高斯求积公式 引言 求积公式 高斯求积公式的系数和余项 举例

引言 注意此时的代数精度最高为2n-1 n+1个节点的插值求积公式 的代数精确度不低于n求积公式,能不能在区间[a,b]上适当选择n个节点x1,x2,……,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是所要介绍的高斯求积公式。 为考虑一般性,设求积公式为 注意此时的代数精度最高为2n-1

（一）定理： 求积公式 的代数精度最高不超2n-1次。 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. [ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]

事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有 左= 右= =0 左右,故不成立等式,定理得证. 定义: 使求积公式 达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1 d2n-1

定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为 其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。 高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的. Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk, Guass系数Ak都有表可以查询.

常用的高斯求积公式 1.Gauss - Legendre 求积公式 (1) 其中高斯点为Legendre多项式的零点 Ln(x)= 　　　　　　　　　　　　　　　 (1) 　其中高斯点为Legendre多项式的零点 Ln(x)= 对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为[-1,1]。

Gauss- Legendre 点及系数表 n xk(n) Ak(n) Rn 1 0 2 2 -0.5773503 1 1 0 2 2 -0.5773503 1 +0.5773503 1 3 -0.7745967 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.8611363 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693 0.4786287 +0.9061799 0.2369269 Gauss- Legendre 点及系数表

例题利用高斯求积公式计算 ［解］令x=1/2 (1+t), 则 用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5 积分精确值为 　　　I=ln2=0.69314718… 　　由此可见，高斯公式精确度是很高的

Tn(x)=cos(narccos(x)) 2.Gauss - Chebyshev 求积公式 　　　　　　　　　　　　　　　 (2) 其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点 Tn(x)=cos(narccos(x))

　3.Gauss - Laguerre 求积公式 　　　　　　　　　　　　　　　 (3) 4 .Gauss - Hermite 求积公式 (4)

例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较 令I= 各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式 当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831

二:用复化梯形公式 令h=1/8=0.125 三：用复化抛物线

四、 Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831

五、Gauss公式 令x=(t+1)/2, 用2个节点的Gauss公式 用3个节点的Gauss公式 =0.9460831

比较 此例题的精确值为0.9460831... 由例题的各种算法可知： 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有6位有效数字。 用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。

总结 1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法所不能比的。