Ch2 空間中的平面與直線 2-3 三元一次聯立方程式 製作老師：趙益男/基隆女中教師 發行公司：龍騰文化事業股份有限公司
2-3 三元一次聯立方程式 上茶一袋﹑中茶二袋﹑下茶二袋﹐總重13斤﹔ 上茶二袋﹑中茶三袋﹑下茶五袋﹐總重28斤﹔ 上茶一袋﹑中茶三袋﹑下茶三袋﹐總重19斤﹒ 問﹕上﹑中﹑下茶每袋各重幾斤﹖ 設上茶x斤﹐中茶y斤﹐下茶z斤 依題意得 像這種由三個未知數所形成的一次聯立方程式﹐ 我們稱其為三元一次聯立方程式﹒ 課本頁次： 101
∴ 例1 解三元一次聯立方程式 解： <加減消去法> –× 2 – 代回﹐得 由+得 得 再將 ﹐ 代回﹐ 再將 ﹐ 代回﹐ 得 ∴ 聯立方程式的解為 ﹐ ﹐ ﹒ 課本頁次：102
∴ 例1 解三元一次聯立方程式 解： <代入消去法> 代回﹐消去y得 代入﹐得 由得 得 再將 ﹐ 代回﹐ 由得 代入消去 由得 代回﹐消去y得 代入﹐得 再將 ﹐ 代回﹐ 得 ∴ 聯立方程式的解為 ﹐ ﹐ ﹒ 課本頁次：102
∴ 練1 解三元一次聯立方程式 解： –2 –3 代回﹐得 由 2得 得 再將 ﹐ 代回﹐ 再將 ﹐ 代回﹐ 得 ∴ 聯立方程式的解為 ﹐ ﹐ ﹒ 課本頁次：103
例2 解三元一次聯立方程式 解： －×3 －×2 由＋ 消去 ﹐得 (矛盾) ∴聯立方程式無解﹒ 課本頁次： 103
例3 解三元一次聯立方程式 解： － 2 － 由＋﹐得 ﹐即 代入 再將 令 代入 課本頁次： 104
聯立方程式的解為 ∴聯立方程式有無限多組解 例3 解三元一次聯立方程式 解： 代入 令 代入 再將 ( 是實數) 令 代入 再將 代入 聯立方程式的解為 ( 是實數) ∴聯立方程式有無限多組解 課本頁次： 104
練3 解下列三元一次聯立方程式﹕ 解： –2 –3 由 2 消去y, 得 (矛盾) ∴聯立方程式無解﹒ (1) 課本頁次：104
練3 解下列三元一次聯立方程式﹕ 解： – –3 由 2 消去y, 得 ﹐即 代入 令 代入 再將 (2) 令 代入 再將 代入 課本頁次：104
聯立方程式的解為 ∴聯立方程式有無限多組解 練3 解下列三元一次聯立方程式﹕ 解： 代入 令 代入 再將 ( 是實數) (2) 令 代入 再將 代入 聯立方程式的解為 ( 是實數) ∴聯立方程式有無限多組解 課本頁次：104
已知二次函數 的圖形通過 (1,1),(2,3),(3,7)三點﹐求 ﹐﹐ 的值﹒ 例4 已知二次函數 的圖形通過 (1,1),(2,3),(3,7)三點﹐求 ﹐﹐ 的值﹒ 解： － － 由 ﹐解得 ﹐ ﹐ 再將 ﹐ 代回﹐解得 ∴ ﹐ ﹐ ﹒ 課本頁次：105
練4 已知圓 x2 + y2 + dx + ey + f = 0 通過 (1,1), (1,–1), (–2,1) 三點﹐求 d, e, f 的值﹒ 解： － － 由﹐解得 ﹐ ﹐ 再將 ﹐ 代回﹐解得 ∴ ﹐ ﹐ 課本頁次：105
乙、三元一次聯立方程式的公式解 在聯立方程式 中﹐ ﹐ ﹒ 令二階行列式 ﹐ ﹒ 當 時﹐聯立方程式恰有一組解 幾何意義： 兩條直線 與 在聯立方程式 中﹐ ﹐ ﹒ 令二階行列式 ﹐ ﹒ 當 時﹐聯立方程式恰有一組解 幾何意義： 兩條直線 與 恰有一個交點﹐ 且其交點坐標為 ﹒ 課本頁次：106
乙、三元一次聯立方程式的公式解 設三元一次聯立方程式 令 ﹐ ﹐ 課本頁次：107
乙、三元一次聯立方程式的公式解 若 是聯立方程式的一組解﹐則 當 時﹐ ﹐同理可得 課本頁次：107
克拉瑪公式 設 為三元一次聯立方程式﹒ 當 時﹐此聯立方程式恰有一組解 ﹐ ﹐ ﹒ 課本頁次：108
例5 利用克拉瑪公式﹐解聯立方程式 解： ∴此聯立方程式恰有一組解 課本頁次：108
∴三平面交於點 (1,2,–1) 練5 三平面 x+2y +z = 4, 2x–y + z = –1, x–3y+2z = –7 交於一點﹐求此交點的坐標﹒ 解： ﹐ ﹐ ∴三平面交於點 (1,2,–1) 課本頁次：109
例6 已知聯立方程式 有無限多組解﹐ 求a, b的值﹒ 解： 課本頁次：109
練6 已知聯立方程式 無解﹐求 a 的值﹒ 解： 7 – a = 0 a = 7 課本頁次：110
例7 今有賣牛一﹑羊二﹑以買五豕﹐有餘錢二兩﹔賣牛一﹑豕一﹑以買三羊錢適足﹔賣羊二﹑豕三﹑以買二牛錢不足一兩﹒問牛﹑羊﹑豕價各幾何？（豕(ㄕˇ)：是家畜豬的意思） 解： 設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒ 課本頁次：110
例7 設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒ 課本頁次：110
例7 設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒ ∴ 牛一頭9兩﹑羊一頭4兩﹑豕一頭3兩﹒ 課本頁次：110
問﹕上坡﹑平路﹑下坡三路段各有多少公里長﹖ 練7 偉和走一山間步道﹐依序有上坡﹑平路﹑下坡 三段﹐總長12公里﹒上坡時他每小時行2公里﹑平路 時每小時行4公里﹑下坡時則每小時行5公里﹒ 已知去時花了3.9小時﹐回程則用了3.3小時﹐ 問﹕上坡﹑平路﹑下坡三路段各有多少公里長﹖ 解： 設上坡﹑平路﹑下坡分別為 x公里﹑y公里﹑ z公里 課本頁次：111
問﹕上坡﹑平路﹑下坡三路段各有多少公里長﹖ 練7 偉和走一山間步道﹐依序有上坡﹑平路﹑下坡 三段﹐總長12公里﹒上坡時他每小時行2公里﹑平路 時每小時行4公里﹑下坡時則每小時行5公里﹒ 已知去時花了3.9小時﹐回程則用了3.3小時﹐ 問﹕上坡﹑平路﹑下坡三路段各有多少公里長﹖ 解： 設上坡﹑平路﹑下坡分別為 x公里﹑y公里﹑ z公里 課本頁次：111
練7 課本頁次：111
練7 課本頁次：111
練7 課本頁次：111
練7 ∴上坡長 4 公里﹑平路長 6 公里﹑下坡長 2 公里 課本頁次：111
乙、三元一次聯立方程式的公式解 克拉瑪公式的優點是： 「檢驗聯立方程式是否恰有唯一解」 課本頁次：111
丙、三平面幾何關係的代數判定 三元一次聯立方程式 的解就是聯立方程式中三個平面的共同交點﹒ 當 時﹐這三平面恰交於一點 課本頁次：112
丙、三平面幾何關係的代數判定 三元一次聯立方程式 的解就是聯立方程式中三個平面的共同交點﹒ 當 時﹐此時三平面相交的情形有以下 7 種： 當 時﹐此時三平面相交的情形有以下 7 種： 課本頁次：112
丙、三平面幾何關係的代數判定 (1)當三個法向量都互相平行時﹐ 有3種情形： 二平面重合且與 第三平面平行 三平面重合 三平面平行 (1)當三個法向量都互相平行時﹐ 有3種情形： 二平面重合且與 第三平面平行 三平面重合 三平面平行 課本頁次：112
丙、三平面幾何關係的代數判定 (2)當其中二個法向量平行﹐另一個不平行時﹐有 2 種情形： 二平面重合且與第三平面交於一直線 二平面平行且與第三平面分別交於一直線 課本頁次：112
丙、三平面幾何關係的代數判定 (3)當三個法向量均不互相平行時﹐ 有 2 種情形： 三平面兩兩不重合且相交於一直線 三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點 課本頁次：113
丙、三平面幾何關係的代數判定 綜合上面的討論可得﹐三元一次聯立方程式 的解與三平面的幾何關係有以下的結論： 方程組的解 幾何關係 恰有一解 三平面恰交於一點 課本頁次：113
丙、三平面幾何關係的代數判定 綜合上面的討論可得﹐三元一次聯立方程式 的解與三平面的幾何關係有以下的結論： 方程組的解 幾何關係 無解 三平面沒有共同交點 無限多組解 三平面交於一直線或一平面 課本頁次：113
∵E1與E2的法向量均為 ∴E3和E1與E2二平面分別交於一直線﹒ 例8 判定三平面 ﹐ ﹐ 的相交情形﹒ 解： 且 E1≠E2 判定三平面 ﹐ ﹐ 的相交情形﹒ 解： ∵E1與E2的法向量均為 且 E1≠E2 E1 // E2 且E3的法向量 ∴E3和E1與E2二平面分別交於一直線﹒ 課本頁次：113
∵E1與E2的法向量均為 ∴E1和E2重合且與E3交於一直線﹒ 練8 判定三平面 ﹐ ﹐ 的相交情形﹒ 解： 且 E1 = E2 (重合) 判定三平面 ﹐ ﹐ 的相交情形﹒ 解： ∵E1與E2的法向量均為 且 E1 = E2 (重合) 又E3的法向量 ∴E1和E2重合且與E3交於一直線﹒ 課本頁次：113
丙、三平面幾何關係的代數判定 當三平面的法向量均不平行時﹐ 三平面的關係只有3種情形： (1) 方程組的解 幾何關係 恰有一解 三平面恰交於一點 課本頁次：114
丙、三平面幾何關係的代數判定 當三平面的法向量均不平行時﹐ 三平面的關係只有3種情形： (2) 方程組的解 幾何關係 無解 三平面沒有共同交點 課本頁次：114
丙、三平面幾何關係的代數判定 當三平面的法向量均不平行時﹐ 三平面的關係只有3種情形： (3) 方程組的解 幾何關係 無限多組解 三平面交於一直線 課本頁次：114
例9 判定三平面 的相交情形﹒ 解： –×2 – 由﹐得 ∴三平面兩兩不重合且相交於一直線 課本頁次：114
練9 判定三平面 的相交情形﹒ 解： – – 由﹐得 ∴三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點 課本頁次：114
討論﹐ ∴三平面兩兩不重合且相交於一直線 例10 試就實數a的值﹐判定三平面 的相交情形﹒ 解： –×2 – (1)當 課本頁次：115
討論﹐ ∴三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點 例10 試就實數a的值﹐判定三平面 的相交情形﹒ 解： –×2 – (2)當 課本頁次：115
∵ 練10 ﹐ 解： 下列哪個a的值﹐使得平面 兩兩相交於一直線﹐但沒有共同的交點? (1) a = －1 (2) a = 1 (3) a = 3 (4) a = 5 解： 無解 = 0 ∵ 得 20 – 4a = 0 a = 5 ∴選(4) 課本頁次：117
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