第3章 正弦交流稳态电路 本章主要内容 本章主要介绍电路基本元器件的相量模型、基本定律的相量形式、阻抗、导纳、正弦稳态电路的相量分析法及正弦稳态电路中的功率、功率因数及功率因数的提高。 【引例】 RC低通滤波器 仿真波形 仿真电路 如何工作的？

3.1 正弦量的基本概念 3.1.1 正弦量 随时间按正弦规律变化的电压或电流，称为正弦电压或正弦电流，统称为正弦量，其相应的波形称为正弦波。 函数表达式 正弦电路 注意：电流的瞬时值有时为正，有时为负。而对于电流数值的正负必须在设定参考方向的前提下才有实际意义，因此对正弦电流也必须设定参考方向。 波形图

3.1 正弦量的基本概念 3.1.2 正弦量的三要素 将Im、ω和φi称为正弦量的三要素 1．频率、周期和角频率 3.1 正弦量的基本概念 3.1.2 正弦量的三要素 我国电网供电的电压频率为50 Hz， 该频率称为工频。美国、日本电网 供电频率为60 Hz，欧洲绝大多数国 家的供电频率为50 Hz 幅值 初相角 将Im、ω和φi称为正弦量的三要素 角频率 1．频率、周期和角频率 ※周期T（s）：正弦量变化一周所需要的时间； ※频率f （Hz）：正弦量每秒变化的次数； 三者的关系： ※角频率ω（rad/s) ：正弦量每秒钟变化的角弧度；

3.1 正弦量的基本概念 2．相位和初相位 ※相位：正弦量随时间变化的角度，即（ ωt + ψi），或称相角 ； 3.1 正弦量的基本概念 2．相位和初相位 ※相位：正弦量随时间变化的角度，即（ ωt + ψi），或称相角 ； ※初相位：时间t=0时所对应的相位φi（或称初相角）。 注意：在电路中，初相位与计时零点的选择有关。对于同一正弦量，如果其计时零点不同，其初相位也就不同。对于同一电路中的多个相关的正弦量，只能选择一个共同的计时零点确定各自的初相位。 <0 >0

3.1 正弦量的基本概念 3．相位差 ※相位差：两个同频率的正弦量之间的相位之差，或为它们的初相位之差 。 3.1 正弦量的基本概念 3．相位差 ※相位差：两个同频率的正弦量之间的相位之差，或为它们的初相位之差 。 注意：（ 1）相位差是与频率无关的常数；（2）相位差的取值范围为∣φ ∣≤180o ；（3）相位差决定两个正弦量的相位关系。 ※当φ >0 时，称i1超前i2；

3.1 正弦量的基本概念 ※当φ<0 时，称i1滞后i2； ※当φ=0时，称i1与i2同相位 ※当φ=±π时，称i1与i2反相位； 3.1 正弦量的基本概念 ※当φ<0 时，称i1滞后i2； ※当φ=0时，称i1与i2同相位 ※当φ=±π时，称i1与i2反相位； ※当φ=±π/2时，称i1与i2正交；

3.1 正弦量的基本概念 4．幅值（或称振幅）和有效值 ※幅值（振幅）：正弦电流在整个变化过程中能到达的最大值。 3.1 正弦量的基本概念 4．幅值（或称振幅）和有效值 ※幅值（振幅）：正弦电流在整个变化过程中能到达的最大值。 ※有效值：为正弦量的均方根值，是幅值的1/ 。 注意：在电路测量过程中，交流电压表、交流电流表所指示的电压、电流读数都是有效值。交流电机等电器的铭牌数据所标注的额定电压和电流也是指有效值。例如通常所说的220V正弦交流电压就是表示该正弦电压的有效值是220V，而其幅值为 ×220=311V 。在我国，民用电网的供电电压为220V，日本和美国的供电电压为110V，欧洲绝大多数国家的供电电压也为220V。 正弦量表达式也可表示为：

3.1 正弦量的基本概念 【例3.1-1】已知某电压正弦量为 。试求该电压的有效值、频率、初始值，并画出其波形图。 【解】 3.1 正弦量的基本概念 【例3.1-1】已知某电压正弦量为 。试求该电压的有效值、频率、初始值，并画出其波形图。 【解】 该电压的有效值为： 角频率为： 频率为： 初始值为： 其波形如图所示

3.1 正弦量的基本概念 【例3.1-2】已知电流 ， ， ， 试比较它们的相位关系。 【解】 3.1 正弦量的基本概念 【例3.1-2】已知电流 ， ， ， 试比较它们的相位关系。 【解】 i1、i2、i3 是同频率的正弦量，且初相位分别为： 则i1、i2的相位差为 φ1- φ2 =300-（-150）=450（i1超前i2450） i2、i3的相位差为 φ2- φ3 = -150- 00 = -150（i2滞后i3150） i1、i3的相位差为 φ1- φ3 =300 – 00 = 300（i1超前i2300）

思考题（3.1、3.2）

3.2 正弦量的相量表示法 ω 3.2.1 正弦量的相量表示 正弦量的相量表示数学意义： 3.2 正弦量的相量表示法 3.2.1 正弦量的相量表示 虚轴 最大值相量 初相角 幅值 实轴 正弦量的相量表示数学意义： 最大值相量图 由于正弦量按周期性变化360o，所以正弦量的相量是以ω角频率旋转的相量。正弦电流在任一时刻的值，等于对应的旋转相量该时刻在虚轴上的投影。 ω

3.2 正弦量的相量表示法 ※相量变换：将一个正弦量表示为相量或将一个相量表示成正弦量的过程。 3.2 正弦量的相量表示法 ※相量变换：将一个正弦量表示为相量或将一个相量表示成正弦量的过程。 ※相量图：相量在复平面上的图。相量图可以形象的表示出各个相量的大小和相位关系。 注意： （1）相量只表示正弦量；（2）只有同频率的正弦量的相量才能画在同一复平面上；（3）正弦量的相量有最大值相量和有效值相量，只是模不同而已，一般为有效值相量。 【例3.2-1】已知电流 ， 。试画出这两个正弦量的相量图。 【解】 书本例子3.6

3.2 正弦量的相量表示法 3.2.2 正弦量的相量形式 1．相量的直角表示 正弦量的有效值相量代数式（也称为三角函数式）表示为

3.2 正弦量的相量表示法 2.相量的指数表示 欧拉公式 3.2 正弦量的相量表示法 2.相量的指数表示 指数式 欧拉公式 极坐标式 注意：在正弦稳态电路中，所有的电压和电流都是同频率的正弦量，相量就可以代表一个正弦量参加运算，从而把复杂的三角函数运算转化为简单的复数运算。这种利用相量表示正弦量，从而简化正弦稳态电路的分析方法称为相量法 。

3.2 正弦量的相量表示法 【例3.2-2】已知电流 ， 。试求 。 【解】 解法一，用相量图法求解 相量图如图 由余弦定理得 3.2 正弦量的相量表示法 【例3.2-2】已知电流 ， 。试求 。 【解】 解法一，用相量图法求解 相量图如图 由余弦定理得 解法二，用相量式求解

3.2 正弦量的相量表示法 3.旋转因子 当某相量 乘上±j时，即 3.2 正弦量的相量表示法 3.旋转因子 当某相量 乘上±j时，即 当相量 乘上+j或-j时，等于 逆时针方向旋转900或顺时针方向旋转900，。将 或±j称为旋转因子。

思考题（3.3、3.4）

3.3 电阻元件的交流电路 1、电压、电流关系 （1）瞬时值关系 设电阻两端的电压与通过电阻的电流采用关联参考方向，且 电阻元件正弦电路 设电阻两端的电压与通过电阻的电流采用关联参考方向，且 欧姆定律 结论：电阻两端电压和通过电阻的电流频率相同，相位相同 。 波形图

3.3 电阻元件的交流电路 （2）有效值关系 结论：在电阻元件电路中，电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）的比值，就是电阻R。 （3）相量关系 电阻元件相量模型 相量式 结论：在电阻元件电路中，电压与电流的相量之比，也等于电阻R。 相量图

3.3 电阻元件的交流电路 2.功率和能量 （1）瞬时功率 结论：p由两部分组成，第一部分是常量UI，第二部分是幅值为UI，并以ω的角频率随时间变化的交变量，且p>0，说明电阻取用能量。 瞬时功率波形图 （2）平均功率（有功功率） 电压、电流有效值 注意：有功功率是电阻元件真正消耗的功率，其单位为瓦特（W）。

3.3 电阻元件的交流电路 【例】一阻值为1kΩ、额定功率为1/4W的电阻，接于频率为50Hz、电压有效值为12V的正弦电源上。试问（1）通过电阻的电流为多少？（2）电阻元件消耗的功率是否超过额定值？（3）当电源电压不改变而电源频率改变为5000Hz时，电阻元件的电流和消耗的功率有何变化？ 【解】 （1） （2） 结论：电阻元件的功率小于其额定功率，所以电阻元件在电路中正常工作。 （3）由于电阻元件的电阻值与频率无关，所以频率改变时，I与P不变。

3.4 电感元件的交流电路 1.电感元件 根据电磁感应定律得 结论：该感应电动势将阻碍电流的变化，与电流变化率成正比。 自感电动势 磁通 3.4 电感元件的交流电路 自感电动势 磁通 磁链 1.电感元件 电路符号 外形图 示意图 电感系数 根据电磁感应定律得 结论：该感应电动势将阻碍电流的变化，与电流变化率成正比。

3.4 电感元件的交流电路 2.电压与电流的关系 （1）瞬时值的关系 3.4 电感元件的交流电路 2.电压与电流的关系 （1）瞬时值的关系 波形图 结论：电感元件两端的电压u与流过电流i的变化率成正比。如果电感元件通以恒定电流，则有u=0，这时电感相当于短路。 设： 结论：正弦稳态电路中，电感元件的电压和电流是同频率的正弦量，但电压的相位超前电流900。

3.4 电感元件的交流电路 （2）有效值的关系 结论：电感元件两端的电压与电流有效值之为ωL，称为感抗，其单位为Ω，具有阻碍交流电流的特性 ，用XL表示，即 结论：感抗XL与电感L、频率f成正比。当电感一定时，电源的频率越高时，其感抗就越大；而对于直流电路，频率f =0，XL=0，故电感在直流电路中相当于短路 。 I、XL与频率的关系

3.4 电感元件的交流电路 （2）相量关系 相量模型 结论：电感元件两端的电压与电流相量之比为jXL，其中j表示两者相位差为900，XL表示两者有效值之比。 相量图

3.4 电感元件的交流电路 3.电感的功率和能量 （1）瞬时功率 3.4 电感元件的交流电路 3.电感的功率和能量 （1）瞬时功率 结论：电感的瞬时功率是一个幅值为UI，并以2ω的角频率随时间变化的交变量 。 瞬时功率波形图 （2）平均功率（有功功率） 结论：说明电感不消耗电能 。

3.4 电感元件的交流电路 （2）无功功率 电感的瞬时功率有正有负，p>0表明电感元件取用电能； p<0表明电感元件释放磁能。这种能量交换在电路中会产生功率损耗，其规模用无功功率来衡量，无功功率等于瞬时功率的幅值，即 注意：无功功率的单位为乏（Var ）或千乏（KVar），是储能元件特有的功率。虽然电感元件在电路中并不消耗能量（有功功率），但能量交换要占用电源能量（无功功率）。

3.4 电感元件的交流电路 【例】一个0.1H的电感元件接到电压有效值为12V的正弦电源上。当电源频率分别为50Hz和100Hz时，电感元件中的电流分别为多少？如果电源频率为0Hz时会怎么样呢？ 【解】 ↑ ↑ 故 ↓

电容，单位法拉（F）、微法（μF）、皮法(pF) 3.5 电容元件的交流电路 电容，单位法拉（F）、微法（μF）、皮法(pF) 1.电容元件 外形图 电路符号 2.电压与电流的关系 （1）瞬时值的关系 结论：电容元件中的电流与两端的电压的变化率成正比。当电压恒定（直流）时，i=0，即电容相当开路。

3.5 电容元件的交流电路 设 结论：正弦稳态电路中，电容元件的电压和电流是同频率的正弦量，但电压的相位滞后电流900。 波形图

3.5 电容元件的交流电路 （2）有效值的关系 结论：电容元件两端的电压与电流有效值之为1/(ωC)，称为容抗，其单位为Ω，具有阻碍交流电流的特性 ，用XC表示，即 结论：容抗XC与电容C、频率f成反比。当电容一定时，电源的频率越高时，其容抗越小；而对于直流电路，频率f =0，XC=∞，故电容在直流电路中相当于开路 。 I、XC与频率的关系

3.5电容元件的交流电路 （2）相量关系 相量模型 结论：电容元件两端的电压与电流相量之比为-jXC，其中-j表示两者相位差为-900，XC表示两者有效值之比。 相量图

3.5 电容元件的交流电路 3.电容的功率与能量 （1）瞬时功率 若设 瞬时功率波形图 结论：电容的瞬时功率也是一个幅值为UI，并以2ω的角频率随时间变化的交变量 。 （2）平均功率（有功功率） 结论：说明电容也不消耗电能 。

3.5 电容元件的交流电路 （2）无功功率 在电路中电容元件并不消耗能量，但和外电路也进行能量交换。其能量交换的规模用无功功率来衡量，为瞬时功率的幅值，即 【例】将一个10的电容元件接到电压有效值为12V的正弦电源上。当电源频率分别为50Hz和100Hz时电容元件中的电流分别为多少？ 【解】 结论： ↑ ↑

3.7 交流电路的向量模型 基尔霍夫定律是分析电路的基本依据 ，不仅适用直流，也适用交流及电压电流的相量形式。 同理KVL的相量形式为： 3.7 交流电路的向量模型 基尔霍夫定律是分析电路的基本依据 ，不仅适用直流，也适用交流及电压电流的相量形式。 同理KVL的相量形式为： 瞬时值 相量形式 注意： ， 有效值相加不满足KCL和KVL。 KCL KCL

3.7 交流电路的向量模型 阻抗的定义 阻抗角 阻抗模 阻抗 说明：电路的阻抗即为一端口电路两端电压相量与电流相量之比。其阻抗模为电压与电流有效值之比，阻抗角为电压与电流的相位之差。即

3.7 交流电路的向量模型 阻抗的并联 说明：（1）两个阻抗并联，其等效阻抗的倒数等于两个 3.7 交流电路的向量模型 阻抗的并联 KCL 说明：（1）两个阻抗并联，其等效阻抗的倒数等于两个 阻抗的倒数之和；（2） （3）两个阻抗并联的分流公式为 注意：阻抗并联可以导纳表示

3.7 交流电路的向量模型 阻抗的串联 KVL 说明：（1）两个阻抗串联，其等效阻抗为两个阻抗之和；（2） ︱Z ︱≠ ︱Z1︱+ ︱Z2︱； （3）两个阻抗串联的分压公式为

思考题 关于阻抗，试判断下面的表达式中哪些正确，哪些不正确？

3.7 交流电路的向量模型 RLC串联电路 （1）瞬时值形式 KVL 瞬时值表示 （2）相量形式 KVL 相量表示

3.7 交流电路的向量模型 其中： 电抗， 其中阻抗为： 等效阻抗

3.7 交流电路的向量模型 （3）相量图 电压三角形 电压相量图 阻抗三角形

3.7 交流电路的向量模型 注意：电路的参数决定电路的性质 电压滞后电流 电压与电流同相 电压超前电流

3.7 交流电路的向量模型 【例】RLC串联电路如图所示，已知电流 3.7 交流电路的向量模型 【例】RLC串联电路如图所示，已知电流 ，R=100Ω，L=200mH，C=10μF。试求：（1）电路的总阻抗和总电压；（2）画出等效电路。 【解】 （1） (2)等效电路如图(c)所示。

3.7 交流电路的向量模型 【例】RLC并联电路如图所示，已知电压 3.7 交流电路的向量模型 【例】RLC并联电路如图所示，已知电压 ，R=100Ω，L=50mH，C=10μF。试求：（1）电路的总电流和总阻抗；（2）电路的等效导纳和等效电路。 【解】 （1） （2） 等效导纳

（4）由解的相量形式写出电压、电流的瞬时值表达式。 3.7 交流电路的向量模型 相量分析法 在正弦稳态电路的分析中，若电路中的所有元件都用的相量模型表示，电路中的所有电压和电流都用相量表示，此时列出的电路方程为相量方程，与电阻电路中的相应方程类似。这种基于电路的相量模型对正弦稳态电路进行分析的方法称为相量分析法。 步骤如下 （1）画出电路的相量模型； （2）选择适当的分析方法，列写相量形式的电路方程； （3）根据相量形式的电路方程求出未知相量； （4）由解的相量形式写出电压、电流的瞬时值表达式。

3.7.5 正弦稳态电路的分析 【例】电路如图所示，已知电压I1=10A，UAB=100V。求电压表V和电流表A的读数。

3.7.5 正弦稳态电路的分析 注意：此题可由作相量图求解，仍设uAB为参考相量

3.7.5 正弦稳态电路的分析 【例】电路如图所示，已知R1=48Ω，R2=24Ω，R3=48Ω， R4=2Ω，XL=2.8Ω， ， ， ，试求感性负载上的电流 。

3.7.5 正弦稳态电路的分析 方法1、电源等效变换法

正弦稳态电路的功率 瞬时功率 设 RLC串联电路 瞬时功率为 瞬时功率与电压、电流波形 波形

正弦稳态电路的功率 有功功率（平均功率） 电压与电流的相位差的余弦，称为功率因数 注意：在RLC串联电路中，电阻总是消耗功率，是耗能元件。而电感和电容则不消耗有功功率，只是存在和电源之间的功率交换，是储能元件，故 电压与电流的相位差

正弦稳态电路的功率 无功功率 在RLC串联电路中，无功功率Q等于电感和电容两者无功功率之差，即 由电压三角形可得： 注意：当电路为感性时，电路中的电压超前电流，△φ>0，电路的无功功率为Q >0；当电路为容性电路时，电路中的电压滞后电流，△φ<0 ，电路的无功功率为Q <0 。无功功率也可写成 其中电容的无功功率取负值，电感的无功功率取正值。

正弦稳态电路的功率 视在功率 一端口网络端口上电压、电流有效值的乘积定义为视在功率，即 注意：（1）视在功率也称为表观功率，单位为伏安（VA）、千伏安（kVA）。电源设备都是用视在功率表示它们的容量，也是电源所能输出的最大有功功率； （2）由视在功率、有功功率和无功功率组成功率三角形。与电压三角形、阻抗三角形之间为相似三角形。

正弦稳态电路的功率 【例】电路如图所示，已知电源电压为 ，R1=3Ω，R2=8Ω，XC=4Ω， XL=6Ω ，试求该电路的有功功率、无功功率、视在功率及功率因数。 【解】 此电路为电容性质

3.8 功率因数的提高 称为功率因数 1.提高功率因数的意义 （1）提高电源利用率 一定 （2）减少线路损耗 一定 2. 功率因数低的原因 3.8 功率因数的提高 称为功率因数 1.提高功率因数的意义 （1）提高电源利用率 一定 （2）减少线路损耗 一定 2. 功率因数低的原因 这是由于绝大多数用电负载为感性负载 。

3.8 功率因数的提高 3. 提高功率因数的方法 方法：在负载两端（实际是在供电线路的低压侧）并联一个适当的电容，以使整个电路的功率因数提高，同时也不影响负载的正常工作。理论上是用电容的无功功率去补偿电感的无功功率，从而减少电源的无功功率输出。 补偿后相量图 感性负载 感性负载并入补偿电容 由相量图可知，补偿后φ< φL，功率因数提高了，线路电流 I 减小了，

3.8 功率因数的提高 4. 补偿电容的计算 由于所并联的电容并不消耗有功功率，故电源提供的有功功率在并联电容前后保持不变，即

3.8 功率因数的提高 【例】已知某日光灯电路模型如图所示，图中L为镇流器的铁心线圈，R为日光灯管的等效电阻，已知电源电压U=220V，f =50Hz，日光灯的功率为40W，额定电流为0.4A。试求（1）电路的功率因数、电感L和电感上的电压UL；（2）若要将电路的功率因数提高到0.95，需要并联多大电容？（3）并联电容后电源的总电流为多少？电源提供的无功功率为多少？ 【解】 （1）

3.8 功率因数的提高 【例3.7-1】已知某日光灯电路模型如图所示，图中L为镇流器的铁心线圈，R为日光灯管的等效电阻，已知电源电压U=220V，f =50Hz，日光灯的功率为40W，额定电流为0.4A。试求（1）电路的功率因数、电感L和电感上的电压UL；（2）若要将电路的功率因数提高到0.95，需要并联多大电容？（3）并联电容后电源的总电流为多少？电源提供的无功功率为多少？ （2） （3）

3.9 串联谐振与并联谐振 3.9 串联谐振 1、串联谐振的产生及条件 若 电路的谐振频率与电阻及外加电源无关。 只有当外加电源的频率与电路本身的 谐振频率相等时，电路才能产生谐振。 1、串联谐振的产生及条件 RLC串联电路 谐振条件 若 谐振角频率 此时电路呈电阻性，电压、电流同相位。称电路发生谐振，由于谐振发生在串联电路，故称为串联谐振。 谐振频率

3.9 串联谐振与并联谐振 2、串联谐振的主要特征 (1)电压、电流同相，电路呈电阻性； (2)电路的阻抗最小，即 (3)电流最大，即 相量图 (3)电流最大，即 (4)若XL= XC>>R，则UL= UC>>UR=U，即电感和电容的电压有效值将大大超过电源电压（ UL和UC的数值可能很大，称为过电压），故串联谐振也称为电压谐振 。 品质因数 阻抗、电流的频率特性

3.9 串联谐振与并联谐振 3、串联谐振的应用 串联谐振在无线电工程中应用较多。典型的，如收音机电路，通过调频电容的调节，使收音机输入电路的谐振频率与欲接收电台信号的载波频率相等，使之发生串联谐振，从而实现“选台”。而且品质因数Q越大，选频特性越好。 收音机接收电路 等效电路 注意：在电力系统中应避免发生串联谐振，因为电容和电感的过电压会造成电容器和变压器线圈的击穿损坏。

3.9 串联谐振与并联谐振 【例3.9】已知某晶体管收音机输入回路的电感L=310μH，电感绕线电阻为RL=3.35Ω。今欲收听载波频率为540KHz，电压有效值为1mV的信号。试求（1）此时调谐电容C的数值和品质因数Q；（2）谐振电流的有效值，电容两端电压的有效值。 【解】 （1） （2）

3.9 串联谐振与并联谐振 3.9并联谐振 1、并联谐振的产生及条件 若 谐振条件 RLC并联电路 若 此时电路呈电阻性，电压、电流同相位。称电路发生谐振，由于发生在并联电路，故称为并联谐振。 谐振频率

3.9 串联谐振与并联谐振 2、并联谐振的主要特征 (1)电压、电流同相，电路呈电阻性； (2)电路的阻抗最大，即 (3)电路的电流最小，即 相量图 (2)电路的阻抗最大，即 (3)电路的电流最小，即

3.9 串联谐振与并联谐振 (4)若R>> XL= XC，则IL= IC >>IR=IS，即电感和电容的电流有效值将大大超过信号源电流，故并联谐振也称为电流谐振 。 其品质因数为 其中

作 业 3-3（1）（2）（5） 3-4 3-6 3-7 3-8 3-9 3-11 3-13 3-15 3-20