第五章　四边形与相似 第18讲　多边形与平行四边形

考点梳理过关 考点1 多边形 内角和定理：n边形的内角和是①__(n－2)·180°__ 多边形的性质 考点1 多边形 多边形的性质 内角和定理：n边形的内角和是①__(n－2)·180°__ 外角和定理：多边形的外角和是②__360°__ 正多边形 概念 各边都③__相等__，并且各角也都④__相等__的多边形叫做正多边形 性质 (1)正多边形的各边⑤__相等__，各角⑥__相等__； (2)正n边形一定是轴对称图形，有⑦__n__条对称轴．对于正n边形，当n为奇数时，不是中心对称图形；当n为偶数时，是中心对称图形

考点2 平行四边形 定义 两组对边分别①__平行__的四边形叫做平行四边形 性质 平行四边形的对边②__相等__，对角③__相等__，对角线④__互相平分__ 判定 (1)一组对边⑤__平行且相等__的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别⑥__相等__的四边形是平行四边形； (3)两组对角分别⑦__相等__的四边形是平行四边形； (4)对角线⑧__互相平__分的四边形是平行四边形 拓展►利用平行四边形的性质与判定可以：(1)证明线段平行；(2)证明线段相等；(3)证明线段垂直；(4)证明角相等；(5)求线段的长度；(6)求角的度数

典型例题运用 类型1 多边形的内角和与外角和 【例1】 [教材改编]如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形(含三角形)，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是(　　) D A．360°　　B．540°　　 C．720°　　D．630° D　一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边(含三角形)的情况有三种，①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，如图1所示．此时矩形分割为一个五边形和三角形，∴M＋N＝540°＋180°＝720°； ②当直线经过一个原来矩形的顶点，如图2所示．此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，∴M＋N＝360°＋180°＝540°；③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，如图3所示．此时矩形分割为两个三角形，∴M＋N＝180°＋180°＝360°.

技法点拨►解答的关键是根据题意分别画出图形，分类讨论，把每一个图形都要利用多边形的内角和公式计算出来，根据结果进行选择． 变式运用►1.一个多边形剪去一个角后(剪痕不过任何一个其他顶点)，内角和为1980°，则原多边形的边数为(　　) A．11 B．12 C．13 D．11或12 B

类型2 平行四边形的性质与判定 【例2】[2018·原创]已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 【思路分析】若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么PD＝CQ或AP＝BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．

技法点拨►(1)利用平行四边形性质可以证明角相等或互补、线段相等或平行，一般是先判定四边形是平行四边形，然后再利用性质求角的度数；(2)解决平行四边形相关问题时，观察线段或角所在图形的形状，既要利用平行四边形的判定和性质，又要借助三角形的一些性质定理为解题服务．

变式运用►2.[教材改编]下列说法正确的有( ) ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②平行四边形的对角互补； ③平行线间的线段相等； 变式运用►2.[教材改编]下列说法正确的有(　　) ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②平行四边形的对角互补； ③平行线间的线段相等； ④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形； ⑤平行四边形的四内角之比可以是2︰3︰2︰3. A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 C

1．[2014·泰安，5，3分]如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是( ) 六年真题全练 命题点1 多边形 1．[2014·泰安，5，3分]如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是(　　) A．∠1＋∠6>180° B．∠2＋∠5<180° C．∠3＋∠4<180° D．∠3＋∠7>180° D D　如图所示，A.∵DG∥EF，∴∠3＋∠4＝180°.∵∠6＝∠4，∠3>∠1.∴∠6＋∠1<180°，故本选项错误；B.∵DG∥EF，∴∠5＝∠3.∴∠2＋∠5＝∠2＋∠3＝(180°－∠1)＋(180°－∠8)＝360°－(∠1＋∠8)＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A>180°，故本选项错误；C.∵DG∥EF，∴∠3＋∠4＝180°，故本选项错误；D.∵DG∥EF，∴∠2＝∠7.∵∠3＋∠2＝180°＋∠A>180°，∴∠3＋∠7>180°，故本选项正确．

2．[2013·泰安，8，3分]如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(　　) B　本题有两种解题思路：(1)如图1，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4＋∠5＝180°，五边形的外角和等于360°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，故∠1＋∠2＋∠3＝180°；(2)如图2，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质可得，∠1＝∠AEF，∠3＝∠DEF，因为∠2＋∠AEF＋∠DEF＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°.

猜押预测►1.如果一个多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍，那么这个多边形的边数为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 猜押预测►1.如果一个多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍，那么这个多边形的边数为(　　) A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．8 C

2.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于( ) B　在正五边形ABCDE中，∠C＝ ×(5－2)×180°＝108°.∵正五边形ABCDE的边BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.∴∠CDB＝ (180°－108°)＝36°.∵AF∥CD，∴∠DFA＝∠CDB＝36°.

①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC. 其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 命题点2 平行四边形 3．[2017·泰安，19，3分]如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论： ①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC. 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D D　∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CEB＝∠EBF.∴∠CBE＝∠EBF.∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF.∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB.∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF.∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴BE垂直平分FC，即PB垂直平分FC.∴PF＝PC，故④正确．

4．[2016·泰安，7，3分]如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于( 　) C　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6.∴∠F＝∠DCF.∵∠BCD平分线为CF，∴∠FCB＝∠DCF.∴∠F＝∠FCB.∴BF＝BC＝8.同理DE＝CD＝6，∴AF＝BF－AB＝2.AE＝AD－DE＝2，∴AE＋AF＝4.

∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴AF＝EF，则AE＝2AF＝4 . 5．[2013·泰安，19，3分]如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为(　　) A．2 B.4 C．4 D．8 B B　∵AE为∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE.∵DC∥AB，∴∠BAE＝∠DFA.∴∠DAE＝∠DFA.∴AD＝FD.又∵F为DC的中点，∴DF＝CF.∴AD＝DF＝ DC＝ AB＝2.在Rt△ADG中，根据勾股定理，得AG＝ ，则AF＝2AG＝2 在△ADF和△ECF中， ∠DAF＝∠E， ∠ADF＝∠ECF， DF＝CF， ∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴AF＝EF，则AE＝2AF＝4 .

6．[2012·泰安，7，3分]如图，在▱ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( ) B　设EC与AD交点为F，在▱ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，∴∠E＝90°.∵∠EAD＝53°，∴∠EFA＝90°－53°＝37°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠BCE＝∠EFA＝37°.