点上，另一端分连接到不同的端钮上，就构成了图 (a)所示的“T型网络”，也称为Y型网络或星型网络。 II型网络：使三个电阻本身就构成一个回路，就构成了图(b)所示的“II型网络”，也称为型网络或三角形网络。 （a） R3 1 2 3 R1 R2 （b） R23 R12 R13 (a) T型网络 (b) II型网络

我们现在根据三端网络的定义来推求T型网络和II型网络的等效条件。 为此我们设想在对应端上分别施加相同的电流 i1 和 i2 ，如图所示。我们分别推导它们端钮的VAR。 （a） R3 1 2 3 R1 R2 （b） R23 R12 R13 电流源施加于T型网络和II型网络 i1 i2 i0

R3 1 2 3 R1 R2 i1 i2 对于上图 (a)所示的T型网络来说： u13 = R1i1 + R3 ( i1+ i2) u23 = R2i2 + R3 ( i1+ i2) 即 u13 = (R1+R3) i1 + R3i2 u23 = R3i1 + (R2+R3)i2 （1） 对于图(b)所示的II型网络来说，把图中的电流源并联电阻变为电压源串联电阻后，不难求得 R23 1 2 R12 R13 3 i1 i2 i0 R31 i1 – R23 i2 i0 = (R12+R23+R31) 以及 u13 = R31i1 – R31i0 u23 = R23i0 + R23i2

由此可得 u13 = u23 = R23R31 R31(R12+R23) R12+R23+R31 i1 + i2 R23(R12+R31) （2） (1)式和(2)式分别表示T型网络和II型网络的VAR。若VAR完全相同，则两式中i1和i2系数分别相等。

u13 = u23 = R23R31 R31(R12+R23) R12+R23+R31 i1 + i2 R23(R12+R31) 型网络 u13 = (R1+R3) i1 + R3i2 u23 = R3i1 + (R2+R3)i2 T型网络 由此可得 R1 + R3 = R3 = R31(R12+R23) R12+R23+R31 R23R31 R2 + R3 = R23(R12+R31) （3）

将(4)中II-T的三公式概括为 接于网络端钮 i 的两电阻乘积 Ri = 三电阻之和 由（3）式可解得 R31(R12+R23) （4） 这就是II型网络等效为T型网络的公式。 将(4)中II-T的三公式概括为 Ri = 接于网络端钮 i 的两电阻乘积 三电阻之和

将(5)中T-II的三公式概括为 电阻两两乘积之和 Rmn = 与端钮m和n都不相联的电阻 由(3)式也可解得 R1 + R3 = R3 = R31(R12+R23) R12+R23+R31 R23R31 R2 + R3 = R23(R12+R31) R12 = R31 = R1R2+ R2R3+ R3R1 R3 R23 = （5） R1 R2 将(5)中T-II的三公式概括为 Rmn = 电阻两两乘积之和 与端钮m和n都不相联的电阻

这种等效变换可以简化电路的计算！ 接在复杂网络中的T型或II型网络部分，可以运用上述公式等效互换，并不影响网络其余未经变换部分的电压和电流。 例如，在求下图(a)所示单口网络的输入电阻 Ri 时就遇到了不能运用串联、并联等效电阻公式的情况。 （a） R23 1 2 R12 R13 3 Ri R4 R5 R3 R2 （b） R1

图 不能直接应用串联、并联等效电阻公式求输入电阻的例子 图 不能直接应用串联、并联等效电阻公式求输入电阻的例子 （a） R23 1 2 R12 R13 3 Ri R4 R5 R3 R2 （b） R1 固然，我们可以从等效定义出发，列出它的VAR来解决问题。但我们如果把图(a)中由电阻 R12、R23、 R31组成的II型网络变成图(b)中由电阻R1、R2、 R3组成的T型网络后。

显然可见：运用电阻串联、并联等效电阻公式就可方便到求出输入电阻Ri。由于变换是等效的，因而它就是原电路的输入电阻。 解：可以运用T-II变换(即Y-Δ变换)使原电路化为串、并联电路后再求 I 。有好多变换方式可供采用。 例1.22 10V 1 + 1 2 4 3 – 2 3 5 I 例如：可把节点1、2、3间的Δ变换为Y，或把节点1、2、4间的Y 变换为Δ 。

当然，还可把节点1、3、4间的 Y 变换为 Δ ，或把节点2、3、4间的 Δ 变换为 Y ，但这样会使所求 I 支路消失。为此我们选用将1、2、3间的 Δ 变换为 Y 的方法。如图4-71所示。 电路的逐步化简过程 10V 1 + 1 2 4 3 – (a) 0.6 I 1.5 (b) 1.6 2 (c) 0.89

0 点是  化为 Y 型网络后产生的新节点。Y 型网络的各电阻根据（4）式求出 10V + 1 4 – 1.5 0.89 10V 1 + 1 2 4 3 – 0.6 I 1.5 图a 图b R1 = 3×5 3+5+2 = 1.5 R2 = 2×5 = 1.0 R3 = 2×3 = 0.6 10V + 1 4 – 1.5 1.6 2 I 图c 从图（b）可以求得 U04 = 10 ( ) 0.89 1.5 + 0.89 = 3.72V 从图（c）可以求得 I = = 2.33A = U04 1.6 3.72