信用風險模型

信用風險與市場風險 信用風險損失之分配與市場風險損失之分配不同。 信用風險損失之分配呈左偏型態。 市場風險損失之分配呈對稱型態。

信用風險損失之分配

市場風險損失之風配

傳統的信用風險衡量 可分為質化衡量法(Qualitative Measurement Method）與量化衡量法(Quantitative Measurement Method）兩大類。 質化衡量法如採取”5P”或”5C”之專業評等，或是專家系統程式(expert system) 。 量化衡量法則是採用統計方法分析，如信用評分法(credit scoring)、Probit模型以及Logit模型等皆屬之。

專業評等之質化衡量法 ---5C原則 銀行主要是根據借款人的特性，加以主觀判斷其信用風險的情況。 品格(character) 資本(capital) 能力(capacity) 擔保品(collateral) 整體經濟情況(conditions)

專業評等之質化衡量法 ---5P原則 所謂”5P原則”則是根據下列角度評估借款人的信用風險情況 借款戶（People） 資金用途（Purpose） 還款來源（Payment） 債權保障（Protection） 授信展望（Perspective）

傳統質化衡量法的限制 利用”5C原則”或是”5P原則”的專家判斷方法，必須具備足夠的經驗與能力，這一類的專業人士培育不易，且人數有限。 亦有利用人工智慧，模擬專家評估信用風險的所謂”專家系統程式” 。 雖然這類系統可提供參考，但對於較複雜或是特殊情況的信用風險，系統往往是難以充分補捉。

傳統量化衡量法 利用一些財務比率，並給予這些財務比率不同的權數，然後估計出信用風險分數或是發生信用風險的機率。 所估計的信用風險分數或是信用風險機率，必須和所選定之基準值(a benchmark)比較。 常見之估計方法有四種 線型機率模型(linear probability model) logit 模型 probit 模型 區別分析模型(discriminant analysis model)

線型機率模型 屬於多元迴歸模型，以相關之財務比率作為解釋變數，因變數則是以0與1表示的無違約與有違約兩種情形。 以最小平方法估計。 上述四種模型中，此一模型是最簡單的。 但是上述四種模型中，此一模型的結果較差。 此一模型的問題在於因變數部分，因變數的值為0或1，是不連續的變數，而最小平方估計法是假設因變數連續。

Probit模型 Probit 是Chester Ittner Bliss於1934年提出的模型。 推導之結果可以最大概似法估計。

Logit模型 又稱為Logistic 模型。 Logit模型不僅可處理binomial的因變數，也可用以處理。 multinomial的因變數。 Logistic模型通常也是以最大概似法估計。

區別分析模型 (discriminant analysis model) 或稱為判別分析。 將樣本區分別不同屬性的組別，如違約與不違約。 以客戶之風險相關變數計算客戶的區別分數，如 其中x是風險相關變數而w是權數

Z-Score模型 Z-score模型是Edward Altman於1968年所提出，是屬於區別模型。 營運資金/資產總額 保留盈餘/資產總額 稅前息前淨利/資產總額 權益市值/長期負債之帳面價值 營業收入/資產總額

Z-Score模型 Z值愈高(低)，表示客戶的信用風險愈小(大) 。 選擇一基準Z值，用以區別客戶是屬於高信用風險者或是低信用風險者。

Z-Score模型的缺點 此一方法有若干缺點，如 (1)其選取的accounting ratios未必是足以掌握借款人的特質，因為資產負債表與損益表等財報，容易受到人為操作影響而失真。 (2)其關係式不一定侷限於線型。 (3)理論的依據較為薄弱。 (4)未考慮景氣影響。 (5)權數可能隨時間而有所改變。

Z-Score模型 ---例 假設某銀行收到客戶的申貸案件，該銀行以Z-score模型評估客戶的信用風險程度，根據客戶所提供的財報，相關的財務比率如下 若以1.81為基準值，該客戶屬於高信用風險群，

ZETA模型 Altman於1977年與另兩位學者共同提出ZETA模型。 該模型選擇七個財務比率，包括*稅前息前淨利/資產總額)、資產報酬率之標準差、利息保障倍數、(股東權益/資產總額)、流動比率、(普通股權益/總資本)、資產總額的對數。 這七個財務比率分別衡量:資產報酬率、收入益的穩定性、債務償還能力、累積盈利、流動性、資本比率、以及公司規模。

投資組合信用風險模型分類 由上而下模型(top-down models)與由下而上模型(bottom-up models)。 倒閉模式模型(default-model models)與市價重估模型(mark-to-market models)。 條件違約機率模型(conditional models of default probability)與非條件違約機率模型(unconditional models of default probability)。 結構式模型(structural models)與縮減式模型(reduced-form models)。

Top-down Models Top-down models group credit risks using single statistics. They aggregate many sources of risk viewed as homogeneous into an overall portfolio risk. Without going into the details of individual transactions. This approach is appropriate for retail portfolios with large numbers of credits.

Bottom-up Models Bottom-up models account for features of each instrument. It is appropriate for corporate and capital market portfolios.

Default-mode Models Default-mode models consider only outright default as a credit event. Hence any movement in the market value of the bond or in the credit rating is irrelevant.

Mark-to-market Models Mark-to-market models consider changes in the market values and ratings changes, including defaults. These fair market value models provide a better assessment of risk.

Conditional vs. Unconditional Models of Default Probability Conditional models incorporate changing macroeconomic factors into the default probability through a functional relationship. Notably, we observe that the rate of default increases in a recession. Unconditional models have fixed default probabilities and tend to focus on borrower- or factor-specific information.

Structural Models of Default Correlations Structural models explain correlations by the joint movements of assets. For each obligor, this price is the random variable that represents movements in default probabilities.

Reduced-form Models of Default Correlations Reduced-form models explain correlations by assuming a particular functional relationship between the default probability and “background factors.” For example, the correlation between defaults across obligors can be modeled by the loadings on common risk factors, such as industrial and country.

結構式模型的特色 以公司資本結構資料，如資產價值、負債與權益的相對變動等，估計該公司的違約機率。 公司的違約事件是內生的，亦即當變動的公司價值跌落預設的違約點時，公司即發生違約。

縮減式模型的特色 由於公司資本結構的資產價值不易取得，因此縮減式模型即是將結構式模型加以簡化，只涵蓋負債變數。 因此縮減式模型形式上就像一個債券評價模型。 推算債券殖利率，然後將殖利率減去無風險利率，即得信用價差(credit spreads)。 再由信用價差估計違約機率。

重要的信用風險模型 莫頓（Merton）模型 KMV模型 信用矩陣（CreditMetrics）模型 CreditRisk+模型 CreditPortfolio View模型

Merton模型 ---假設條件 模型假設 公司之資本結構只包含股票與零息債券，債券面額為K ，到期期限為T 亦即公司資產價值等於股票與債券價值之合計數, V = S + B。 公司違約事件只能在債券到期日發生。 股票價值影響公司資產價值，在到期日若公司價值高於負債價值(零息債券面額)，不發生違約，但若公司價值低於負債價值，即發生違約。 公司價值服從幾何伯朗尼運動。 選擇權價值以Black-Sholes-Merton模型評價。

Merton模型 ---公司價值 Merton模型假設公司價值服從幾何伯朗尼運動

Merton模型 ---架構 是一”結構式”信用風險模型。 利用股價、股價波動度以及負債面額等訊息預測違約風險。 將權益價值(value of equity)視為一個買權(call)，買權之標的物是公司資產，履約價格是負債面額，因此股票格可以買權表示為。

Merton模型 ---架構 公司的負債則可視為無風險資產K 減去賣權，該賣權的標的物是公司資產，履約價格為負債價值(亦即零息債券面額) ，所以在債券到期日，股票價值與債券價值分別為

Merton模型 ---risk premium 負債之現值為 若將中括號以D替代則上式可表達為 (where D is the discount factor of a risky bond)

Merton模型 ---risk premium The yield of the risky bond is equal to The risk premium of the bond is thus equal to

Merton模型 ---risk premium example The market value of a firm is equal to $40 million, and the face value of its debt amounts to $39.5 million with its debt expiring in one year. The risk-free rate is 2% and the volatility of the assets return of the firm is 0.4. 先以BSM模型計算賣權價格為 p =$5.61 再計算負債價值為 The yield of the risk bond is The risk premium is 17.7% - 2% = 15.7%

Merton模型 ---違約機率 將股價視為標的物為公司資產，履約價格為債券面額(亦即負債總額)的買權， 其中的 可視為風險中立下執行買權的機率，或可解釋為債券沒有違約的機率，如此可推導出債券違約的機率應為

Merton模型 ---違約機率(例) 假設A公司的目前的資產價值為$135，資產價值波動性為每年20%，評估期間為一年，無風險利率是10% ，到期時公司應償還的負債K為$120 ， 該公司ㄧ年的預期違約機率是多少?

Merton模型 ---違約機率(例) VA=135, σA=0.2, τ=1, K=120 , r=0.1 風險中立下的違約機率

Merton模型 ---違約機率(例) VA=135, σA=0.2, τ=1, K=120 , r=0.1 風險中立下的違約機率

Merton模型 ---預期信用損失 在到期之前的任意時點t，預期信用損失為 因此到期時之預期信用損失為

KMV模型 KMV模型是由KMV公司於1980年代後期所提出的信用風險模型，KMV公司是由三位合夥人共同創辦，S. Kealholfer, J. McQuown, 以及O. Vasicek，取三位姓氏第一個字母合併形成KMV。 KMV公司在2002年以二億一千萬美元賣給Moody’s 。 KMV模型是Merton模型的應用。 KMV模型與Merton模型不同之處主要在於，KMV估計出所謂的”違約間距”(distance to default, DD) ，然後再轉換為違約機率，KMV稱為”預期違約頻率”(expected default frequency, EDF)。

DD之計算 計算DD與EDF須有六個變數 The current asset value. The distribution of the asset value at time H. The volatility of the future assets value at time H. The level of the default point, the book value over the horizon. The expected rate of growth in the asset value over the horizon. The length of the horizon H.

Asset Volatility Asset risk is measured by asset volatility. This is a measure of the firm’s business and industry risk. Anheuser-Busch的資產波動度 21%,亦即一個資產價值波動度的變動,會引起資產價值由$$44.1增加或減少 $9 相對地, Compaq Computer的資產波動度為30.1%,表示一個資產價值波動度的變動,會引起資產價值由$$42.3增加或減少$16.5 Asset volatility is related to the size and nature of the firm’s size and nature of the firm’s business.

Market Value of Assets & Default Point

估計asset value and volatility If we go back in time, say 260 trading days, we get a system of equations

估計asset value and volatility 雖然符號所表示d1與d2均相同，但每期的d1與d2並不相同 其中asset volatility未知，但可求解之，解法是 Step 1. 先以Asset value = value of equity + value of liabilities作為A之起始值，並計算asset volatility Step 2. 以步驟1計算所得之asset volatility代入上述之the equation system，再重新估計asset values Step 3. 重複步驟2，直到所估計之資產價值變動平方和收斂至一極小值為止，屆時之asset volatility即為得解。

估計asset growth 計算default probability必須有the expected change in asset values(mu) mu的解法是以前面最後模型估計之asset values，再以大盤指數與無風險利率，分別算出asset與大盤的excess returns 再以CAPM估計期望報酬率，例如第t日之期望報酬率為4.6% 轉換為以連續表達為ln(1.046)，此即為與欲求解之mu。

KMV模型 KMV模型的重大貢獻是求解出公司資產價值，以及公司資 產波動渡。 下列兩條方程式中，只有兩個未知數 ，故這兩個未知數可以解出 下列兩條方程式中，只有兩個未知數 ，故這兩個未知數可以解出 上述其中的負債K包括短期負債(到期在一年以內者) ，以及長期負債帳面價值的半數。

KMV模型 ---DD 解出 ，然後即可估計DD值 例如，某公司按照KMV之定義所計算的負債，以及估計所得之公司資產價值與資產波動動分別為K=$80,000,000，V=$100,000,000 ， 結果顯示，公司資產價值距離倒閉點有兩個標準差。

KMV模型 ---EDF 再將DD值轉換為違約機率。

KMV模型的優點與缺點 優點 有理論基礎 利用股價資訊 利用股價相關係數即可估計違約相關係數 前瞻式的模型 違約預測的精確度較之信評為高 無法用於評估主權信用風險(sovereign credit risk)，因為國家沒有股價的資訊 假設固定資 本結構 假設資產報酬率為常態分配 無法解釋信用利差(credit spreads) 沒有區別債務的不同性質

信用矩陣模型 (CreditMetrics) 信用矩陣模型是由J.P. Morgan於1997年所提出，用以衡量投資組合信用風險的模型。 信用矩陣模型假設信用風險是由債券信評變動所引起，因此是屬於”由下而上”的模型。 將信用事件(credit events)定義為信評移轉(rating migrations)，因此CreditMetrics所稱信用風險，包括倒閉風險以及信用惡化的風險，也就是信用被調降的風險。

Structure of CreditMetrics Exposures Credit VaR Correlations User portfolio Credit rating Credit spreads Seniority Equities correlations Market volatilities Rating migration Bond valuation Recovery rate Debtor correlations Expected exposure Distribution of values for a single credit Joint rating changes Portfolio value at risk due to credit

信用矩陣模型估計架構 首先將投資組合的每項工具分別獨立開來。 然後分別估計每項工具的預期信用暴險值(expected credit exposures)以及信用損失分配(distribution of credit loss)。 再估計各項工具相互間的倒閉相關性(correlations among defaults)。 假設每項工具都服從常態分配，並設定每項工具的倒閉切割點，同時假設投資組合的所有工具服從連合常態分配(a multivariate normal distribution)。 最後是依據上述的假設條件，進行投資組合價值的模擬(simulations)。

信用矩陣模型 ---預期信用暴險值與信用損失分配 目標日的預期信用暴險值的估計是以目前的暴險值，再加上市場波動度的影響而得。 信用損失分配 先設定每項工具目前的信用等級，然後評估未來信評移轉(rating migrations)的情形，重估信評移轉後該項工具的合理價格，分別計算不同程度的信評移轉後的價格變動幅度，即可得信用損失分配。 以下表信評為BBB的債券為例，未來一年倒閉的機率為0.18%，債券價格將降至$51.13，信評提高為A的機率為5.95%，債券價格將提高為$108.66，因此考慮信用風險後，債券明年的期望價值是$107.09，標準差為$2.99 。

債券價格分配 機率(p) 理論價值(V) 期望值(p*V) P(V-m)^^2 AAA 0.02% $109.37 0.02 0.00 AA 0.33% $109.19 0.36 0.01 A 5.95% $108.66 6.47 0.15 BBB 86.93% $107.55 93.49 0.19 BB 5.30% $102.02 5.41 1.36 B 1.17% $98.10 1.15 0.95 CCC 0.12% $83.64 0.10 0.66 Default 0.18% $51.13 0.09 5.64 m=$107.90 SD=$2.99

信用矩陣模型 ---倒閉相關性 倒閉相關性是由工具價格的相關性推導而得。 並按業別以及地域別加以區分，然後估計倒閉相關係數。 例: 假設有兩家公司，公司1與公司2，並假設公司1的波動度有90%來自美國化工產業，而公司2的波動動有74%來自德國保險指數以及15%來自德國銀行指數，則公司1與公司2的倒閉相關係數估計如下

信用矩陣模型的缺點 假設相同信評等級的法人，具有相同的信用風險，因此違約機率也應相同。 只考慮信用風險部份，缺乏考慮市場風險與信用風險的交叉影響。

CreditRisk+模型 CreditRisk+是瑞士信貸銀行(Credit Suisse)於1997年所提出的信用風險模型。 是由財產保險理論發現出來的精算模型(am actuarial approach)。 是屬於探討倒閉與否的信用風險模型，只考慮倒閉或沒有倒閉兩種情境，有別於市價重估模型(a mark-to-market model)考慮信用惡化甚至倒閉的所有情境。 倒閉機率非固定，而是隨時間而有所變動。 若倒閉事件獨立的話，則違約機率會呈波式分配(a Poisson distribution)。

CreditRisk+模型 可先將投資組合按性質分類，再分別估計，如此可達到補捉”相關性”這部分的影響。 此外，信用損失的估計，可以按信用損失的程度分類，例如損失額度在$20,000以下為第一類，損失在$20,000以上且$40,000以下為第二類等等，將每一類之損失合併即形成損失分配。

CreditRisk+模型優點與缺點 優點: 模型簡易，可快速計算求解。 無須對發生倒閉的原因作任何假設 。 模型所需之變數不多。 缺點: 只考慮倒閉與否兩種情況，沒有考慮介於其間的”信用惡化”的情況。 沒有考慮市場風險以及市場風險對於信用風險的影響。

Credit Portfolio View模型 Credit Portfolio View模型是麥肯錫(McKinsey)公司於1997年所提出的。 這是屬於由上而下的模型(a top-down model) 。 此一模型最大的特點是著重於總體經濟層面的影響。 因此違約機率也會受到景氣的影響，在景氣低迷時，違約機率較高， 相對地在景氣好轉時，違約機率會較低 。

Credit Portfolio View模型 例如以logit涵數估計條件違約機率 其中 是指屬於j產業/國家的債務人在t時點的違約機率， 是以多因子模型(a multifactor model)估計，包括主要的總體經濟變數。

Comparison of Credit Risk Models CreditMetrics CreditRisk+ KMV CreditPf. View Originator J.P. Morgan Credit Suisse McKinsey Model type Bottom-up Top-down Risk definition Market value Default losses Risk drivers Asset values Default rates Macro factors Credit events Rating change/default Default Continuous default prob. Probability Unconditional Conditional Volatility Constant Variable Correlation From equities Default process From macro factors Recovery rates Random Constant within band Solution Simulation/analytic Analytic Simulation

Comparisons ISDA, Credit Risk and Regulatory Capital (New York: ISDA, 1998) The international Swaps and Derivatives Association (ISDA) conducted a comparative survey of credit risk models. The empirical study consisted of three portfolios of one-year loans with a total notional of $66.3 billion each. Portfolio A: High-credit-quality, diversified portfolio (500 names) Portfolio B: High-credit-quality, concentrated portfolio (100 names) Portfolio C: Low-credit-quality, diversified portfolio (500 names)

Comparisons (Continued) The Basel I yield the same capital charge, irrespective of quality or diversification effects. 若不考慮correlation, 四個信用風險模型估計結果一致 投資組合A約為$800 million, 投資組合B約為$2,000 million, 二者差異主要反映diversification effect. 投資組合A約為$800 million, 投資組合C約為$2,000 million, 二者差異主要反映credit quality 若加入correlation, 不僅capital charges普遍較不考慮correlation為高, 四個信用風險模型估計結果也出現較明顯差異 尤其, 考慮correlation後的投資組合C, 所估計之capital charges 甚至是Basel rules 的二倍

Capital Charges from Various Credit Risk Models Assuming zero correlation Portfolio A Portfolio B Portfolio C CreditMetrkcs 777 2,093 1,989 CreditRisk+ 789 2,020 2,074 Internal model 1 767 1,967 1,907 Internal model 2 724 1,906 1,756 Basel I rules 5,304 Assessing correlations 2,264 2,941 11,436 1,638 2,574 10,000 1,373 2,366 9,654

Comparisons (Continued) IACPM and ISDA, Convergence of Economic Capital Models (New York; ISDA, 2006). The base portfolio consists of $100 billion in loans to 3,000 obligors spread across different industries and countries, with an average credit rating of BBB. The Basel II rules require economic capital of about $3.3 billion of the notional. The three commercial models give remarkably close results. The report concludes that “if assumptions are aligned, there is not much difference between the valuation methods from PM and CM.”

Comparison of Credit Risk Models Expected Loss Capital at 99% KMV (PM) 563 3,791 CreditMetrics (CM) 562 3,533 CreditRisk+ 564 3,662 Basel II 607 3,345

FRM EXAM 1998---Question 41 Credit provisions should be taken to cover all of the following except Nonperforming loans The expected loss of a loan portfolio An amount equal to the VaR of the credit portfolio Excess credit profits earned during below-average-loss years Answer: c) Credit provisions should be made for actual and expected losses/ Capital, however, is supposed to provide a cushion against unexpected losses based on CVaR.

FRM EXAM 1998---Question 39 Calculate the one-year expected loss of a 4100 million portfolio comprising 10 B-rated issuers. Assume that the one-year probability of default for each issuer is 6% and the average recovery value for each issuer is 40%. $2.4 million $3.6 million 424 million $36 million Answer: b) $100,000,000 * 6%*(1-40%)=$3.6 million

FRM EXAM 1998---Question 13 A risk analyst is trying to estimate the credit VaR for a risky bond. CVaR is defined as the maximum unexpected loss at a confidence level of 99.9% over a one-month horizon. Assume that the bond is valued at $1,000,000 one month forward, and the one-year cumulative default probability is 2% for this bond What is the best estimate of the CVaR for the bond, assuming no recovery? $20,000 $1,682 $998,318 $0

FRM EXAM 1998---Question 13 (Continued) Answer: c) The monthly probability is The expected credit loss is d * $1,000,000 = $1,682. The WCL is $1,000,000 and the CVaR is $1,000,000 - $1,682 = $998,318.

FRM EXAM 2004---Question 11 When determining the standard deviation of value due to credit quality changes for a single exposure, the CreditMetrics model uses three primary factors. Which of the following is not one of the factors used in this model? Credit ratings Seniority Equity prices Credit spreads Answer: c) CreditMetrics uses credit ratings, the transition matrix, recovery rates, and LGD for various seniority, but not prices for the obligor.

FRM EXAM 2004---Question 20 A firm’s assets are currently valued at $500 million and its current liabilities are $300 million. The standard deviation of asset values is $80 million. The firm has no other debt. What will be the approximate distance to default using the KMV calculation” 2 standard deviations 2.5 standard deviations 6.25 standard deviations Cannot be determined Answer: b) DD = (500 – 300) / 80 = 2.5 sd

FRM EXAM 2000---Question 44 (Continued) Which one of the following statements regarding credit risk models is most correct? The CreditRisk+ model deomposes all the instruments by their exposure and assesses the effect of movements in risk factors on the distribution of potential exposure. The CreditMetrics model provides a quick analytical solution to the distribution of credit losses with minimal data input. The KMV model requires the historical probability of default based on the credit rating of the firm. The Credit portfolio View (McKinsey) model conditions the default rate on the state of the economy.

FRM EXAM 2000---Question 44 Answer: d). Answer a) is wrong because CreditRisk+ assumes fixed exposures. Answer b) is also wrong because CreditMetrics is a simulation, not an analytical model. Finally, KMV uses the current stock price and not the historical default rate.