第 三章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器 的设计方法(共10学时 ) 3.2 模拟滤波器到数滤波器转换 3.3 模拟低通到各种数字滤波器的频率变换 3.4 数字低通到各种数字滤波器的频率变换

本章重点 理解数字滤波器的基本概念、设计内容及方法 掌握脉冲响应不变法设计IIR滤波器 掌握双线性变换法设计IIR滤波器 了解Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 掌握从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换。 掌握从数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换

引言 1、数字滤波器的定义 用有限精度算法实现的时域离散的线性时不变系统，用于完成对信号的滤波处理 。 低频系列滤波器

说明： 1）许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 2）数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 3）数字滤波器——线性时不变系统，输入输出均为数字信号

2 分类 1）经典滤波器从功能上分可分为： 低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass analog/digital filter 带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog/digital filter 高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog/digital filter 带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog/digital filter 全通滤波器(ABAF/ASDF):All pass analog/digital filter 即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。

模拟滤波器的理想幅频特性 LPAF HPAF BPAF BSAF

数字滤波器的理想幅频特性 数字滤波器的理想幅频特性 ) (e j w H o －2 p － 2 ( a b c d 低通 高通 带通 带阻

2）现代滤波器 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。 现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。 本课程主要讲经典滤波器。

3）根据单位脉冲响应h(n)的时宽，即列长分为： IIR：Infinite impulse Response, 即无限长度单位脉冲响应滤波器 FIR：Definite impulse Response, 即有限长度单位脉冲响应滤波器

4）根据实现的方法分 递归型，IIR一般为递归型 非递归型，一般FIR除频率取样设计方法外

3、数字滤波器DF的性能要求（低通为例） --阻带截止频率 --通带截止频率 - --过渡带 通带 过渡带 阻带 π ω

技术指标： 在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即 |ω|≤ωp 在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即 ωs≤|ω|≤π

技术指标： 理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近。

4、IIR数字滤波器DF设计内容 1）按任务要求确定Filter的性能指标； 2）用IIR系统函数去逼近这一性能要求； 3）选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4）用软件还是用硬件实现 即为求滤波器的各系数：

5 IIR数字滤波器的设计方法 1. 借助模拟filter的设计方法 IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：  1. 借助模拟filter的设计方法 1）首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。

2）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； 3）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的系统函数 ； 将 4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通的技术指标。（本章主要讨论）

2. 最优化设计法 第一步要选择一种最优准则，然后在此准则下 ， 确定系统函数的系数。 2. 最优化设计法 第一步要选择一种最优准则，然后在此准则下 ， 确定系统函数的系数。 例如，选择最小均方误差准则,最大误差最小准则等。它是指在一组离散的频率｛ωi｝(i=1, 2, …, M)上，所设计出的实际频率响应幅度|H(ejω)|与所要求的理想频率响应幅度|Hd(ejω)|的均方误差ε最小。

第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak, bk。一般是通过不断改变滤波器系数ak、bk，分别计算ε; 最后，找到使ε为最小时的一组系数ak, bk，从而完成设计。这种设计需要进行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方法又称为计算机辅助设计法。

3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的, 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。这样根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。

设计思想： s 平面 z 平面，即模拟系统频响与数字系统的频响之间的映射 1）H(z) 的频率响应要与 Ha(s) 的频率响应保持一致，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆上。 2）因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1

设计方法： - 1、脉冲响应不变法 2、双线性变换法

3.1.1 脉冲响应不变法 1、变换原理： 使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)逼近模拟滤波器的冲激响应 ,让h(n)等于 的采样值，即

极点：s 平面 z 平面 系数相同： 总结：用冲激响应不变法设计IIR滤波器的一般流程： 1、根据设计要求，设定指标。 2、将数字滤波器性能指标变换为模拟滤波器的性能指标。 3、设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数 Ha(s) 。 4、将 Ha(s) 展成部分分式的并联形式，利用变换关系公式设计出 H(z) 。 极点：s 平面 z 平面 系数相同：

习题3.1

2、映射关系

3、混叠失真 可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓： 仅当 数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器 的频响而不产生混迭失真：

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小

例 将一个具有如下系统函数 的滤波器的频率响应。 解：

模拟滤波器的频率响应为:

数字滤波器的频率响应为: 与采样间隔T有关,如图T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计?

总结

Matlab程序 %巴特沃思滤波器 [B,A]=butter(3,2*pi*1000,'s'); %[b,a] = butter(n,Wn,‘s’)，n为滤波器的阶数Wn为边界频率，按s的降幂排列 %脉冲响应不变法 [num1,den1]=impinvar(B,A,4000);%4000为采样频率 [h1,w]=freqz(num1,den1); [B,A]=butter(3,2/0.00025,'s');%2/0.00025预畸变模拟滤波器边界频率 [num2,den2]=bilinear(B,A,4000);%双线性法 [h2,w]=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-'); grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值/dB');

3.1.2 双线性变换法 当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。这是因为从s平面到z平面不是一一映射关系。为了克 服混叠失真，可采用双线性变换法。

1、变换原理 在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个Z平面.因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：

2、映射关系

习题3.4 设有一模拟滤波器 抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数 解： 由变换公式 及 ， ，可得

因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

2、数字角频率和模拟角频率之间的变换关系

4、频率的非线性失真 从以上 分析可见，虽然双线性变换法避免了混叠失真，却带来了非线性的频率失真。即在零频附近， Ω 与 ω 之间的变换关系近似于线性，随着 Ω 的增加， 表现出严重 非线性 。因此，DF的幅频响应 相对于AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。

双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

5、频率的预畸变 分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变，这种频率的畸变可以通过频率的预畸变来加以校正。

给定数字滤波器的截止频率ω1，则 按 设计模拟滤波器，经双线性变换后， 即可得到 为截止频率的数字滤波器

5、设计流程 1、根据要求，设定指标。 2、将各分段频率临界点预畸。 3、将数字滤波器性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。 4、根据设计要求，选定双线性变换常数C。 5、设计中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。 6、将 代入Ha(s)中，得到数字滤波器系统函数。 

设模拟系统函数的表达式为

表6.4.1 系数关系表

例设有一模拟滤波器 抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数

例试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。

利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为

H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图 (a),(b)所示。

数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性

比较结果 1、脉冲响应不变法随频率增加，与原模拟滤波器的幅度特征差别大，这是由于频率的混叠现象引起的。但是频率是线性变换的，所以曲线形状与原模拟滤波器很相近。 2、双线性变换法的曲线形状偏离原模拟滤波器的幅度特性曲线的形状较大，这是由于变换算法的非线性造成的，ω小时，非线性的影响少一些，非线性的影响小，所以适合于片断常数滤波器的设计。故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。

3.2 常用的模拟低通滤波器特性 1、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数

2阶 2阶

例 设已知 求对应的

零极点分布

取左半平面的零极点构成Ha(s)

3.2.1 巴特沃思滤波器

不管N为多少，都通过: 3dB衰减点

通带: 使信号通过的频带 阻带：抑制噪声通过的频带 过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 Ωc ：通带边界频率。 过渡带为零， 阻带|H(jΩ)|=0 通带内幅度|H(jΩ)|=const.， H(jΩ)的相位是线性的。 理想滤波器

3、幅度函数特点

4、幅度平方特性的极点分布

5、系统函数

设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器： (1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：Ap=7 dB。 (2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：As=16dB。

现在在上面两个数之间可任选Ωc值。现选Ωc=0. 5，这样就必须设计一个N=3和Ωc=0 现在在上面两个数之间可任选Ωc值。现选Ωc=0.5，这样就必须设计一个N=3和Ωc=0.5 的巴特沃思滤波器，模拟滤波器Ha(s)的设计类似于前例。最后可得

表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数

3.2.2 切比雪夫滤波器 巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变换而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济。在同样通带、 阻带性能要求下，就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。

切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中（通带或阻带）具有这种等波纹特性。幅度特性在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型。幅度特性在通带内是单调下降的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型。由应用的要求来确定采用哪种形式的切比雪夫滤波器。这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性。

V

N VN(x) 1 2 3 4 5 6 x 2x2-1 4x3-3x 8x4-8x2+1 16x5-20x3+5x 32x6-48x4+18x2-1

3、性能指标

4、N阶特性 阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和。 可由幅频特性中看出N阶数。且当： N=奇数，则Ω=0处有一最大值，

N阶公式 N值是根据阻带的边界条件来确定的

切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(Ω)曲线对比

3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换 实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通和带阻等类型。设计各种类型的数字滤波器通常可以把一个归一化的原型模拟低通滤波器经模拟频带变换成所需类型的模拟滤波器，再通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为所需类型的数字滤波器。如图所示：

设计IIR滤波器的两种频率变换法 模拟-模拟-数字 双线性 变换或 脉冲响 模拟-模拟 应不变 频带变换 归一化 模拟低通、 法 数字低通、 高通、带通、 带阻 数字低通、 模拟-模拟 频带变换 双线性 变换或 脉冲响 应不变 法 模拟-模拟-数字 归一化 模拟低通 数字低通、 高通、带通、 带阻 模拟-数字 频带变换 设计IIR滤波器的两种频率变换法

3.3.1 低通变换（模拟低通-数字低通） 首先将数字低通滤波器的性能要求转换为与之相对应的模拟低通滤波器的性能要求，根据此性能要求设计模拟低通滤波器。然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法，将此模拟低通滤波器Ha(s)数字化为所需的数字低通滤波器。

可见，H(z) 与采样周期T有关，T越小， H(z)的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H(z)后，再乘以因子T,使H(z)只与fc和fs的相对值 有关，而与采样频率fs无直接关系。 例如， 与 的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。 最后得：

Matlab程序 %巴特沃思滤波器 [B,A]=butter(3,2*pi*1000,'s'); %[b,a] = butter(n,Wn,‘s’)，n为滤波器的阶数Wn为边界频率，按s的降幂排列 %脉冲响应不变法 [num1,den1]=impinvar(B,A,4000);%4000为采样频率 [h1,w]=freqz(num1,den1); [B,A]=butter(3,2/0.00025,‘s’);％2/0.00025预畸变模拟滤波器边界频率 [num2,den2]=bilinear(B,A,4000);%双线性法 [h2,w]=freq(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-'); grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值/dB');

频率/Hz 三阶巴特沃兹滤波器的频率响应 幅度/dB

上图为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率 处形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混淆,且没有传输零点。

3.3.2 高通变换（模拟低通-数字高通） 1、高通滤波器的性能指标 fs ws fp wp 1 Ap As f w |H(ejw)|

由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件

这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。 映射到 即 映射到 即 图1 高通变换频率关系 这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。 1.0 1.0

应当明确： 所谓高通DF，并不是ω高到 ，由于数字频域存在 折叠频 率 ，对于实数响应的数字滤波器， 部分只是 的镜象部分，因此有效的数字域仅是 ，高通也仅指这一段的高端，即到 为止的部分。 高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型 预畸的临界频率时，应采用 ,不必加负 号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。

400 500 Hz -0.5dB -19dB 317

Matlab程序 wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000)); wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000)); [N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s'); [B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'hign','s'); [num,den]=bilinear(B,A,1000); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid; xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/Hz');

3.3.3 带通变换（模拟低通-数字带通） 1、带通滤波器的性能指标 fs1 ws1 fp1 wp1 1 Ap As f w |H(ejw)| 通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带波纹：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As fp2 wp2 fs2 ws2

2、变换关系 满足变换的双线性变换为

H(ejω)

为中心频率

由此证明了，S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换，

Matlab 程序 w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400)); wr=2*400*tan(2*pi*120/(2*400)); w0=2*400*tan(2*pi*80/(2*400)); [N,wn]=buttord([w1 w2],[w0 wr],3,10,'s'); [B,A]=butter(N,wn,'s'); [num,den]=bilinear(B,A,400); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*200; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([40,160,-30,10]); grid; xlabel('频率/kHz') ylabel('幅度/dB')

巴特沃斯带通滤波器 频率/kHz 幅度/ dB

3.3.4 带阻变换 带阻滤波器的性能指标 fs1 ws1 fp1 wp1 1 Ap As f w |H(ejw)| 通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带波纹：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As fp2 wp2 fs2 ws2

低通函数到带阻函数变换

其变换关系曲线如图所示，其映射关系为: Ω=0→ω=0, ω=π Ω=±∞→ω=ω0 也就是说，低通滤波器的通带（Ω=0 附近）映射到带阻滤波器的阻带范围之外（ω=0, π），低通滤波器的阻带（Ω=±∞）映射到带阻滤波器的阻带上（ω=ω0 附近）。

程序 w1=95/500; w2=105/500; [B,A]=butter(1,[w1, w2],'stop'); [h,w]=freqz(B,A); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([50,150,-30,10]); grid; xlabel('频率/Hz') ylabel('幅度/dB')

频率/Hz 巴特沃斯带阻滤波器 幅度/dB

总结 1、性能指标 HP LP BP BS fs ws fp wp 1 Ap As f w |H(ejw)| δ2 1-δ1 fs ws

2、变换关系 由归一化模拟低通滤波器原型到其它类型数字滤波器的转换 低通—低通 低通—高通 低通—带通 低通—带阻

低通—低通 低通—高通 ω Ω 低通—带阻 低通—带通

3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换 前言： 1、变换方法 从低通数字滤波器到各种类型数字滤波器的频率变换（也称为Z平面变换法）， 这种变换方法是直接在数字域上进行的。 数字低通 数字低通、高通、 带通、带阻 数字域 频带变换

2、变换函数 如果已经有一个数字滤波器低通原型的系统函数Hp(z),可以通过一个变换来设计其它各种不同类型的数字滤波器的系统函数H(z).这种变换是一种两个z平面间和映射变换。

3、变换关系函数表示式 设变换前z平面定义为u平面，变换后z平面 仍为z平面。其变换关系用函数表示： 注：此中变量选用u-1及z-1,而不是用u和z，是因为系统函数中z和u都是以负幂形式出现的。

3、映射关系 要求： （1）变换以后的系统函数应保持稳定性不变。所以要求u的单位圆内部必须对应z的单位圆内部。 （2)两个函数的频响要满足一定的变换要求。因而频率轴应满足一定的对应关系，即z的单位圆必须要映射到u的单位圆上。

如果系统的幅频响应|H(jω)|=K对所有的ω均为常数，则称该系统为全通系统，其相应的系统函数称为全通函数。 补充： 1、全通函数的定义： 如果系统的幅频响应|H(jω)|=K对所有的ω均为常数，则称该系统为全通系统，其相应的系统函数称为全通函数。 全通系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点互为共轭倒数，其零-极点分布如图所示

2、全通函数的特征 当ω由0变到π时，N阶全通G(z-1)的幅角arg[G(e-jω)]=-θ的变化量一定是Nπ。反过来，当由0→π时，如果G(z-1)的幅角变化为Nπ，则G(z-1)一定是N阶全通。 N 是全通函数的零点或者极点的阶数  。

3.4.1 数字低通-数字低通 1、LP→LP的变换 Hp(ejθ)和H(ejω)都是低通函数，只是截止频率互不相同（或低通滤波器的带宽不同），如图 p

低通--低通变换特性

3.4.2 数字低通—数字高通 1、变换方法 通过将单位圆旋转180。，能使低通数字滤波器变到高通数字滤波器。

p

3.4.3 数字低通—数字带通 1、幅度响应（数字低通—数字带通） p

总结

本章学习重点 1、如何确定滤波器的设计指标。 2、设计IIR LDF两种变换法（模拟频率变换法，数字频率变换法）。 3、利用模拟滤波器来设计数字滤波器的两种方法（冲激不变法、双线性变换法）。

重点习题 3.1，3.4，3.6，3.7，3.8 作业3.7（两种方法设计即用分别用脉冲响应不变法设计三阶巴特沃思数字滤波器）