Part 2-1 評價 貨幣時間價值

大綱 終值 現值 年金終值 年金現值 連續複利與折現 貸款的攤銷

複利 複利與單利的差異 本金$100元，利率為14% 複利與單利間本利和的差距越來越大，這是因為複利每一期以上一期本利和為計算利息的基礎。

複利與單利的差異 年期 複利 單利 100 1 114 2 129.96 128 3 148.1544 142 4 168.896 156 5 192.5415 170 6 219.4973 184 7 250.2269 198 8 285.2586 212 9 325.1949 226 10 370.7221 240 圖5-1 複利與單利之差異

終值 將某特定時點的金錢價值複利成為未來特定時點之金錢價值（複利就是將今天價值轉換成為終值的過程） 一般而言我們可以利用以下的複利公式來計算終值 或是以查「終值利率因子表(Future Value Interest Factor)」的方式求算終值

終值釋例 在年利率 5% 的情況下，投資 1 萬美元，一年後該投資將成長至 10,500 美元。 其中500美元為利息($10,000 × 0.05) 10,000 美元為本金 ($10,000 × 1) 共得 10,500 美元。 計算方式：$10,500 = $10,000×(1.05)

需花多少時間？ 若今日存 5,000 美元在利息 10% 的銀行帳戶中，多久之後存款總額會成長到 1 萬美元？

利率應等於多少？ 假設 12 年後大學學費的總額為 5 萬美元。若目前可投資 5,000 美元，利率必須等於多少，才能在12 年後得到 5 萬美元的大學學費總額？

終值在Excel的求法

利率與期數對終值的敏感性分析

現值 「現值（Present Value）」是在某特定時點（過去或未來）之金錢價值折合成目前之金錢價值 「折現(Discounting)」就是將複利的概念反推回去求得過去某時點上實際的現金價值。 單期支付額的現值為

現值（續） 一連串現金流量{Ct}的現值為 一般而言我們可以利用下列之折現公式來計算現值：

利率與期間對現值的敏感性分析

終值與現值的關係 終值利率因子與現值利率因子是互為倒數關係的。 終值利率因子（Future Value Interest Factor，FVIF）」: 「現值利率因子（Present Value Interest Factor，PVIF）」 :

終值與現值的關係（續） 「基本現值公式（Basic Present Value Equation）」： 且由上二公式得知現值利率因子與終值利率因子乘積為1 (FVIFi , n) × (PVIFi ,n) = 1

年金 「年金（Annuity）」是指在某固定時間的等額金額支付。 例如在五年內，每年年底固定$1,000的現金流量，則此現金流量就稱作年金。 年金每期固定支付的金額是以PMT來表示。

年金（續） 普通年金（Ordinary Annuity） 期初年金 如果年金的現金流量是發生在每期的期末，則此種年金稱作普通年金或者遞延年金。 期初年金 如果年金的現金流量是發生在每期的期初，則此種年金稱作期初年金。 財務上所見到的年金型態一般都是以普通年金為主，所以如果沒有特別註明，都是指普通年金。

年金終值 普通年金終值的概念可以用下列時間線來表示： 0 1 2 3 ……………… n PMT

年金終值（續） PMT 0 1 2……………n-1……n 期初年金終值也可以下列時間線來表示：

年金終值（續） 永續年金是指年金的支付期數為無限多期 由於「永續年金(Perpetuity)」是無窮多期的，永續年金的終值利率因子在n期數趨近無限大時將會發散，因此永續年金的終值是無窮大的。 0 1 2 3……………………n……………………………∞

年金現值 普通年金現值的概念可用下列時間線表示： PMT 0 1 2 3 ………………………… n

年金現值（續） 普通年金現值

年金現值（續） 期初年金現值以時間線表示： PMT 0 1 2 …………………… n-1 n

年金現值釋例 在折現率 9% 的情況下，每年 100 美元且長達 4 年，第一筆現金流量發生在距今兩年後的年金現值為何？

年金現值釋例（續） $297.22 0 1 2 3 4 5 $100 $100 $100 $100 $323.97

成長型年金 以固定利率成長，但發放期數有限的現金流量 1 C 2 C×(1+g) 3 C ×(1+g)2 T C×(1+g)T-1

成長型年金釋例 假設某專案從目前開始連續四年，以每年增加 200 美元的幅度，發放現金 200 美元。若利率為 12%，則這些現金流量的現值為何？

成長型年金釋例（續） 1 2 3 4 200 400 600 800 178.57 318.88 427.07 508.41 1,432.93

年金現值（續） 如果年金的期數為無限多期，則此種年金成為「永續年金(Perpetuity)」。 永續年金現值是年金的每期支付額除以每期利率，公式如下：

成長型永續年金 以固定利率成長且發放到永遠的現金流量 1 C 2 C×(1+g) 3 C ×(1+g)2 …

連續複利與折現 間斷型的複利公式（複利期間為半年複利一次或是其他複利期間） 在前述的終值公式，都是假設複利期間為一期，但是如果複利期間並非一期一次，則終值公式可以修改為下列公式：

複利次數 若在 12% 且半年計息一次的複利下，投資 50 美元長達 3 年，則該投資將成長至

連續複利與折現（續） 連續複利(Continuous Compounding) 是指複利的期間為每一瞬間，因此每一期複利的期數就成為無限多次 終值的公式就可以用下面的公式表示：

連續複利與折現（續） 連續複利(Continuous Compounding) 從連續複利終值公式，就可以移項得到連續複利折現的現值公式。

有效年利率 「有效年利率(Effective Annual Interest Rate；EAR)」 意指不論一年當中複利的次數為何，複利的結果一年中實際上所得到的利率即為有效年利率。 假設名目的利率為i，一年當中複利的次數為m，則有效年利率的公式如下：

有效年利率釋例一 若在 12% 且半年計息一次的複利下，投資 50 美元長達 3 年 此投資的有效年利率為何？

有效年利率釋例二 試算 18% 年利率，且每月複利一次之貸款的有效年利率。 該貸款的月利率為 1.5%。 與年利率 19.56% 且每年複利一次的貸款等價。

每年複利、每半年複利、連續複利的利息變動差異

每年複利、每半年複利、連續複利的利息變動差異（續）

每年複利、每半年複利、連續複利的利息變動差異（續）

貸款的攤銷 攤銷貸款的計算方式，首先要計算每期的「還款金額(Payment)」 還款金額就是一種年金，因為每期都是支付固定金額，而此年金的現值就是借款額。 所以只要知道貸款的期數、利率和借款額，就可以求出每期的還款額。 攤銷貸款公式如下：

貸款攤銷表 期數 期初餘額 還款額 利息償付 本金償付 期末餘額 1 7000000 62980.82 52500 10480.82 6989519 2 52421.39 10559.42 6978960 3 52342.2 10638.62 6968321 4 52262.41 10718.41 6957603 5 52182.02 10798.8 6946804 … 236 307940.9 2309.557 60671.26 247269.6 237 1854.522 61126.29 186143.3 238 1396.075 61584.74 124558.6 239 934.1895 62046.63 62511.98 240 468.8398 0.00

本金利息攤還圖

何謂公司價值？ 概念上來說，一間公司的價值等於其所有現金流量之現值。 規模、時機與現金流量的風險是難以處理的部份。