第3章 三维几何造型技术

3.1 几何造型概述 3.1.1几何造型技术 几何造型技术又称为几何建模技术，是利用计算机以及图形处理技术来构造物体的几何形状，模拟物体的动、静态处理过程的技术。 这种技术能将物体的形状及其属性（颜色、材质、精度）存储在计算机内，形成该物体的三维几何模型，这个模型是对原物体的确切的数学描述或是对原物体某种状态的真实模拟。这个模型将为各种不同的后续应用提供信息（例如：由模型产生有限元网格；由模型生成数控加工刀具轨迹，进行碰撞、干涉检验；VM；机床模型；刀具模型；夹具模型；零件模 型）。

几何造型系统：通常把能够定义、描述、生成几何模型，并能交互地进行编辑的系统称为几何造型系统。

3.1.2 三维几何造型在CAD/CAM中的应用 三维几何造型在CAD/CAM中主要应用在设计、图形、制造和装配四个方面。 (1) 设计 能随时显示零件形状，并能利用剖切来检查诸如壁的厚薄，孔是否相交等问题。能进行物体的物理特性计算；如计算体积、面积、重心、惯性矩等。能检查装配中的干涉。能作运动机构的模拟等等。 (2) 图形 产生二维工程图，包括零件图，装配图等。 (3) 制造 能利用生成的三维几何模型进行数控自动编程及刀具轨迹的仿真。此外还能进行工艺规程设计等。 (4) 装配 在机器人及柔性制造中利用三维几何模 型进行装配规划、机器人视觉识别、机器人运 动学及动力学的分析等。

目前最流行的三维CAD系统 功能。 国内:清华大学、北航、新舟、浙大、华工 Inventor Pro/E Solid Edge Inventor Pro/E UG NX CATIA 美、法等国的CAD技术一直走在世界的前沿，它们拥有许多世界闻名的CAD/CAM系统，这些系统具备十分强大的 功能。 国内:清华大学、北航、新舟、浙大、华工

3.1.3 三维几何造型技术中的几何元素 2、边 1、点 几何造型中最基本的几何元素 在自由曲线和曲面的描述中常用到：用于确定曲线和曲面的位置与形状。 2、边 相邻面或多个相邻面之间的交界，由两个端点定界，具有方向性。方向为：起点 终点。可为空间直线或曲线

3、环 环是有序、有向边组成的面的封闭边界，环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。环有内外之分，如下图，环还有方向性，外环按逆时针排列，内环按顺时针排列。 4、面 面是形体表面的一部分，由一个外环和若干内环界定其范围。面有方向性，通过右手定则确定，如下图，四指方向为面的外环方向，拇指方向为面的正方向。 一个面可以无内环，但必须 有外环，由于环具有方向性， 所以按方向看，环的左边为面 内，环的右边为面外。

5、体 体是由封闭表面围成的三维几何空间。通常把具有维数一致的边界所定义的形体称为正则形体(又称为流形形体)，如图（a）所示。（b）中图形存在悬边和悬面，维数不一致，称为非正则形体。（非流形形体）。 （a） （b）

6、外壳 外壳是指在观察方向上所能看到的形体的最大外轮廓线。 7、体素 体素是指能用有限个尺寸参数定位和定形的体。体素通常指一些常见的可用以组合成复杂形体的简单实体，如长方体、圆柱体、圆锥体、球体、棱柱体、圆环体等，也可以是一些扫描体或回转体。 3.2三维几何造型系统的几种模型 几何造型系统发展至今，先后出现了线框模型、表面模型、实体模型、特征模型等，这几种模型代表了几何形体在计算机内的不同存储方式，本节从工程角度出发，介绍这几种模型的原理与计算机表达。

3.2.1 线框模型 1、建模 线框模型是用顶点和棱边表示三维形体，其棱边可以为直线、圆弧、二次曲线及样条曲线组成 。 它的计算机表示包括两方面的信息：一类是几何信息，记录各顶点的坐标值，即顶点表；另一类是拓扑信息，记录定义每条边的两个端点，即棱线表。实际物体是顶点表和棱线表相应的三维映象。

如下图所示为立方体线框图，采用8个顶点和12条棱边。

2、优缺点 优点 缺点 结构简单，计算机内部易于表达，绘制快速； 物体的三维数据可以产生任意视图，为生成工程图带来了方便 有二义性，缺少表面轮廓信息，当形状复杂、棱线过多时，会引起模糊理解。 2. 在数据结构中缺少边与面、面与体之间关系的信息。从原理上讲，此种模型不能消除隐藏线、计算物性、生成数控加工刀具轨迹、有限元网格剖分、物体干涉检验等。 3. 缺少拓扑信息，即边与面、面与体之间关系的信息，因此不能构成实体。

3.2.2 表面模型（Surface Model） 1、建模 表面模型也称曲面模型，通常用于构造复杂的曲面物体，构造时常常利用线框功能，先构造一线框图，然后用扫描或旋转等手段变成曲面，也可以直接利用系统提供的许多曲面图素来建立各种曲面模型。 表面模型在计算机中的存储与线框模型相比多了一个面表，记录了边、面间的拓扑关系。

2、优缺点 缺点： 优点： (2) 擅长构造复杂的曲面物体，如模具、汽车、飞机等表面。 (2) 操作比较复杂，要求操作者具备曲面建模的 (1) 能实现消隐、着色、表面积计算、二曲面求交、数控刀具轨迹生成、有限元网格划分等。 (2) 擅长构造复杂的曲面物体，如模具、汽车、飞机等表面。 缺点： (1) 缺乏面间的拓扑关系，依然不能构成实体，有时产生对物体二义性理解。 (2) 操作比较复杂，要求操作者具备曲面建模的 数学知识，因此要对操作者进行一定的培训。

3.2.3 实体模型（Solid Model） 1、建模 实体模型与表面模型不同之处在于确定了表面的哪一侧存在实体这个问题。用有向棱边的右手法则确定所在面外法线的方向，如规定正向指向体外。如此只需将上图的面表改为如下，即可确切地分清体内体外，形成实体模型。

2、优缺点 优点： （1）包含的信息全面，不仅记录了全部几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的拓扑信息。 （2）无二义性。可以消隐、剖切、有限元网格划分、生成NC刀具轨迹。 （3）可计算物理特性。 实体造型包括两部分： （1）体素定义和描述 （2）体素间的布尔运算（构成复杂实体的有效工具）

3、常见体素种类

4、形体的集合运算 如果一个实体是由两个或两个以上简单体素经过集合运算得到的，那么这个实体的表示就是布尔模型，这种集合运算叫布尔运算。布尔运算最简单的理解就是在一个物体上增加或减少一部分。 例如：C=A<op>B 其中A、B为两个实体，则C为布尔模型，<op>布尔算子，它可以是∪、∩、－。如： 二维布尔运算

A 体 B 体 B A A＋B A－B A∩B 三维布尔运算

有必要对传统的点的集合运算施加一定的限制，为此定义 传统的点集之间的并、交、差运算可能改变点集的正则性质。也就是说，两个正则点集的集合运算的结果可能产生一个非正则点集。如图A、B两物体求交运算后，原来两物体间互相重合的部分边界面被保留而形成悬挂面。 有必要对传统的点的集合运算施加一定的限制，为此定义

线框、表面与实体模型的比较 模型表示 应用范围 局限性 二维线框 画二维线框图（工程图） 三维线框 画二、三维线框图 无法观察参数的变化，不可能产生有实际意义的形体 三维线框 画二、三维线框图 不能表示实体、图形会有二义性 表面模型 艺术图形、形体表面的显示、数控加工 不能表示实体 实体模型 物性计算、有限元分析 用集合运算构造形体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低

3.3 三维实体表示方法 目前实体造型系统开发中使用的三维实体表示方法有许多，广泛采用的两种方法是几何实体构造法和边界表示法。它们分别是早期和近期CAD开发中三维形体表示的主要方法，其他表示方法还有扫描表示法、八叉树表示法、基本体素表示法、空间分割法、实体参数表示法等。 3.3.1几何实体构造法 几何实体构造法（CSG：Constructive Solid Geometry）是用简单实体通过集合运算交、并、差构造复杂实体的方法。是目前最常用的、最重要的一种三维实体表示方法。严格来说CSG法是由简单的正则集合经过正则集合运算构成复杂实体的方法。 用CSG法构造的实体模型在计算机中是通过用CSG树的形式加以表达的，通常采用二叉树的形式加以描述。

例如： 图中树叶分为两种：一种是基本体素，如P1、P2、P3等；另一种是体素作运动变换时的参数，如平移参数Δx等。图中结点表示某种运算。有两类运算子，一类是运动运算子，如平移、旋转等，另一类是集合运算子，如 ∪*、∩*、－*。 CSG树中的每个子树都代表一个集合，它是用算子对体系 进行运算后生成的。树根就是最终拼合而成的物体。

(2) 每个CSG都和一个实际的有效形体相对应； (3) CSG树记录了形体的生成过程，可修改形体生成的各环节以改变形体的形状。 优点： (1) 数据结构比较简单，信息量小，易于管理； (2) 每个CSG都和一个实际的有效形体相对应； (3) CSG树记录了形体的生成过程，可修改形体生成的各环节以改变形体的形状。 缺点： (1) 不能进行形体的局部修改，如面、边、点等； (2) 直接基于CSG表达形体，其组合运算及显示 效率很低。

3.3.2 边界表示法 边界表示法（B-rep：Boundary Representation）是以边界为基础定义和描述几何形体的方法。任何一个物体均可以表达为一个有限数量的边界表面的集合，这个集合是封闭的，边界表面由一组面构成。这些表面可能是平面，也可能是曲面，均有方向，明确地划分出物体的里面和外面。每个面由封闭的环确定其边界，每个环由一组边组成，每条边由两个顶点所界定，每个顶点由空间三个坐标值来确定，即： 物体 面 封闭环 边 点

边界模型与表面模型区别在于边界模型的表面必须封闭、有向，各表面有严格的拓扑关系，形成一个整体。而表面模型可以不封闭，面的上下都可以有效，不能判断哪一侧是体内与体外，没提供各面间相互连接的信息。 B-rep法的数据结构： B-rep法中要表达的信息分为两类： 一类是几何信息，它反映物体的大小及位置，例如顶点的坐标值，面数学表达式中的具体系数等。通常用空间直角坐标来表示； 另一类是拓扑信息，是指用来说明体、面、边及顶点之间连接关系的这一类信息。例如面f1与哪些面相邻；面f1由那些边组成等等。这些都属于拓扑信息。拓扑信息常用数据结构来实现。采用体、面、环边和顶点表构成。即 面—环—边—顶点（F—L—E—V）。

从理论上讲，多面体的面、边和顶点之间一共有九种拓扑关系，如图所示。图中符号“”表示指针，表示可从它的左端求出它的右端。例如，f{f}表示由一个面找出该面所有相邻面，面v{f}则表示由一个顶点找出相交于此顶点的所有面等等。 面面邻接关系 面上点的关系 面上边的关系 点与面连接关系 点点连接关系 点与边连接关系 边面邻接关系 边点连接关系 边边连接关系

在这九种不同类型的拓扑关系中至少必须选择两种才能构成一个实体的拓扑信息。也可以存储更多的拓扑关系。如有名的翼边结构，它将e{f}、e{f}、e{e}关系统统存储起来，并以边为中心加以安排。如图：可以方便地查找到这条边有连接关系的上下两顶点、左右两邻面及上下左右四条邻边。

在Brep表达中，简单实体的数据结构可用体、面、边、点四个层次的表描述

Brep表示法的优点： (1)表示形体的点、线、面等几何元素是显式表示、使得形体的显示很快并且很容易确定几何元素之间的连接关系； (2)可对Brep法的形体进行多种操作和局部修改 缺点： (1)数据结构复杂，需要大量存储空间，维护内部数据结构及一致性的程序较复杂； (2)对形体的修改操作较难实现。

CSG＋BREP混合表示 从用户进行造型的角度看，CSG方法比较方便，从对形体的存储管理和操作的角度看，Brep法更为实用。 目前大多数CAD系统都以CSG＋Brep的混合表示作为形体数据表示的基础： 以CSG模型表示几何造型的特征历史过程及其特征设计参数； 用Brep模型维护详细的几何信息和显示、查询等操作，同时也为布尔运算提供基础。

其基本原理是空间中的二维形体沿着某一路径扫描时的运动轨迹，将定义一个三维物体。 3.3.3 扫描表示法 其基本原理是空间中的二维形体沿着某一路径扫描时的运动轨迹，将定义一个三维物体。 用扫描法进行实体造型需要两个因素： 1 运动物体的形状，即基体、曲线、面。 2 物体运动的轨迹，称扫描轨迹，如直线或曲线。 有两种扫描方法： 在这两类扫描表示中，只要二维集合无二义性，实体就不会有二义性。

3.3.4 空间分割法 将空间实体划分成一个一个网格化的小立方体，尺寸大小均相同，叫体元(cell)，用体元重心处的(x，y，z)坐标来表示每个体元，所以实体可用三元组(x，y，z)的集合来表示。 该集合可以是有序的，也可以是无序的。此法是对所给实体的近似表达，体元划分越细，则近似程度越好。

3.3.5 实体的参数表示法 由于制造业中成组技术的发展、零件可以按族分类，这些族类零件可用几个关键参数来表示。其余形状尺寸都按比例由这些关键参数来决定。如图，只给直径D及长度L，其余尺寸(图中未给)都根据D、L由程序内部决定，因此当赋给一组具体的参数值时，一个零件的实体就生成了。建立标准件或常用件图形库时时常采用这种方法。

3.4 特征造型 随着CAD/DCAM技术集成化的需要和设计自动化技术的提出，人们迫切需要一种更能完整描述几何实体的实体造型技术（几何信息、拓扑信息、工艺信息），特征造型技术正是为满足这一要求而提出来的。这种技术以PTC公司的Pro/E为代表。 3.4.1 定义和分类 1、定义 特征造型在不同的行业和不同的条件下所给的定义有很大的差异，我们所说的特征是指零件上具有某种特定功能并能被基本的加工方式加工成形的几何实体，是工程环境中能运用几何和功能信息进行产品零件造型的关键要素，是集成环境中高层语义信息的载体和基本运输单位。

2、分类 因特征应用阶段及目的不同而多种多样，目前尚无统一的特征分类方法，从CAD/CAM集成角度出发，零件的特征类型可分为：形状特征、精度特征、装配特征、材料特征、性能分析特征和补充特征等。

3.4.2 特征造型的两种方式 1、特征识别 是根据已有的几何模型进行相应的特征识别，并加以定义，实现特征建模。有交互式和系统自动识别两种方式。 特征识别+特征提取 2、特征设计 基于特征的造型技术，由设计人员调用特征造型系统中的特征，通过增加、删除和修改等操作建立零件特征模型。它所遵循的思想是利用具有工程意义与确定形状的特征直接构造零件模型。