第 2 章 因子及其使用

單一支付現金流量 (Single Payment Cash Flow) 當利息為每期複利ㄧ次，現值P在n期後n所累積之終值F。 已知P求 F 之過程，稱為複利過程 期數 期初本金 每期利息 期末本利和 1 P i F1=P(1+i) 2 P(1+i) P(1+i)*i F2=P(1+i)2 3 P(1+i)2 P(1+i)2*i F3=P(1+i)3 ,,,,,,, N P(1+i)N-1 FN=P(1+i)N FN = P * (1+i)n = P * (F/P,i%,n) 一次支付複利因子

基本推導: F/P 因子(複利過程) F/P複利因子 欲求 F ，已知 P P0 Fn N …………. 欲求 F ，已知 P 隨時間向前複利

從 F/P推導現值因子 P = F{1/ (1+i)n} = F* (1+i)-n = F* (P/F,i%,n) 因此: ∵ FN = P * (1+i)n P = F{1/ (1+i)n} = F* (1+i)-n = F* (P/F,i%,n) 因此: (P/F,i%,n) = (1+i)-n 一次支付現值因子

範例 1. 借$8,000 以每年10%之利率 ，本利和均在4年後償還 ，求4年後之償還金額為何? 2. 某人現在欲在銀行存ㄧ筆錢以供七年後花費$500， 若每年之利率為 10%，求此人現在應存多少錢?

範例 3.設年利率i=10%，試問需要多少年可以使現在的投資金額變為兩倍? 4.設現在的投資金額為$100，若該投資可望於5年後回收$150，試問該投資的年報酬率為何?

多次支付等額(年金)系列 (Uniform Series of Cash Flow) 已知A求 F F= ?? ………….. n 1 2 3 .. .. n-1 求 $F ，已知 $A 流量 $A （每期）

等額系列複利因子(F/A)的推導 (Uniform Series Compound-Amount Factor) F=A* = A * (F/A, i%, N) 等額系列複利因子

等額系列償債基金因子(A/F)的推導 (Sinking_Fund Factor) ………….. N 求 $A ，已知未來值- $F $A /每期

A/F的推導 A= F* = F * (A/F, i%, N) 等額系列償債基金因子

等額系列現值因子 已知A求 P P = ?? ………….. n 1 2 3 .. .. n-1 求 $P，已知年值- $A $A （每期）

括號內的關係為幾何等比級數. 此式乘以 1/(1+i) 則產生下一個式子 等額系列現值因子P/A的推導 括號內的關係為幾何等比級數. 此式乘以 1/(1+i) 則產生下一個式子 = A* (P/A, i%, N) 等額系列現值因子

資本回收因子 (Capital Recovery Factor) 已知P求A P ………….. n 1 2 3 .. .. n-1 求 $A，已知 $P $A =??（每期）

資本回收因子A/P的推導 已知 P/A 因子 產生…. = P* (A/P,i%,n) 資本回收因子

【範例】 (1) 已知某人向銀行借款$8,000，年利率10%，預計每年以等額方式分四年償還貸款，求每年償還之年金為多少? (2) 試求算4年中，每期年金所支付之利息分別為何?

線性定差的例子 A1+n-1G A1+n-2G A1+2G A1+G 0 1 2 3 n-1 N 這表示正的漸增的定差系列

現值點… $700 $600 $500 $400 $300 $200 $100 X 0 1 2 3 4 5 6 7 定差的現值點

現值—定差的部分 一般的 CF 圖– 只有定差的部分 (n-1)G (n-2)G 3G 2G 1G 0G 我們要求 PW， 在 t = 0 (1G左邊的兩期) 0 1 2 3 4 ……….. n-1 n

-

P/G 因子，對於 i 和N = G * = G * (P/G, i %,N) 定差變現值因子

A/G 因子 (A/G,i,n) =

幾何定差：漸增 令A1 = 系列中第一次現金流量 g = 固定改變率 A1 A1(1+g) A1(1+g)2 A1(1+g)3 0 1 2 3 4 …….. n-1 n A1 A1(1+g) A1(1+g)2 A1(1+g)3 A1(1+g)n-1

幾何定差：漸減 令A1 = 系列中第一次現金流量 A1 A1(1-g)n-1 A1(1-g)3 A1(1-g)2 A1(1-g) 0 1 2 3 4 …….. n-1 n A1 A1(1-g) A1(1-g)2 A1(1-g)3 A1(1-g)n-1

幾何定差: 推導 推導幾何定差，需要以下的參數: 每期利率 – I 固定改變率 – g 時間期數 – n 起始現金流量 – A1

幾何定差的 P/A 因子 這是 (P/A,g,i,n) 因子，且是有效的－ 若 g 不等於 i.

幾何定差: i = g 的情形 當 i = g

當未知年限時 Fn=? = 1000(F/P,5%,x): 2000 = 1000(1.05)x 求解括弧中的 “x” ……

練習題與答案