數學素養的評量設計 國立臺南大學 教育系 林素微

亮點基地學校 「<數學素養評量與教學>之課程規劃與評鑑」主題規劃 亮點基地學校 「<數學素養評量與教學>之課程規劃與評鑑」主題規劃 主題 時間 內容 1.國際數學素養評量趨勢探討與試題試作 13:30~15:00 國際數學素養評量趨勢簡介 15:00~15:30 試題試作 15:30~16:00 教學疑難雜症Q&A 2.數學素養試題評分規範簡介及學生表現評閱試作 13:30~15:30 數學素養試題評分規範簡介及學生表現評閱試作

主題 時間 內容 3.數學素養評量實施的經驗分享&強化數學素養教學要點探討 13:30~15:00 分組活動：整理數學素養試題(每組1~2題)學生的表現概況分析討論 15:00~15:30 小組報告 15:30~16:00 教學疑難雜症Q&A 4.數學素養評量設計討論 13:30~15:30 數學素養評量試題設計分享 5.數學素養教學設計討論 數學素養教學案例設計分享

PISA The Programme for International Student Assessment (PISA) is a triennial world-wide test of 15-year-old schoolchildren's scholastic performance, the implementation of which is coordinated by the Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD). PISA was first mooted in 1997.

What is the OECD? 具有 34 個會員國，旨在推動民主和市場經濟的國際組織。 提供資料的比較、分析和展望 別稱「富國俱樂部」 以便政府能夠： - 比較政策經驗 - 對一般問題尋求解答 - 識別好的政策 - 調整政策 別稱「富國俱樂部」

廣布全球的國際組織

Comparison with TIMSS and PIRLS Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) Progress in International Reading Literacy Study ( PIRLS )

PISA 評量的內容 PISA評量自2000年開始，每三年調查一次。 PISA評量包括： 閱讀素養、數學素養和科學素養。 2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量 PISA評量自2000年開始，每三年調查一次。 PISA評量包括： 閱讀素養、數學素養和科學素養。 每次以一個領域為主進行深度的調查，另二個領域為輔。 2000 - 閱讀 2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學、問題解決 2003 - 數學 （問題解決） 2015 – 科學 預計 全面電腦化 2006 - 科學 臺灣第一次參加

Shall I slice the pizza into four or eight pieces? Make it four ! I could never eat eight !

一.PISA對於數學素養之定義 每個國家的國民都會碰到無數的有關數量、空間、機率或者其他數學概念的相關課題。例如，媒體（報紙、雜誌、電視、以及網際網路）都充滿了統計圖表或者圖示的資訊，例如氣象、經濟、醫藥和運動。 現在國民都會碰到全球暖化與溫室效應、人口成長、浮油與海洋、或者逐漸削減的農村議題的相關資訊。最後但同樣重要的是，國民都必須閱讀各種表格，解讀公車以及火車的時刻表、成功的處理包含金錢的買賣、以及決定賣場中的最佳買法等等。

二.PISA數學素養的理論基礎 數學化(mathematising)有五個重要的特徵： 1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。 2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要的數學概念重新組織問題。 3.逐漸調整現實(trimming away the reality)，轉化成數學語言 4.進行問題解決 5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。

數學素養評量 在不同情境脈絡中，辨識、做及運用數學的能力。 藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數 學在世界上所扮演角色的能力。 溝通 內容領域 改變與關係：函數、代數、方程式 空間與形狀：座標系統、幾何測量 數量：數與單位、四則計算、百分比 不確定性：抽樣、機率、資料變異性 情境脈絡 個人：購物、飲食 職業：試算表使用 社會：選舉、經濟 科學：醫學、天氣 溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算 工具使用

數學歷程 真實 數學 世界 情境脈絡 問題 數學問題 情境脈絡 結果 數學結果 形成 應用 驗證結果 詮釋 界定應用或使用數學的機會 將問題從現實世界中轉換到數學領域 將問題情境轉變成一種適合進行數學處理、提供數學結構與表徵，以及確認變項與簡化假設，以解決問題 13

數學歷程 真實 數學 世界 情境脈絡 問題 數學問題 情境脈絡 結果 數學結果 形成 應用 驗證結果 詮釋 「應用」數學概念、事實、程序、推理與工具 執行計算，操弄代數式、方程式或其他數學模式，分析數學圖表的訊息，發展數學的描述與解釋，以及使用數學工具來解決問題 依據問題情境的模式來執行、調整、建立規律、找出連結，並產生數學論證 14

數學歷程 真實 數學 世界 情境脈絡 問題 數學問題 情境脈絡 結果 數學結果 形成 應用 驗證結果 詮釋 「詮釋」、應用以及評鑑數學結果。對數學的解法及結果進行反思與詮釋。 評估與問題情境有關的數學解法或推理，並決定這些結果在此情境下是否合理且具有意義 解釋論證，同時反思其建模歷程與結果 15

數學概念(Overarching ideas) 三.數學領域的組織 情境(Situations) 脈絡(CONTEXT) 數學概念(Overarching ideas) 內容(CONTENT) 問題(PROBLEM) 與 解決(SOLUTION) 歷程(Process) 能力群組 (COMPETENCY CLUSTER) 能力(Competencies) 問題形式 (Problem format)

四.情境和脈絡 情境是作業內容中學生世界的部分，它應該和學生有一定的距離。 對PISA而言，最接近的情境為的學生的個人生活；接著是學校生活，工作以及休閒；然後日常生活中所會碰到社區及社會；最後是科學情境。針對這四個情境所界定和使用的問題為：個人、教育／職業、公共、以及科學問題。

五.數學內容‑四個概念(overarching ideas) OECD/PISA使用的概念如下： 1.數量 2.空間與形狀 3.改變與關係 4.不確定性 這四個數學內容形成的領域廣泛，確保試題可散布於課程之中，但同時可避免太過明確而違反真實情境問題解決的憂慮。

空間與形狀

當一個平面切過一個正立方體時，可能產生哪些形狀？ 這些形狀有多少面？多少邊？或者頂點？

這是一個有許多正立方體所堆疊起來的物體。 從側面看、和前面看的兩個圖形。 有許多正立方體被用來組合成這個物體？

改變與關係

校外教學 有個班級要租一輛遊覽車進行校外教學。有三家公司來競標。 A公司一開始就收費375元，遊覽車每行駛一公里就再加0.5元。B公司一開始就收費250元，遊覽車每行駛一公里就再加0.75元。C公司在車子行走200公里以內都收取350元，超過200公里後每走一公里就再加1.02元。 問題1 如果校外教學的距離介於400到600之間，這個班級應該選擇哪一家公司？

400 600

細胞繁殖 醫生們正在監控細胞的繁殖。他們對於從實驗開始後細胞數量達到60000個的天數特別感到興趣。觀察的結果如下表 何時細胞會達到60000個？

食物鏈 下圖呈現的是兩種生物(草履蟲和酵素)的消長情形

食物鏈 問題1 其中一種動物(predator)會吃掉另一種(prey)。從圖中，你判斷出哪一種生物是predator，哪一種是prey嗎？ Prey-predator的現象之一可以描述如下：predator的成長速率是prey目前數量的比例。請問這個特質在上圖中可以看出來嗎？

數量

今天晚上你要舉辦一個聚會，你想要買100罐可樂，一手可樂有六罐，請問你要買幾手？ 一個滑翔者的滑翔比例為1比22，要從120公尺高的懸崖往下滑下，如果飛行員想要停在距離滑翔起點1400公尺處的落點，在沒有風等條件的影響，他是否可能完成目標？ 學校想要租迷你巴士(有八人座)來進行學校的露營活動，有98名學生需要搭乘，學校需要多少輛迷你巴士？

儲蓄 1000元存進銀行中。有兩種選擇。一種是年利率4%，或者是年利率3%，但每年會有額外10元的紅利。 存一年的話哪一種選擇較好？ 存兩年呢？

幣值系統 有沒有可能可以建立一個被3和5所整除的幣值系統？ 這些幣值可能為何？ 是否可以符合現實的需要

百分比 Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克。在Zedland國家是需要外加5%的稅。店員先將夾克的定價加5%的稅後再打八折。Carl認為不應該如此。他要店員先打八折，然後再算5%的稅。 請問這兩種做法有何差異？

不確定性

平均年齡 如果有一個國家40%的人口最少都在60歲以上，有沒有可能這個國家的平均年齡是30歲？

成長中的收入？ Zedland的人民最近幾十年來的收入是增加還是減少？每一個家庭總收入的中數是下降的：1970年是34200元，1980年是30500元，1990年是31200元。但是每個人的收入卻是增加的：1970年為13500，1980年為13850，1990年是15777元。 家庭總收入包含了所有住在相同住址的人的收入總額。解釋為什麼有可能Zedland國家中，家庭總收入下降的同時，個人的收入卻是增加的？

上升的犯罪率 下圖是Zedland新聞周刊中的一個統計圖 它呈現出每100 000居民中的犯罪量，一開始是五年為間隔，然後間隔改變為一年。

上升的犯罪率 問題1 根據報導，1960年時，每100 000人中的犯罪量是多少？

上升的犯罪率 有一家警報系統的工廠運用了同樣的數據畫出以下的統計圖：

上升的犯罪率 問題2 請問設計者是如何畫的？理由為何？

Mathematical solutions 六.數學歷程 (ㄧ)數學化（mathematisation） 圖　　數學化的循環 數學解法 Mathematical solutions 數學問題 Mathematical problem 真實解法 Real solutions 真實世界問題 Real-world problem 真實世界(Real world) 數學世界(Mathematical world) 5 4 1,2,3

(二)能力(the competencies) 針對mathematisation，PISA提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)： 思考及推理Thinking and Reasoning 論證Argumentation 溝通Communication 建模Modelling

5.擬題及解題Problem posing and solving 6.表徵Representation, 7.運用符號、形式化及科技的語言及運算Using symbolic, formal and technical language and operations 8.使用輔助工具Use of aids and tools

七.能力群組(competency clusters) 1.複製(reproduction)、 2.連結(connection)、 3.反思(reflection)。 註：因應PISA的普及，各國課程逐漸PISA化，此部分在PISA 2012會拿掉，但此理念對於教師數學的布題或試題設計上仍有提醒的作用，故在此保存。

(1)複製群組reproduction cluster 此能力群組基本上包含習過知識的複製。一般而言，他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 。 如事實、一般問題表徵的知識，等值的辨識，熟悉數學物件以及特性的再蒐集，例行程序的比現，標準算則及技術性技巧的應用，在標準的型態中操弄概念完備的符號，以及計算的進行。

解方程式7x-3=13x+15 7,12,8,14,15,9的平均數是多少？ 1000元存進銀行，年利率是4%，一年後全部領回多少錢？

M432: 反應時間 在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間，「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間。

問題 2：外銷出口 2000年Zedland的果汁外銷總額（單位：百萬zeds）？ (A) 1.8 百萬zeds。 (B) 2.3 百萬zeds。 (C) 2.4 百萬zeds。 (D) 3.4 百萬zeds。 (E) 3.8 百萬zeds。

(2)連結群組connection cluster 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上，在此問題解決不是例行的，但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境

問題 2：反應時間 目前為止，沒有人能夠在短於鳴槍後的 0.110 秒內開始起跑。 如果跑者被記錄的反應時間少於0.110 秒 ，那必須考量跑者的起跑有問題，因為跑 者一定在聽見槍響前就起跑。 如果獲得銅牌的跑者有更快的反應時間， 他是否會有機會獲得銀牌？ 請寫出一個理 由來解釋你的答案。

問題示例： 小莉家離學校2公里，而小丁是5公里。 請問小莉家和小丁家的距離有多遠？

以下是某個國家日報上的兩則廣告，幣制是以zeds為單位 問題示例： 以下是某個國家日報上的兩則廣告，幣制是以zeds為單位 A大樓 辦公室出租 58-95平方公尺 每個月475zeds 100-120平方公尺 每個月800zeds B大樓 辦公室出租 35-260平方公尺 每年每平方公尺90zeds 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室，要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜？請呈現你的想法。

問題示例： 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩，較小的披薩直徑為30公分，定價30元；較大的披薩直徑為40公分，定價40元。 問題1： 哪種披薩比較划算，請寫出你的理由。

(3)反思群組reflection cluster 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)，這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關，相對於連結群組，反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)。

問題1：燈塔 下列哪一個是這個燈塔亮、暗的週期？ A. 2秒 B. 3秒 C. 5秒 D. 12秒

八.數學素養評量 (ㄧ)作業的特徵 1.PISA數學作業的本質 訓練有素的評定者，詳細的編碼架構 四個情境型態均納入考量 強調真實的脈絡 試題內容和四個整體概念有關且應該包含一個以上的數學歷程、數學能力群組。 試題的閱讀層次需詳加考量，試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握，避免會造成文化偏誤的試題。 試題難度範圍廣泛

2.試題的型態 三種題型：開放的建構反應型態、封閉的建構反應型態、選擇題 選擇題：複製及連結能力群組最適切的題目， 更高階的目標以及更複雜的歷程，其他兩種型態會比較好，封閉式的建構反應型態和選擇題比較類似，但仍有一些區隔。 三分之ㄧ的數學問題是開放建構的試題，這些試題需要評分者根據具有專業判斷的評量基準來進行編碼。PISA進行評分者信度來監控評定時的一致性。

(二)評量結構 試題的比例反映出三個能力群組 (reproduction, connections and reflection)約為1：2：1 。 三分之一的題目為選擇題，三分之一的題目為封閉式建構問題，另三分之一為開放建構反應試題。

Math item requirements 命題須知(一) PISA 是一個以15 歲學生為對象的國際素養技能測驗。所有的試題應能適合每一個國家的15 歲學生。 試題內容和四個整體概念有關且應該包含一個以上的數學歷程、能力。 （Math content area: Change and relationships, Quantity, Space and Shape, Uncertainty） 。 情境型態均納入考量。 強調真實的脈絡。 試題的閱讀層次需詳加考量，試題的用字盡可能簡單且方向容易掌握，避免會造成文化偏誤的試題。主動勝過被動語態。 例：各國翻譯考量、現實世界題材考量、與數學相關 試題難度範圍廣泛。 詳細的編碼(計分規範)架構。

Math item requirements 命題須知(二) 試題以單元為主(units) ， 一個情境包含3~5個問題，最好每個問題皆能獨立作答 需包含學生實際作答版本和一組學生進行測試，這樣可修正試題並且學生作答反應可置入計分規範 應試文具只有：尺、橡皮擦或修正帶或液、指南針、計算機、圓規 試題類型： 三分之一的開放的建構反應型態 (a open constructed response) 三分之一的封閉的建構反應型態 (a closed constructed response)-直接可在輸入計分不需計分人員 三分之一的選擇題（multiple –choice format）

Math item requirements 命題須知(三) 試題特徵 建議每個一試題完成作答時間不應超過5分鐘(for the “average” student) 每一個單元不應超過15分鐘 耗時較久的試題(very time-consuming items)應該避免

Math item requirements 命題須知(四) 不當的問題：試題的計分太過於開放 例 You are going to design an aquarium made of glass, which holds about 80 litres. Suggest some appropriate measurements. Describe how you found those measurements and draw a sketch of the aquarium with your measurements. 從課堂活動來看是一個測試真實生活問題解決的好問題，但評分架構太複雜，而且在跨國、跨評分者之間可能會有困難來確認其一致性。

Math item requirements 命題須知(五) International equivalence –Translation議題 測驗實施將超過65個國家， 因此測驗將有25以上的不同語言， 因此試題中包含特定的語言可能不太適合， 如下：

Math item requirements 命題須知(五) 改成如下會較佳

Math item requirements 命題須知(六) 避免不完整的敘述: Line X is shorter than Line Y Line Z Line W Line T Instead, write “Which line is longer than Line X?”

Math item requirements 命題須知(七) 真實的情境Real-world context Farmer Dave keeps chickens and rabbits. Dave counted altogether 65 heads and 180 feet. How many chickens does Dave have?(較人為化) 也可寫成如下的問題 Tickets to the school concert costs 4 zeds for an adult and 2 zeds for a child. 65 tickets were sold for a total of 180 zeds. How many children’s tickets were sold?(較為真實)

Math item requirements 命題須知(七)

Math item requirements 命題須知(七) 較佳

Math item requirements 命題須知(八)數學化

Math item requirements 命題須知(八)數學化

Math item requirements 命題須知(八)數學化 較為 數學化

Math item requirements 命題須知(九) Mathematical Context OECD/PISA強調真實的脈絡但並未排除重要和/或有趣的數學 (有時這些脈絡可能會是比較虛擬性) 如完美數、費氏數列

命題須知(九) 6是一個完全數( perfect number)因為它的因數(不包含它自己), 1, 2和 3,加起來是 6. 下一個完全數是 28,因為它的因數, 1, 2, 4, 7, 14加起來是28. 再下一個完全數是496，請說明 496 為何是一個完全數。 (注意496之後的兩個完全數是33550336 及8589869056. 但目前不要嘗試進行這兩個數!)

命題須知(九) 如果我們簡單的說”列出496的因數“，那麼這樣的題目就是標準化的教科書問題。但加入數學脈絡之後，這個題目變得比較有趣，也就是說，我們需要列出因數來展現這種數的特性

蜜蜂 雌蜂是由雄蜂和雌蜂所孕育。雄蜂則只由雌蜂孕育而來。 下圖是一個家族譜，在步驟1由一隻雄蜂開始。家族譜呈現出幾個世代的祖先。例如，它顯示出步驟1的雄蜂在步驟4中有三位祖先(曾祖父母)。 圖中步驟 1 的雄蜂在步驟6 有多少位祖先？

感謝您的聆聽! 敬請不吝指教…