多邊形的內角與外角

探討n邊形的內角和

三角形的內角和= 180度

自n邊形的 一個頂點作對角線

四邊形一個頂點的對角線數目= 1 四邊形內部的三角形數目= 2 四邊形的內角和= 2X180=360度

五邊形一個頂點的對角線數目= 2 五邊形內部的三角形數目= 3 五邊形的內角和= 3X180=540度

六邊形一個頂點的對角線數目= 3 六邊形內部的三角形數目= 4 六邊形的內角和= 4X180=720度

七邊形一個頂點的對角線數目= 4 七邊形內部的三角形數目= 5 七邊形的內角和= 5X180=900度

1 2 3 n n-3 自n邊形的一個頂點作對角線 4 2X180=360度 5 3X180=540度 6 4X180=720度 7 邊數 圖形 對角線數目 三角形數目 內角和 4 1 2 2X180=360度 5 3 3X180=540度 6 4X180=720度 7 5X180=900度 n 略 n-3 n-2 (n-2)X180度

自n邊形任意邊上的 一個點作對角線

四邊形一邊上一點的對角線數目= 2 四邊形內部的三角形數目= 3 四邊形的內角和= 3X180 －(∠1+ ∠2 + ∠3) =3X180 － 180=360度 2 1 3

五邊形一邊上一點的對角線數目= 3 五邊形內部的三角形數目= 4 五邊形的內角和= 4X180－ (∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4) =4X180 － 180=540度 1 2 3 4

六邊形一邊上一點的對角線數目= 4 六邊形內部的三角形數目= 5 六邊形的內角和= 5X180－ (∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5) =5X180 － 180=720度 2 3 4 1 5

七邊形一邊上一點的對角線數目= 5 七邊形內部的三角形數目= 6 七邊形的內角和= 6X180－ (∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6)=6X180 － 180=900度 3 2 4 5 1 6

2 3 n n-2 自n邊形任意邊上的一個點作對角線 4 3X180 －180=360度 5 4X180 －180=540度 6 邊數 圖形 對角線數目 三角形數目 內角和 4 2 3 3X180 －180=360度 5 4X180 －180=540度 6 5X180 －180=720 度 7 6X180 －180=900度 n 略 n-2 n-1 (n-1)X180 －180度

自n邊形內部的 任一個點與頂點連線

四邊形內部一點連頂點的線段數目= 4 四邊形內部的三角形數目= 4 四邊形的內角和= 4X180 －(∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4) =4X180 － 360=360度 1 4 2 3

五邊形一邊上一點的對角線數目= 5 五邊形內部的三角形數目= 5 五邊形的內角和= 5X180－ (∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5)=5X180 － 360=540度 1 2 5 3 4

六邊形一邊上一點的對角線數目= 6 六邊形內部的三角形數目= 6 六邊形的內角和= 6X180－ (∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6)= 6X180－360=720度 2 1 3 6 4 5

n 自n邊形內部的任一個點與頂點連線 4 4X180 －360=360度 5 5X180 －360=540度 6 邊數 圖形 線段數目 三角形數目 內角和 4 4X180 －360=360度 5 5X180 －360=540度 6 6X180 －360=720 度 7 7X180 －360=900度 n 略 nX180 －360度

結論 自n邊形的一個頂點作對角線 自n邊形任意邊上的一個點作對角線 自n邊形內部的任一個點與頂點連線 n邊形內角和： (n-2)X180度 = (n-1)X180－180度 = nX180 －360度

探討n邊形的外角和

三角形的外角和＝360度 ∠1＋∠A＝180度 ∠2＋∠B＝180度 ∠3＋∠C＝180度 (∠1＋ ∠2＋∠3) ＋(∠A ＋∠B ＋∠C)＝540度 (∠1＋ ∠2＋∠3) ＋(180度)＝540度 (∠1＋ ∠2＋∠3) ＝540－180＝360度

四邊形的外角和＝360度 四邊形內角和＝360度 四邊形內角和＋外角和＝4X180度 四邊形外角和＝720－360 ＝ 360度

五邊形的外角和＝360度 五邊形內角和＝540度 五邊形內角和＋外角和＝5X180度 五邊形外角和＝900－540 ＝ 360度

六邊形的外角和＝360度 六邊形內角和＝720度 六邊形內角和＋外角和＝6X180度 六邊形外角和＝1080－720 ＝ 360度

N邊形的外角和＝360度 邊數 圖形 內角和＋外角和 內角和 外角和 4 4X180 2X180 (4－2)X180=360 5 5X180 3X180 (5－3)X180=360 6 6X180 (6－4)X180=360 7 7X180 (7－5)X180=360 n 略 nX180 (n-2) X180 ( 2 )X180=360

探討正n邊形的 外角和內角

圖形 1個 外角 1個內角 180度－外角 內角和÷邊數 正三角形 正方形

圖形 1個 外角 1個內角 180度－外角 內角和÷邊數 正五邊形 正六邊形

圖形 1個 外角 1個內角 180度－外角 內角和÷邊數 正七邊形 正 n邊形 略

正多邊形內部切割角 多種正多邊形相連 1 多種正多邊形相連 2 正n邊形的應用 正多邊形內部切割角 多種正多邊形相連 1 多種正多邊形相連 2

快 問 快 答 Ready Go~~~

1.正八邊形ABCDEFGH中: (1) x= ? (2) ∠G=?

2.正十二邊形中，求: (1) 一個內角=? (2) 共有幾條對角線?

3.正五邊形內部有一個正方形，求∠1=?

4.正方形和正三角形，求∠1=?

5.正五邊形中，求∠1=?

6.正方形和正三角形，求(1)∠1=? (2) ∠2=?

7.正五邊形和正三角形，求∠MFJ=? Ans

挑戰成功 ~~休息一下~~

外角定理的應用

求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝? 解： 3 1 2 ∠A＋∠B＝ ∠1 (外角定理) ∠C＋∠D＝ ∠2(外角定理) ＝ ∠1 ＋∠2＋∠3(三角形外角和) ＝360度 外角定理應用1

求証∠A＋∠B＋∠C＝∠ADC 解： 1 2 連接 並延長 ∠A＋∠ABD＝ ∠1 (外角定理) ∠C＋∠CBD＝ ∠2 (外角定理) 連接 並延長 ∠A＋∠ABD＝ ∠1 (外角定理) 1 2 ∠C＋∠CBD＝ ∠2 (外角定理) ∠A＋∠ABD ＋∠CBD ＋∠C ＝ ∠1 ＋∠2 ∠A＋∠B＋∠C＝∠ADC 另外還有兩種想法喔!

求∠A＋∠B＋∠C ＋∠E＋∠F ＋∠G ＝? 解：(凹四邊形的應用) 凹四邊形ABCD中 ∠A＋∠B＋∠C＝∠ADC 凹四邊形EFGD中 120 ∠A＋∠B＋∠C＝∠ADC 凹四邊形EFGD中 ∠E＋∠F＋∠G＝∠EDG 又∠ADC ＝∠EDG(對頂角) ∴∠ADC ＋∠EDG＝ 120X2 ＝240 度 ∴∠A＋∠B＋∠C ＋∠E＋∠F ＋∠G ＝240 度 凹四邊形的應用

漏斗圖形的應用

＊其他應用 (漏斗圖形) 求証∠A＋∠B＝ ∠C＋∠D 解： 1 星星圖形 變形的星星圖形1 變形的星星圖形2

(漏斗圖形) 求証∠A＋∠B＋∠C＋∠D－ ∠E ＝180度 解： 2 1 另一種看法 ∠A＋∠B＝ ∠1 ＋∠E (漏斗圖) ＝ (∠1 ＋ ∠2＋∠E) ＋∠E ∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝ (180度) ＋∠E ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D－ ∠E ＝180度 另一種看法

凹多邊形

求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝? 解： 其他類似題 1 2 ∠1＋∠2＝180－130 ＝50度 5 3 ∠3＋∠4＝180－150 ＝30度 ∠5＋∠6＝180－140 ＝40度 6 4 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360 －(∠1＋∠2＋ ∠3＋∠4＋ ∠5＋∠6) ＝360－120 ＝240度 其他類似題

快 問 快 答 Ready Go~~~

1.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＝? Ans

2.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＝? Ans

3.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＝? Ans

4.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝? Ans

5.求∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4＋∠5 ＝? Ans

6.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＝? Ans

7.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝? Ans

8.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＝? Ans

9.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H＋∠I ＋∠J ＝? Ans

10.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＝? Ans

11.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H＋∠I ＋∠J ＝? Ans

12.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＝? Ans 類似題

13.求∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋ ∠H＋∠I ＋∠J ＝? Ans

14.求∠A＋∠B＋∠C ＝? Ans

15.求∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4＋∠5 ＋∠6＝? Ans

恭喜~~做答完畢!