量子力学 主讲：张鲁殷 量子力学 Quantum Mechanics 教 材：陈鄂生《量子力学基础教程》 参考书：周世勋《量子力学教程》 教 材：陈鄂生《量子力学基础教程》 参考书：周世勋《量子力学教程》 量子力学 主讲：张鲁殷 山东科技大学应用物理系 E-mail:zly9428@126.com

第一章量子力学产生的历史背景 §1.1 20世纪经典物理学的困难 §1.2 普郎克原子振动能量假设 §1.3 Einstein 光量子理论 §1.4 玻尔原子结构理论 §1.5 德布罗意物质波假设

前言 物理学 依物理学发展史 经典物理 近代物理 物理学是一门基础科学 宏观 微观 研究的是物质运动的基本规律 因此，物理学分成力学、热学、电磁学、光学和原子物理学等很多分支学科。 不同的运动形式有不同的运动规律，因而要采用不同的研究方法处理。 依物理学发展史 经典物理 近代物理 近代物理是相对于经典物理而言的，泛指以相对论和量子论为代表的20世纪物理学。以量子力学为例，正是由于量子力学的发展，我们才有了后来的固体物理、半导体物理、磁性物理、激光物理、凝聚态物理等。

经典物理学 19世纪末，物理学在当时看来已经发展到相当成熟的阶段。 力学：以牛顿三大定律作为基础的牛顿力学准确描述了物质的机械运动 。 Newton 力学：以牛顿三大定律作为基础的牛顿力学准确描述了物质的机械运动 。 热力学以及后来发展的统计物理学准确描述了物质的各种热现象。 波动力学：描述了光的传播、干涉、衍射等现象 Maxwell 电动力学：以Maxwell方程为基础的电动力学可以解释电可产生磁，磁也可以产生电，将电、磁以及各种各样的电磁波统一在同一理论框架上加以考虑。 “19世纪已将物理大厦全部建成，今后物理学家的任务就是修饰完美这所大厦了”（达尔文在1889年新年贺词）

量子力学是什么？ 量子力学代表了先进的文化和先进的生产力.量子力学可能改变你的人生观. 经典力学是什么东东？ You Are My Only 量子力学是什么东东？ Anything Is Possible (李宁) Impossible Is Nothing (Adidas)

如何学习量子力学？ 一、量子力学的成就 二、量子力学的描述和教学 三、量子力学与哲学 四、量子力学与思维 五、量子力学与教育学 六、量子力学课程结构及特点 七、量子力学的学习方法

§1. 20世纪经典物理学的困难 经典物理学在取得巨大成就的同时，也有着极大的局限性，甚至对一些基本的问题都无法回答 牛顿力学及相对论力学只限于研究物体在其外在时空的机械运动，并未涉及物体的内部构造、物质的内禀属性。 光学只限于研究光的传播，并未涉及光的产生和吸收、光和物质的相互作用等。 电动力学虽能将电、磁及各种电磁波统一在同一理论框架上加以考虑，但即使连一些基本的问题都不能回答，如电和磁是怎么回事？是如何产生的？为什么光也是一种电磁波？ 热力学连最基本的问题都不能回答，如热是如何产生的？为什么有些物质是热的良导体，有些物质是热的不良导体？

紫外灾难和光电效应虽然仅仅是当时经典物理学万里晴空中远在天边的两朵乌云，但预示着暴风雨即将来临! 触发量子力学诞生的实验基础 紫外灾难 物理学上空 晴空万里! 光电效应 紫外灾难和光电效应虽然仅仅是当时经典物理学万里晴空中远在天边的两朵乌云，但预示着暴风雨即将来临! 这里简述一下从上上个世纪末到上个世纪三十年代所做的一些著名实验，这些实验奠定了量子力学的基本概念，触发了从经典物理学向量子理论的跃变，并为这种跃变提供了最初一批实验事实。

1927年在布鲁塞尔召开的第五届索尔维会议 德布罗意

第一组实验:光的粒子性实验 第二组实验：粒子的波动性 实物粒子的波动性质 第三组实验：电子自旋 黑体辐射 光电效应 Compton散射 提出了能量分立、辐射场量子化的概念，从实验上揭示了光的粒子性质。 电子Young双缝衍射 中子在晶体上的衍射 电子在晶体表面的衍射 第二组实验：粒子的波动性 实物粒子的波动性质 第三组实验：电子自旋

1、黑体辐射 (1)、黑体辐射实验 实验曲线 黑体：能完全吸收照射到它上面的各种频率的光的物体 Wein设计的黑体：任意材料制成一个空腔，腔壁上开个小洞，则射入小孔的光就难有机会从小洞出来，这样一个小洞实际上就能完全吸收各种波长的入射电磁波而成了一个黑体。加热这个空腔到不同温度，小洞就成了不同温度下的黑体。用分光技术测出由它发出的电磁波的能量按波长或频率的分布，就可以研究黑体辐射的规律。 煤烟是很黑的，但也只能吸收99%的入射光能，因而不是理想的黑体。 能量密度  (104 cm) 5 10 实验曲线

d=c13exp(-c2/kT)d (2)、基于经典物理而提出的两种典型理论 利用电动力学和热力学给出频率在+d间的能量密度为： Wien (1894)理论 d=c13exp(-c2/kT)d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 能量密度 瑞利-金斯线 维恩线 普朗克线 波长(cm ×104) Wien 公式在短波部分与实验符合，但长波部分明显偏离实验。

Rayleigh(1900)和Jeans(1905)理论 将腔中黑体辐射场看成是大量电磁波驻波振子的集合，利用能量连续分布的经典观念和Maxwell-Boltzmann分布律，导出了黑体辐射公式，即所谓的Rayleigh－Jeans公式 d=8kT2/c3d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 能量密度 瑞利-金斯线 维恩线 普朗克线 波长(cm ×104) Rayleigh－Jeans公式给出的结果在长波部分和实验有很好的符合，但短波部分不符合。

导致黑体辐射能量密度趋于无穷大的荒谬结果。 (3)、紫外灾难 利用Rayleigh－Jeans公式计算总辐射能密度 导致黑体辐射能量密度趋于无穷大的荒谬结果。 由于这种荒谬结果出现在紫外部分，这就是著名的所谓紫外灾难，是经典物理学最早显露的困难之一。

2 、光电效应 (1) 实验装置 当光照射到金属表面上时，电子会从金属中逸出，这种现象称为光电效应 (2) 实验现象 因光照射到金属上而从金属中逸出的电子称为光电子

(3) 实验规律 只当入射光频率大于一定的 实验曲线 (1014Hz) 截止电压Uc与入射光强度无关，而只依赖于入射光频率，其关系Uc= K - U0； 截止电压Uc与入射光强无关，光电子的最大初动能为： 4.0 6.0 8.0 10.0 (1014Hz) 0.0 1.0 2.0 Uc(V) Cs Na Ca 实验曲线 只当入射光频率大于一定的 值v0时，才会产生光电效应  0 称为截止频率或红限频率 由vm>0可知，v0＝U0/K

？ 光波的强度与频率无关， 电子吸收的能量与频率无关， 观察到的光电效应并不能根据光的经典电磁理论而给以解释 更不存在截止频率！ 经典理论 黑体辐射 Compton散射 光电效应 ？

3 、电子衍射实验 (1) 晶体表面电子衍射实验 Davisson和Germer(1927-1928)：截取单晶的一个面作为表面，该表面形成二维平面点阵。 θ 法拉第园 筒 入射电子注 镍单晶  d 观察到和X射线相类似的衍射现象即在适当的方向上可观察到极大现象，观察到极大现象满足的条件：d sin=n

(2)电子单缝衍射实验（1961） (3)电子双缝衍射实验(1961) O Q P S1 电子源 感光屏 Q (3)电子双缝衍射实验(1961) 无论是单缝还是双缝，实验上均观察到和X射线相类似的衍射现象 P Ψ1 Ψ2 Ψ S1 S2 电子源 感光屏

4、固体原子的比热 根据经典物理学，固体绝对温度为T时，原子做一维振动的平均能量为KT。实际上原子做三维振动，故原子的平均能量为3KT。原子的比热C=3K。 这个结果只在高温时正确，但是经典物理学不能解释温度低时比热随温度下降而下降。

氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是： 5、原子的稳定结构和线状光谱 氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是： 这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一系列线系，它们都可以用下面公式表示：

人们自然会提出如下三个问题： 1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？ 1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？ 3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。

从前，希腊人有一种思想认为： 自然之美要由整数来表示。例如： 奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。 从前，希腊人有一种思想认为： 自然之美要由整数来表示。例如： 奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。 这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。 总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在这场物理学的危机中诞生。

h 称为能量量子 简称能量子 §1.2 普朗克的能量子假说和黑体辐射公式 1．“振子”的概念（1900年以前) 物体----------振子 经典理论：振子的能量取“连续值” 经典 能量 量子 2. 普朗克假定（1900年） 振子以h为能量单位不连续地发射或吸收频率为的辐射 h = 6.626×10-34 J·s h 称为能量量子 简称能量子

3．Planck公式 黑体中振子的能量只和频率成正比且只取分立的值： 0, h, 2h, 3h…. 按Maxwell-Boltzmann分布律，与上述能级对应的比例系数为： 1, e-h/kT, e-2h/kT, e-3h/kT,… 将这些系数归一化使它们变成为权重系数，就得到频率为的振子的平均能量： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 能量密度 瑞利-金斯线 维恩线 普朗克线 波长(cm ×104) 将这个平均能量乘以自由度数目，就得到Planck公式

4. 对 Planck 公式的讨论 (1) 短波（相当于高频区） 由于很大， Wein 公式 (2) 长波（相当于低频区） 由于很小， Rayleigh-Jeans公式

§1.3 Einstein 光量子理论 为定量解释黑体辐射实验，普朗克于1900年提出能量子假说 为解释光电效应，爱因斯坦于1905年提出光子假说 Einstein光量子理论

Einstein光量子理论 1、光子概念 2、Einstein关系 这种粒子称为光量子，简称光子 只有振子的能量是量子化的，而辐射本身，作为广布于空间的电磁波，其能量还是连续分布的。 电磁辐射不仅在发射或吸收时能量为h的微粒形式出现，而且以这种形式以速度c在空间中运动。 Planck(1900年) Einstein(1905年) 2、Einstein关系 引入光子的概念，这在原先认为光是电磁波的图像上添加了粒子图像。于是，若知道波动参数和k，便可通过Einstein关系求得动量和能量所相应的粒子特性。

3、对光电效应的解释 电子把吸收来的能量，一部分用来克服金属表面对它的吸力，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 当光射到金属表面时，能量为h的光子被电子吸收。 用数学形式可表示为 电子脱出金属表面所需要作的功，简称脱出功 vm是电子脱出金属表面后的速度 由此可对前面提到的光电效应实验给以满意解释。

Compton 散射 -光的粒子性的进一步证实。 X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下 2 个特点： 1 散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； 2 波长增量 Δλ=λ’ –λ 随散射角增大而增大。这一现象称为 Compton 效应。 经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是如果把 X--射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解

（2） 定性解释 根据光量子理论，具有能量 E = h ν 的光子与电子碰撞后，光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为 E’= hν’ 显然有 E’ < E, 从而有ν’ <ν,散射后的光子的频率减小，波长变长。根据这一思路，可以证明： 该式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和吴有训用实验证实，用量子概念完全解释了Compton 效应。因为式右是一个恒大于或等于零的数，所以散射波的波长λ'总是比入射波波长长（λ' >λ）且随散射角θ增大而增大。 式中也包含了 Planck 常数 h，经典物理学无法解释它，Compton 散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。

（3） 证 明 根据能量和动量守恒定律： k  k’ mv 代入 两边平方 得： 两边平方： （2）式—（1）式得：

所以 最后得：

§1.4 玻尔原子结构理论 Planck--Einstein 光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。1913年 Bohr 把这种概念运用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来 （1）玻尔假定 （2）氢原子线光谱的解释 （3）量子化条件的推广 （4）玻尔量子论的局限性

（1）玻尔假定 Bohr 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，可以认为是对大量实验事实的概括。 1.原子具有能量不连续的定态的概念。 2.量子跃迁的概念. 原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级 En 跃迁到另一个较低（高）的能级 Em ，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为： 而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着 原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 E1,E2,......, En 的状态。为了具体确定这些能量数值，Bohr提出了量子化条件：

（2）氢原子线光谱的解释 根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。 假设氢原子中的电子绕核作圆周运动 v e Fc + r 由量子化条件

电子的能量 根据 Bohr 量子跃迁的概念 与氢原子线光谱的经验公式比较 得 Rydberg 常数 与实验完全一致

（3）量子化条件的推广 由理论力学知，若将角动量 L 选为广义动量，则θ为广义坐标。考虑积分并利用 Bohr 提出的量子化条件，有 这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（Li，Na，K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。

（4） 玻尔量子论的局限性 1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱； 2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； （4） 玻尔量子论的局限性 玻尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识 1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱； 2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； 3. Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题； 4. 从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。

§1.5 de Broglie物质波假设 1、 de Broglie关系 时隔18年之后， de Broglie克服多年积习的习惯，将Einstein关系反过来写，即 de Broglie关系 Einstein关系 在原先认为光是波的图像上添加了粒子图像。于是，若知道波动参数和k，便可通过Einstein关系获得与E和P所联系的粒子特性。 在原先粒子的图像上添加了波的图像，即：实物粒子具有波、粒二象性。于是，若知道粒子的动量和能量，便可通过de Broglie关系获得于波动参数和k所联系的波的特性。

波具有我们所熟悉的一面，即波动性的一面，还有我们不熟悉的一面，即粒子性的一面。 2、 波粒二象性 波具有我们所熟悉的一面，即波动性的一面，还有我们不熟悉的一面，即粒子性的一面。 实物粒子有我们熟悉的一面，即粒子性，还有我们不熟悉的一面，即波动性。 联系波粒两面性的中间桥梁便是Planck常数 形象地写出便是 这组de Broglie关系是物质世界的普遍规律。

3、经典与量子的界限 由原先粒子的能量和动量，利用de Broglie关系得到的波长趋于零，从而与该粒子相联系的波动性便可忽略。 假如在所研究的问题中能够认为h0则波和粒子便截然分开，波粒二象性的现象便可以忽略。 因此，经典力学是量子力学当h0时的极限情况。

当然，这里所讲的h0仅仅是相对而言的，并非真的要求h变小，而是要求： 研究对象的动量足够大，从而波长特别短; 运动涉及的空间尺度足够大 从而使得 关系能够成立 。 在满足这一关系的前提下，所研究的问题回到经典力学所研究的问题中。反之，所研究的问题则是量子力学所要研究的问题。 凡是 h 在其中起重要作用的现象都是量子现象

本章小结 导致量子力学诞生并构成量子力学的实验基础的一些实验事实 第一组实验:光的粒子性实验 第二组实验：粒子的波动性 由这两组实验事实所抽象出来的一些基本观念，这些基本观念构成了量子力学的物理基础，体现了量子力学最本质的特征。 Einstein关系 de Broglie关系 波粒二象性