電 路 學 5. 一階電路：RC與RL電路 5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 5-7 無源RL電路與自然響應 5-2 電容器的直流穩態 5-9 一階電路響應的快速求法 5-4 有源RC電路之完全響應 5-10 步級函數與步級響應 5-5 有源RC電路之零態響應 5-11 總結 5-6 電感器的直流穩態 本章練習

5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 （First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits ） RC 及 RL 電路為一階電路，其電路方程式為一階微分方程式， 其形式為: dy t dt ay f ( ) + = 其中 y 為響應或輸出，可為電壓 v(t) 或電流 i(t)，a 為常數， f(t) 為輸入函數， f(t) 可為常數或時間函數。 一階微分方程式解法有多種，本節採用積分因子法解之。 e dy t dt ay f at ( ) + = 首先乘以 eat，則 又 d dt e y t dy ay f at [ ( ) ] = + é ë ê ù û ú 上式兩邊對 t 積分，可得 ò + = Þ c dt t f e y d at ) ( ] [ 其中 c 為積分常數，再以 e-at 乘以上式可得 y t e f dt ce at ( ) = + - ò c 可由初值條件 y(0) 決定之。 5-2

5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 （First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits ） 在微分方程中， 　　　 稱為全解， 　 在電路中則被稱為完全響應 (Complete Response) 。 y t e f dt ce at ( ) = + - ò 為微分方程中所謂的特解 yp (Particular Solution)， 在電路中被稱為激勵響應 (Forced Response)； 又因此解為一固定值且不隨時間之增加而衰減或消失， 故又稱為穩態響應(Steady State Response)。 完全響應包含兩部分，其中第一部份 e f t dt at - ò ( ) 則為微分方程中所謂之齊次解(Homogeneous Solution)， 此解和電路本身特性以及電路之初值有關，而與輸入函數無關，故被稱為自然響應 (Natural Response)，又因此解將隨 t 之增加 而衰減至零，故又被稱為暫態響應 (Transient Response)。 另一解為 ce at - 5-3

5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 （First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits ） 其中 c 可由初值條件 y (0) 決定。 若輸入函數為常數 b (或電路上之 b 伏特直流電壓)時， 則 at ce a b bdt e t y ay dt dy - + = Þ ò ) ( 若輸入函數為 f(t) 時，則 ( ) at ce dt t f e y - + = Þ ò ay dy 零輸入情況 此相當於 f (t) = 0 之情況，因此其解為 ( ) at e y ce t - = 此解和 y (0) 及 a 值有關，(a 和電路特性有關 )，故上式被稱為 無源電路之自然響應 (Natural Response)。 又因輸入為零，故稱為零輸入響應。 有源情況 電路含有初值且外接獨立電源情況時，若設 f (t) = b ， 則 又 at ce a b t y - + = ) ( 因此 c ( ) - at e a b y t - û ù ê ë é + = ) 故其解為 5-3

5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 （First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits ） 零態情況 此情況相當於式中， f (t) 不為零但 y (0) = 0 之情況， 若同樣設 f (t)=b，則 y t b a ce at ( ) = + - 又 y c ( ) = + b a 所以 c b a = - 故其解為 at e t y - = ) 1 ( b a 此解通常被稱為零態響應 (Zero State Respense)， 其中 為穩態響應， 為暫態響應。 at e - b a 完全響應 = 零輸入響應 + 零態響應 5-4

5-1 一階微分方程式與一階電路之響應 （First-order Differential Equation and the Response of First-order Circuits ） (a) f (t) = 0 且 y(0) = 10 (零輸入) (b) f (t) = 5 且 y(0) = 10 (直流輸入) (c) f (t) = 5 且 y(0) = 0 (零態) 例 5-1：試解一階微分方程式　　　　　　　　　 若 dy t dt y f ( ) + = 5 解： 依 可得如下解： y t e f dt ce at ( ) = + - ò (a) y t ce c e ( ) = \ - 5 10 (b) t e y c ce dt 5 9 1 ) ( 10 - + = \ Þ × ò (c) t e y c ce dt 5 1 ) ( - = \ Þ + × ò 5-5

5-2 電容器的直流穩態（DC Steady State of a Capacitor） 在直流穩態時沒有電流流經電容器，此時電容器如同開路一般， 因此在直流穩態時，可直接將電容開路。 (a RC ) 較一般化的 電路 4 W 6 2 7 C = 1 F 150 V + - v t 5 c ( RC 電路之直流穩態，考慮圖 (a) 之電路。 設此電路在 t = 0－ 時已在穩態， 即在 t = 0－ 以前，開關在閉合狀態已有很長 一段時間，因此在 t = 0－ 時， 電容器的電壓已充飽至一固定值， 又此時電容器在直流穩態時可視為開路， 因此可得其等效電路如圖 (b)所示 (b) 在 時的等效電路 t = 4 W 6 2 7 v c ( ) - 150 V + 5 R th = + [( ) / ] 4 2 6 7 10 W 且電容器左側之戴維寧等效電阻為 (c ) t > 時的等效電路 R th = 10 W 1 F + - v c ( 故可求得電容器在時之初值為 v c ( ) 10 5 × 150 100 - = + æ è ö ø V 若在 t ＞ 0 後將開關打開，則此時電容器將對其左側之電阻放電， 由於 vc(0+) = vc(0－) = 100V，所以 vc 將從 100V 開始放電，直到 vc 降為零， 此時其等效電路如圖 (c) 所示。 5-6

5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response ) 　 此放電電路中所有電壓與電流之響應。 v V c ( ) - = 由 KCL，可得 ic + iR = 0 R i C v t c ( ) + - 因此 ) ( = + R t v dt dv C c ) ( 1 = + t v RC dt dv C 或 可得 v t ce c RC ( ) = - 　已知 vc(0－) = V0，代入上式可得 vc(0－) = c = V0 又由於 　　　(電容器電壓之連續性 )，所以當 t > 0 時， v c ( ) + - = v t V0e c RC ( ) = - R e V i dt dv C 5-7

5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response ) 　 其響應為 f t Ke ( ) = - K t f ( ) (a) 由圖 (a) 可看出當 t → ¥ 時，f(t) → 0 其中 K 及t 為常數，且 t = RC ， R 的單位為歐姆 (W)，C 之單位為法拉 (F)。 t 等於 + ay(t) = 0 中之 ) ( dt t dy a 1 由於 R = 與 C = 之單位分別為 伏特 / (庫倫 / 秒) 及 庫倫 / 伏特， 故 RC 乘積之單位為秒。 i v q V v t c ( ) 368 . 1 = K 2 3 (b) 又因t 與 RC 電路之充放電速率有關， 所以t 被稱為時間常數 (Time Constant)； t 愈大，則 v(t) 或 i(t) 下降之速度愈慢， 　 反之則愈快，如圖 (b) 所示。 5-8

5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response ) 除電壓與電流響應外，另一個我們所關心的就是 能量。 由公式 W t Cv c ( ) = 1 2 我們知道電容器於 t = 0 時所儲存的能量為 W c ( ) = Cv 1 2 CV 當時間 t → ¥ 時，vc → 0，因此 Wc → 0，但 Wc(0) 能量往那兒去了？ 以下我們將證明這些能量被電阻器以熱的形式消耗掉了。 由於電阻器所吸收的功率為 P t Ri R V e RC ( ) = æ è ö ø - 2 所以，由電阻器所吸收的總能量為 W P t dt V R e RC = - ¥ ò 2 ( ) / C V CV W c = - 2 1 [ ] ( ) 因此原先電容器所儲存的能量在放電的過程中被電阻器吸收， 且以熱的形式消耗殆盡。 5-11

5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response ) 例 5-2：下圖之電路在 t = 0－ 時已在穩態，在 t = 0 時開關 打開，試求 t ＞ 0 之 vc(t) , v(t) 及 ic(t)。 (a RC ) 較一般化的 電路 4 W 6 2 7 C = 1 F 150 V + - v t 5 c ( 解： 由前一節之說明知 vc(0+) = vc(0－) = 100(V)， 又由圖 (c) 之等效電路，可得 t ＞ 0 時 (c ) t > 時的等效電路 R th = 10 W 1 F + - v c ( v t e c ( ) = - 100 10 0. 1 V) 其中 t = RC 秒，又由分壓定律可得 v t e c ( ) [ / )] = + × - 7 6 2 4 10 100 70 0. 1 V i t C dv dt e c ( ) . = - 100 1 10 0. A × 5-11

5-3 無源RC電路與自然響應 (Source-Free RC Circuits and Its Natural Response ) 例 5-3：下圖之電路已知 v(0) = 4(V)，求 t > 0 時之 i。 + - 1 8 F 3 W 2 i V v 6 解： 依 KCL 可得 v i dv dt - + = 2 6 1 8 3 其中 i C dv dt = 1 8 代入上式可得 6 3 8 1 4 = + Þ - v dt dv 故可得 v t e ( ) = - 4 6 V) 因此 t > 0 時 i t C dv dt e ( ) = × - 1 8 4 6 3 (A) 5-12

5-4 有源RC電路之完全響應 (Complete Response of RC Circuits ) 考慮右圖之電路，設 v(0–)=V0，且在 t = 0 時，關上開關。 則 t > 0 時 v t V e s RC ( ) = + - V s C + - v R i t = 由上式知，v(t) 之響應包含兩部份， 即 Vs 及 (V0–Vs) e ，通常被稱為完全響應。 其響應圖如圖 (b) 所示，茲說明如下： t RC - Vs部份： 為一常數項，其形式與電壓源相同，因此 我們推論這分量是完全由激勵源所造成的， 此分量通常被稱為激勵響應，又被稱為 穩態響應。 ( ) a V s - t e RC 穩態響應 暫態響應 v b = + 完全響應 (V0 – Vs)e 部份： 此部份與無源 RC 電路之自然響應有相同的 形式，但其 K 值 (等於 V0 – Vs ) 與初值及 激勵源有關，而無源 RC 電源之，只和初值 有關，故此部份通常被稱為有源電路之 自然響應，又稱為暫態響應。 t RC - 5-13

5-4 有源RC電路之完全響應 (Complete Response of RC Circuits ) 穩態響應與暫態響應。 2. 穩態響應為電容器的開路 (或直流穩態) 電壓。 3. 暫態響應＝(初值－穩態響應) ， 其中τ為時間常數。 - × e　 t 5-14

5-4 有源RC電路之完全響應 (Complete Response of RC Circuits ) 例 5-4：下圖電路之開關在 t = 0 時關上，設 v(0－) = V0， 試求 t ＞ 0 時之 v(t)。 I + - v C i c t = a b R 解： 依 KCL ，於 t ＞ 0 時 Þ C dv dt v R I + = RC 可得 v t e I C dt c RI RC ( ) = + - ò 由於 v(0+) = v(0－) = v0，所以 t = 0+ 時由上式可得 即 c V RI = - v ( ) + 因此 v(t) 之完全響應為 v t RI V e RC ( ) , = + - > 5-15

5-4 有源RC電路之完全響應 (Complete Response of RC Circuits ) 例 5-6：圖 (a) 之電路中 v(0－) = 15(V)，求 t > 0 時之 v(t) 。 24 W 1 3 F + - v 40 V 8 i a b ( ) 解： A. 電容器開路電壓為 40 × = 30(V) (參考圖(b))， 故穩態響應為 30(V)，此電壓亦等於 ab 端以左， 戴維寧等效電路之開路電壓 V0c。 24 8 + 1 3 F 30 V 6 W a b ( ) c 24 40 8 R th = B. 由圖 (c) 之戴維寧等效電路可求得 Rth = = 6Ω， 故 t = Rth × C = 6 × = 2 sec， 因此暫態響應為 (15 – 30)e = 15e 8 × 24 8 + 24 1 3 － 0.5e t 2 － C. 所以 t > 0 時，v(t) = 30 – 15e (V) － 0.5e 5-16

5-5 有源RC電路之零態響應 (Zero State Response of RC Circuits ) 考慮右圖之電路，即設 v(0) = 0，因此 t > 0 後，可知 v t V e s RC ( ) / = - 1 V s C + - v R i t = 所以零態響應亦由穩態項與暫態項組成。 結論： 有源 RC 電路之完全響應，不論是否含有初值，通常包含 穩態響應及暫態響應。 但若電源為類似 e 　等形式之暫態函數時，則完全響應將 無穩態項，而僅剩暫態項。 a t - | 以電容器電壓之響應為例： v t V e c R C th ( ) / = - 1 其中 Voc = 電容器端戴維寧等效電壓 ( 開路電壓 )。 Rth = 自電容器端看入之等效電阻。 5-17

5-5 有源RC電路之零態響應 (Zero State Response of RC Circuits ) 例 5-7：下圖之電路，若 v(0) = 0 ，求 t ＞ 0 之 v(t) 及 i(t)。 + - 36 V 12 W v t ( ) 6 1 8 F a i 解： 電容器兩端之戴維寧等效電路如圖 (b) 所示。 V R C v t e i c th 2 36 × 12 6 24 4 1 8 36 = + × \ - ( / / 12 sec ) [ )] V) (A) W + - V c 24 = a b v t ( ) R th 4 W 1 8 F 5-18

5-6 電感器的直流穩態 (DC Steady State of Inductors) 在直流穩態時，電感器上會有一固定之電流。 例如： I0 (常數) 安培之直流電流，由於 di / dt = 0， 因此 vL = Ldi / dt = 0，即電感器兩端之電壓為零， 換句話說，電感器在直流穩態時，形同短路， 此時電感器中之電流即為其初值電流。 結論： 不含初值的 RL 電路在接上電源的瞬間，其電流為零， 故此時電感器形同開路。 RL 電路達穩態時，電感器中有一穩定電流， 且此時電感器形同短路。 5-19

5-7 無源RL電路與自然響應 (Source-free RL Circuits and Its Natural Response ) 如右圖所示之無源 RL 電路，其初值電流為 i (0－) = I0 ， 現欲求解 t > 0 時，此電路中所有電壓與電流的響應可求得 ) ( = + Þ t i L R dt di Ri + - v t ( ) L R i 可得上式之解為 i t c e R L ( ) = - 已知 i(0－) = I0，代入上式可得 I c i - = ) ( 由於 ，所以當 t > 0 時 i I ( ) + - = v t L di dt I R ( ) = - iR e i RL 電路之響應為 f(t) = Ke 之形式，只是時間常數τ變為 L /R， 且τ愈大 ( 相當於 L 愈大 )，則電感器電流降至零之速度愈慢， 反之愈快。 t - 5-20

5-7 無源RL電路與自然響應 (Source-free RL Circuits and Its Natural Response ) W t Li L ( ) = 1 2 若在 t = 0 時電感器所儲存的能量為 = W Li L ( ) 1 2 LI 由於 t → ∞ 時，i → 0，因此 WL → 0，則原先儲存在電感器上之 能量 WL(0) 何去了呢？ WL(0) 係被電阻器所消耗。 右圖中 RL 電路之電阻所吸收之功率為 P t Ri R I e L ( ) = - 2 2R + - v t ( ) L R i 當 t → ∞ 時，電阻器吸收之能量為 W P t dt RI e LI R ( ) ¥ = \ ò 2 1 2R L - 上式說明「電感器最初所儲存的能量，最後是被電阻器所消耗」。 5-21

5-7 無源RL電路與自然響應 (Source-free RL Circuits and Its Natural Response ) 範例：考慮右圖之電路，設此電路在位置 1 時為直流穩態( 即電路在 位置 1 已有很久一段時間 )，若在 t = 0 時開關移至位置 2， 則 t > 0 時 v(t) 及 i(t) 為何？ 2 W t = + - 30 V v ( ) 3 a b i 1 H 解： 1. 在位置 1 時，電路為直流穩態，故電感器形同短路， 因此 i I = + 30 2 3 5 6 ( ) A i 1 H 15 8 W a b 2. 在位置 2 時，a-b 端之戴維寧等效電路如右圖所示， 其中 R th = + 3× 2 3 15 8 ( ) W 且電感器中初值電流為 6A，所以 t > 0 時 其中 i t e ( ) = - 6 15 8 L R th sec 3. 因為 ，由分壓定理得 v L di dt e ab t = - 45 4 15 8 ( ) × + 2 3 5 9 V 5-22

5-7 無源RL電路與自然響應 (Source-free RL Circuits and Its Natural Response ) 範例：若電路中含有相依電源，則須注意此時電路之時間常數 將不再是單純的 L / R，茲以下圖為例說明，其中 i(0) = 2A。 3. v 6 A a b 2 W 3 H 4 i + - 解： 在此電路中 其中 v di dt i ab = - 6 + × æ è ö ø 4 2 L 3 所以　　　　　　　　　　 或 6 i - æ è ç ö ø di dt + = × 4 2 3 故 i e t = - 2 6 A 其中 ，於此種情況不能再用一般 之方式求出。 t = 1 6 L R 5-23

5-8 有源RL電路之完全響應 (Complete Response of RL Circuits ) 首先考慮右圖之電路，設 i(0－) = I0，且在 t = 0 時，將開關關上。 則依 KVL，於 t > 0 時 L V i R dt di Ri s = + Þ t = i L + - v R V s 可得 i t e V L dt c R s ( ) = + - ò 因為 i I ( ) + - = 所以 t = 0+ 時，可得 R V I c i s - = Þ + ) ( 因此 t > 0 時 i t V R I e s ( ) = + - æ è ö ø L 若令 ，上式可改寫成 i t I e s ( ) = + - V R L 5-24

5-8 有源RL電路之完全響應 (Complete Response of RL Circuits ) 由上式可知，i(t) 之響應包含兩部份，即 Vs / R 及 此解為電路之完全響應，說明如下： I V R e s L t - æ è ö ø 部份：此部份為一常數項，其形式與激勵源 Vs 相同，此分量常被稱為 激勵響應。又因 　此項會隨時間之增加而逐漸衰減 至零，使 i(t) 最後只剩 Vs 分量，故此分量又被稱為穩態響應。 V R s I e L t - æ è ö ø 當電路在穩態時，電感器形同短路，直流穩態電流當然為 。 　　 　　部份：此部份為電路之暫態響應，會隨時間之增加 而衰減至零。 I V R e s L t - æ è ö ø 由上述討論，有源 RL 電路的結論如下： 1. 有源 RL 電路中電感電流之完全響應包含 穩態響應 與 暫態響應 。 2. 穩態響應部份為電感視同短路情況下，所求得之穩態電流。 3. 暫態響應為（初值 – 穩態響應）× e ，τ為時間常數。 t τ 5-25

5-8 有源RL電路之完全響應 (Complete Response of RL Circuits ) 例 5-10：在右圖電路中， 已知 i(0－) = 2A，求 t > 0 之 i(t)。 + - 3 W 6 2 H b a i t = 36 V 解： A. t > 0 時，a-b 端戴維寧等效電路如右圖示 其中 V v R c ab th 36× 3 6 2 = + æ è ö ø ( [( / ) ] V) W 由等效電路可得穩態電流為( 令電感器短路 )， 因此 i t e - A L 1 + - 6 V 2 W a H b i t ( ) B. 由原電路直接求出電感器之穩態電流，令電感器短路後可得其 穩態電流為 36 6 3 + = ( / ) A × 且自電感器 a-b 端看進去之等效電阻為 2 [( ] W 因此 i t e - 5-25

5-8 有源RL電路之完全響應 (Complete Response of RL Circuits ) 例 5-11：在右圖電路中，若在 t = 0－ 時為直流穩態，試求 t > 0 時之 i(t) 。　　　　 + - 10 W V t = 1 H 5 i A 解： A. 在 t = 0－ 時，電感器形同短路， 故 i = I0 = 10 ×　　 = 5(A) + 5 B. t ≥ 0 時，原電路另外加了 10V 之電壓源，因此可利用重疊定理，分別考慮10V 電壓源， 初值 I0 及 10A 電流源單獨作用時所產生之電流，此三個電流之和即為 i 。 C. 僅考慮 10V 電壓源之作用時，10A 電流源被開路且令初值為零， 故其產生之電流為 i t e 1 5 ( ) = - A 其中穩態電流為 (令電感器短路)，且電感器兩端之等效電阻為 10 // (5 + 5) = 5 Ω 10 D. 由初值所產生之電流為 ( 此時 10V 電壓源為短路，10A 電流源為開路 ) 其中 i t I e R L 2 5 ( ) = - A th W , E. 由 10A 電流源所產生之電流為 其中穩態電流為 (令電感器短路)，且 i t e 3 5 1 ( ) = - A 10 × + R th 10 / W F. 由以上結果可得 i t e ( ) = + - 1 2 3 5 6 A 5-26

5-9 一階電路響應的快速求法 (Fast Solution of First order Circuits ) 總結： 或 一階電路的完全響應可以表示成如下的形式 y t f n ( ) = + A Be - 其中 yf = A 為激勵響應或穩態響應，而 yn = Be 為自然響應。 t - 因 yf 為所欲求解元件上之穩態電壓或穩態電流， 因此可直接從電路上直接觀察得出 yf， 又比較上述公式可知 A y B - = Þ + ) ( 因此自然響應 yn 可直接利用初值 y(0) 求出。 5-27

5-9 一階電路響應的快速求法 (Fast Solution of First order Circuits ) 例 5-12：以本節的方法求解下圖 (例 5-6) 電路之 v(t) 。 24 W 1 3 F + - v 40 V 8 i a b ( ) 解： A. 由例 5-6 已知 A = vf = 30V , t = 2 B. 由 及 v(0) = 15 可得 v(0) = 30 + B = 15 v t A Be ( ) = + - 30 因此 B = -15 即 v t A Be 15e ( ) = + － - 30 2 (V) 5-27

5-9 一階電路響應的快速求法 (Fast Solution of First order Circuits ) 請以本節之方法解 t > 0 時之 i(t)。 + - 10 W V t = 1 H 5 i A 解： 在 t = 0－ 時，電感器形同短路，故 i = I0 = 10 ×　　 = 5(A) + 5 當開關關上後，其電感器之穩態電流為 if = 1 + 5 = 6 (A) 其中 1A 為 10V 電壓源所提供，5A 為 10A 電流源所提供。 又此電路之初值為 　　　　　　　 i ( ) , 5 1 = A t 由於 i t Be B ( ) , = + - 6 5 1 因此 i t e ( ) = - 6 A 5 5-28

5-10 步級函數與步級響應 (The Step Function and The Step Response ) 步級函數的數學式 u t K ( ) = < > 1 u t ( ) (a) 其中 K 為常數。 若 K = 1 ，則 u (t) 稱為單位步級函數 (Unit Step Function)，一般以 us(t) 表示。 其圖形如圖 (a) 所示， 此函數在 t = 0 時立即由 0 變為 1。 假設我們用 t – t0 來取代步級函數中的 t u t ( ) - 1 (b) 則得到 u t R ( ) , - = < > 其中 R 為常數；此函數的圖形如圖 (b)。 u(t – t0) 為時間向右移位 t0 的 單位步級函數，也可說它延遲了 t0 秒。 5-29

5-10 步級函數與步級響應 (The Step Function and The Step Response ) 例 5-15：求下圖電路的步級響應 i(t)。 + - 6 u t ( ) V 2 W 1 H i 解： 由 KCL 可得 A. t ＜ 0 時 因此 由於 i(0) = 0，因此 A = 0，即 i(t) = 0。 di dt i + = 2 t Ae ( ) - B. t ＞ 0 時 因此 i t Ae f n ( ) = + - 3 2 di dt 6 由於 i(0) = 0 = 3 + A = 0 , A = -3 因此 i t e ( ) = - 3 1 2 A C. 對所有的 t ， i(t) = 0 , t ＜ 0 = 3 – 3e-2t , t ＞ 0 或 i t e u ( ) = - 3 1 2 A 5-31

5-10 步級函數與步級響應 (The Step Function and The Step Response ) 例 5-16：求右圖電路之電流響應 i(t)。 + - [ ( ) )] u t 2 V W i 1 H v 解： (利用重疊原理求響應) 假設由電源 u(t) 單獨作用時所造成的電流以 i1(t) 代表，而單獨由電源 –u(t – 2) 作用所造成的電流 以 i2(t) 代表； 則 i(t) = i1(t) + i2(t) + - u t ( ) 2 W i 1 H (b) A. 當 u(t) 單獨作用時，如圖 (b)。 在 t＜0 時 因此 di dt i + = 2 t Ae ( ) - 用於 i1(0) = 0，因此 A = 0，即　 i1(t) = 0 在 t＞0 時 因此 i1 t Ae f n ( ) = + - 0.5 2 di1 dt 用於 i1(0) = 0.5 + A = 0 A = - 0.5 Þ 因此 0.5 (1 – e-2t) (A) , t ＞ 0 i1 t ( ) = + - u t ( ) 2 V W i 1 H (c) B. 當 –u(t – 2) 單獨作用時，如圖 (c)。 因為只有電源的極性及使用的時間不同，所以不需決定自然響應 及激勵響應，於是 i2(t) 之解為 i2 t ( ) = – 0.5 [1 – e-2(t – 2)] , t ＞ 2 重疊原理 i1 t ( ) = 0.5 (1 – e-2t)(A) , 0 ＜ t ＜ 2 i ) + i2 – 0.5 [1 – e-2(t – 2)] (A) , t ＞ 2 0.5 (1 – e-2t) 5-32

5-11 總結 本章重要公式及觀念摘錄： 5-33 1. 含有一個儲能元件的電路，例如：RC 電路及 RL 電路，其電路方程式為如下形式 之一階微分方程式， 其中 y(t) 為電感器之電流或電容器之電壓。 欲解上式，須先得知初值 y(0) 之值，即一階微分方程式，須具備一個邊界條件 y(0)。 dy t dt ay f ( ) + = 2. 上式中之 為電路響應之時間常數 τ。 1 a 3. 上式中之解為形式 或 　 其中 yf 為激勵響應，yn 為自然響應。 y t e f at n ( ) [ ] = + - A Be B 4. 3 式之 yf 為電容器 (電感器) 之穩態電壓 (電流)，因此可先觀察電路得知 yf 。 　若已知 yf ，則 yn 可直接由 y(0) 求出，因為比較 3 中之二式 　　　　　　　 知 B = y(0) – A = y(0) – yf 　因此可立即求出 B 或 yn = Be –at。 5. 我們所討論的一階電路為線性非時變電路，因此可直接利用重疊定理及時間位移 定理。例 5-11 為應用重疊定理的例子。若此例開關於 t = t0 ( 而非 t = 0) 閉合， 則由時間位移定理其響應為 i(t) = 6 – e–5(t – t0) (A) , t ＞ t0 例如： 若 t0 = 2 秒，則 i(t) = 6 – e–5(t – t0) (A) , t ＞ 2 5-33

本章練習 5-10 右圖電路在 t = 0－ 時為穩態，求 t > 0 之 v(t)。 答：20e –t V W . F + - v t ( ) 4 12 20 V = 答：20e –t V 5-14 右圖電路在 t = 0－ 時為穩態，求 t > 0 時之 i(t)。 12 W 2 H 8 i t ( ) 64 V = 答：4e –3t A 5-36