总结 高等代数 多项式 线性代数 矩阵 向量 方程组 计算

多项式 一元多项式 多元多项式

一元多项式 基本概念： 次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具

重要结论： 带余除法定理 最大公因式的存在和表示定理 互素 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

因式分解唯一定理 标准分解定理 重因式 次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一. 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定. 重因式 f无重因式当且仅当f与其导式互素.

代数学基本定理： 下列陈述等价， 复数域上次数≥1的多项式总有根 复数域上的n次多项式恰有n个根 复数域上的既约多项式恰为一次式 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二次式 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积

复数域上的标准分解定理 实数域上的标准分解定理 在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数. 实数域上的标准分解定理 在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.

多项式作为函数： 两个多项式相等(即对应系数相同) 它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) 它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数的最大者. 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，则f(x)恒等于0.

Eisenstein判别法： 设 是整系数多项式，若有素数p使得 则f(x)是有理数域上的既约多项式. 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项

多元多项式 基本概念： 重要结论 命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式 重要结论 命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和 ，fn≠0，且其中fi是0或i次齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量. 对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式

矩阵 运算 行列式 初等变换 和标准形 特殊矩阵

运算及其关系 定义 性质 (A+B)T=AT+BT r(A+B)≤r(A)+r(B) (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 转置 取逆 伴随 行列式 秩数 加 法 (A+B)T=AT+BT r(A+B)≤r(A)+r(B) 数 乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A* |kA|=kn|A| r(kA)=r(A) (k≠0) (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A* |AB|=|A||B| r(A)+r(B)-n≤ r(AB)≤r(A), r(B) 转 置 (AT)T=A (AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T |AT|=|A| r(AT)=r(A) 取 逆 (A1) 1=A (A1)*＝(A*)1 |A1|=|A|1 伴 随 (A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 n, 若r(A)=n r(A*)= 1, 若r(A)=n-1 0, 若r(A)<n-1 其 它 A-1=|A|-1A* AA*=A*A=|A|E 当A可逆时， A*＝|A|A1 定义 性质 若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)

a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij| 性质 公式 备注 转置不变性 |AT| = |A| 行列地位平等 反交换性 |.........| = |.........| 这两个性质等价 交错性 |.........| = 0 齐性 |...k...| = k|.......| 统称线性 加性 |...+...| = |......| + |......| 倍加不变性 |...+k......| = |.........| 消法变换 按第k行 第k列展开 |aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij| Laplace定理 分块三角矩阵的行列式 Cauchy-Binet Vandermonde 行列式 定义 ；

Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开) ； 分块三角形行列式

设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, 则 当m>n时, |UV|=0; 当m=n时, |UV|=|U||V|; 当m<n时,

对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A 初等变换 行变换 列变换 换法变换 倍法变换 消法变换 对单位矩阵做一次初等变换 对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A

矩阵等价 A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵 对于m×n矩阵A，B下列条件等价 AB，即A可由初等变换化成B 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 秩A=秩B A，B的标准型相同

可逆矩阵vs列满秩矩阵 对于n阶矩阵A,下列条件等价 对于m×r矩阵G,下列条件等价 A是可逆矩阵 G是列满秩矩阵, |A|0 G有一个r阶的非零子式 秩A=n 秩G=列数 有B使得AB=I或BA=I G有左逆,即有K使得KG=I A是有限个初等矩阵之积 有矩阵H使得(G, H)可逆 A(行或列)等价于I G行等价于 A的列(行)向量组线性无关 G的列向量组线性无关 方程组Ax=0没有非零解 方程组Gx=0没有非零解 对任意b,Ax=b总有解 对任意b,若Gx=b有解则唯一 对某个b,Ax=b有唯一解 对某个b,Gx=b有唯一解 A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C) G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)

矩阵分解 设A的秩数为r, 则A有如下分解 ,其中P,Q为可逆矩阵 A=PE,其中P可逆,E是秩数为r的RREF A=GH,其中G列满秩,H行满秩,且秩数都是r (满秩分解)

两种常用方法 分块矩阵的初等变换和Schur公式 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 Schur公式 设A可逆 适用例子: 习题3.7.5; 3.7.9~11:

2.正则化方法 证明当A可逆时结论成立 考虑xI+A,有无穷多个x使得该矩阵可逆 将要证明的结论归结为多项式的相等 适用例子: 习题3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:

特殊矩阵 三角 正规 可逆←幂幺←对合  ↗  ↖   Hermite 反Hermite 酉矩阵     三角 正规 可逆←幂幺←对合  ↗  ↖   Hermite 反Hermite 酉矩阵      实对称 实反对称 正交  ↗ 对角 幂等  幂零 纯量

向量 线性关系 线性相关 线性无关 线性表示 等价 极大无关组 秩数

线性表示： 列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,...,r)=(1,...,s)C. 进一步，C的第k列恰为k的表示系数 线性表示有传递性 被表示者的秩数≤表示者的秩数 向量组等价： 对于向量组S，T，下列条件等价 S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示

线性相关与线性表示： 线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 1,...,r线性无关 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一 线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 1,...,r线性无关 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 1,...,r的秩数等于r (1,...,r)是列满秩矩阵

极大无关组与秩数： 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 1,...,r线性无关 若秩S＝r,则任何r个无关的向量都是极大无关组 矩阵的秩数＝行向量组的秩数＝列向量组的秩数 向量组 向量空间 解空间 极大无关组 基底 基础解系 秩数 维数 n － r

向量空间 向量空间：加法和数乘封闭的向量集合 基底：向量空间的极大无关组 维数：向量空间的秩数 行空间：矩阵的行向量组张成的向量空间 列空间：矩阵的列向量组张成的向量空间 行空间与列向量的维数都等于矩阵的秩数 对于矩阵m×n矩阵A，B，下列条件等价 A,B行等价 A,B的行空间相同 A,B的行向量组等价 A,B的列向量组线性关系一致 Ax=0和Bx=0同解

线性方程组 线性方程组的表示 方程式： 矩阵式：Ax=b, 其中A=(aij)m×n, x=(xi)n×1, b=(bi)m×1 向量式：x11+...+xnn=b, 其中i是xi的系数列

解的判定: 1. n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵的秩数相等. 具体地， 当秩A＜秩(A b)时，方程组无解 当秩A＝秩(A b)＝n时，方程组有唯一解 当秩A＝秩(A b)＜n时，方程组有无穷解 2. 线性方程组有解常数列可由系数列线性表示. 此时, 解恰为表示的系数

解法 Cramer法则 Gauss-Jordan消元法： 用行变换和列换法变换将增广矩阵化成RREF 写出RREF方程组 取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量 写出参数解或通解

=c11+...+css，其中c1,...,cs是任意常数 解的结构 齐次线性方程组Ax=0： 解空间：解的集合 基础解系：解空间的基底 通解：设1,…,s是一个基础解系,则通解为 =c11+...+css，其中c1,...,cs是任意常数 解空间的维数＝未知数个数－系数矩阵的秩数 设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系

=c11+...+css+，其中c1,...,cs是任意常数 一般线性方程组Ax=b： Ax＝b和Ax=0的解的关系： Ax＝b的两个解之差是Ax=0的解 Ax＝b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解 Ax=b的解的线性组合是 设Sb和S0分别表示Ax＝b和Ax=0的解集合，则 Sb＝S0+，Sb 通解：设1,…,s是一个基础解系,是Ax=b的一个解, 则通解为 =c11+...+css+，其中c1,...,cs是任意常数 Ax=0的解，当系数和＝0时； Ax=b的解，当系数和＝1时.

计算 多项式的计算 带余除法 求最大公因式(辗转相除法) 求有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项 既约性判别：Eisenstein判别法 重因式判别 特殊多项式的因式分解 用初等对称多项式表示对称多项式

矩阵计算 行列式：①化三角形；②展开+递推 求逆矩阵：①行变换；②伴随 求秩数：①初等变换；②定义

方程组的计算 求基础解系： Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 已知秩A＝r，则任何r个无关解都是基础解系 带参数的方程组： 先化简，再判定. 可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时.

向量的计算 设S：1,...,s是n元向量组(无论行或列) 求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数 判断S的相关性： 设x11+...+xss=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关. 求S的秩数.若秩Ss,则相关；若秩S＝s,则无关 线性表示：令=x11+...+xss,将其转化成x的方程组.若方程组有(唯一)解，则可由S(唯一)表示，且方程组的解就是表示的系数；否则，不可由S表示.

求极大无关组： 若已知秩S＝r，则在S中找出r的无关的向量即可 将S中的向量写成列的形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形或RREF，则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致.

谢谢