山东教育出版社•数学•六年级（下） 利用三角形 全等测距离
画图展示： 请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！ A C B C A B A B C
在一次数学夏令营活动中，老师把同学们带到一条河边。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，老师要求同学们测出河宽。同学们经过讨论，想出了一个办法。它们先让一位同学站在河边的A点处，面向河的对岸，然后调整这位同学的旅行帽，使视线通过帽沿正好落在河对岸的B点处。接着，再让她保持姿态转过一个角度，这时她的视线通过帽沿落在了自己所在岸边的一点C上，另一位同学马上记下这点。最后，同学们用步测的方法量出A、C两点间的距离，这个距离就等于河宽AB. (1)你能解释其中的道理吗？ B C A
B A C 你能把这个问题转化为数学问题吗？ A B C D
解：在△ADB与△ADC中， AD=AD, ∠DAB=∠DAC=90°. ∴△DAB≌△DAC (ASA) . 1 2 解：在△ADB与△ADC中， ∠1=∠2， AD=AD, ∠DAB=∠DAC=90°. ∴△DAB≌△DAC (ASA) . ∴AB=AC (全等三角形对应边相等).
按这个方法，找出教室或操场上与你距离相等的两点，并通过测量加以验证。
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B间的距离。他们想出了这样一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长就是A，B间的距离。 你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。 解：在△ABC与△DEC AC＝DC（已知） ∠ACB＝∠DCE（对顶角相等） BC＝EC（已知） ∴ △ABC≌ △DEC (SAS) ∴ AB=DE （全等三角形对应角相等）
解:连结AC，∵AD∥CB，∴∠1＝∠2 在△ACD与△CAB中 AD=CB ∠1=∠2 △CAB≌△ ACD (SAS) AC=CA 如图，先作三角形ABC,再找一点D，使AD∥CB，并使AD=CB，连结CD，量CD的长即得AB的长 解:连结AC，∵AD∥CB，∴∠1＝∠2 在△ACD与△CAB中 ∠1=∠2 AD=CB AC=CA △CAB≌△ ACD (SAS) AB ＝ CD
解: 如图，找一点D，使AD⊥BD，延长AD至C，使CD=AD，连结BC，量BC的长即得AB的长。 在Rt△ADB与Rt△CDB中 BD=BD ∠ADB=∠CDB=90° AD=CD △ ADB≌△ CDB(SAS) AB = CB
再回首：帮小明与小颖再出个主意！ 可由ASA证明△EDC≌△ABC，从而得到DE＝AB. A F B C D E 要测量河岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，测得DE的长就是AB的长，为什么？ A F B C D E 可由ASA证明△EDC≌△ABC，从而得到DE＝AB.
可由ASA证明△DEC≌△ABC，从而得到DE＝AB. 又一个方法： 要测量河岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取一点C，使A、C、E三点在一条直线上，且使CE=CB.再定出AE的垂线ED，交BF与点D.测得DE的长就是AB的长，请判断这种方法可以么？ A B 可由ASA证明△DEC≌△ABC，从而得到DE＝AB. F D C E
思考题： 如图，要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径. 由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想出一种测量方案吗？
A B 根据所给图示，你能叙述出测量方法吗？ O C D
如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，通过证明△EDC≌△ABC，得出ED=AB，测出ED的长就得到AB的长。那么，判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS B A C B E D
2、山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离。在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD。可以证△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长。判定△ABO≌△CDO的理由是( ) A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS D D
小结： （1）应用三角形全等测量距离实质上要构造全等三角形。 （2）运用所学数学知识设计切实可行的方案，主要是不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离. 并按三角形全等的知识说明理由。 （3）数学来源于实践，又应用于实践。
作业： 1、 110页 习题11.12 1、2题 2、探究题： 还能帮小明和小颖再出个主意吗？请把你的主意写出来，讲给同伴听。