Chapter 13 等候理論

基本等候系統 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

銀行或遊樂場的等候系統 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

等候系統 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

等候系統及其假設 到達分配：M表示到達人數是卜松分配（Poisson）、Ek表示爾朗分配（Erlang）、D表示確定分配（deterministic）、GI表示其他一般分配（General）。 服務分配：M表示服務時間是指數分配（Exponential）、Ek表示爾朗分配、D表示確定分配、G表示其他一般分配。 服務站形態：1表示單線式，2以上或用N表示多線平行式，即多個服務站。 系統中人數：系統中人數包括等候線長度加上服務站個數，N表示有限，∞表示無限。 投入人口：N表示有限，∞表示無限。 服務規矩：FCFS，LCFS，RSS及PR。 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

等候理論的自變數 (決策變數、參數、機率變數) 到達分配的平均到達率λ 服務分配的平均服務率μ 服務站個數 等候線長度 投入人口數 服務規矩 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

等候系統因變數 (目標變數，準則變數) 系統中有n個人的機率 Pn 在系統中的平均人數 L 顧客在系統中的平均時間 W 在等候線的平均人數 Lq 顧客在等候線的平均時間Wq 服務站使用率（utilization factor）U 阻進率（Balking rate），B 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

等候系統的成本函數 總成本 服務成本 等候成本 服務水準 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

平衡方程式 λ λ P0 P1 P2 μ μ 流出率 = （λ+μ）P1 流入率 = λP0 + μP2 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

平衡方程式 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/1）：（∞/∞/FCFS）1/3 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/1）：（∞/∞/FCFS）3/3 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/1）：（∞/∞/FCFS）例題 一超市只有一個櫃台結帳員 平均每小時顧客到達結帳櫃台 24 人  = 24 (卜松分配) 平均每小時完成 24 個顧客達結帳  = 30 (卜松分配) 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/1）：（∞/∞/FCFS）例題-解 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/1）：（∞/∞/FCFS）例題-解 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

分析 結帳員的忙碌率是 80%。 一個顧客平均結帳 2 分鐘，但是平均等待 8 分鐘，似乎久了一點。 有什麼方法可以改善？ 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

改進方案 經理想到三個方案，希望降低顧客等待時間： 方案 1: 增加一個人手幫助包裝，增加顧客服務率 方案 2: 增加另外一個櫃台及服務員，兩條等候線 方案 3: 增加另外一個櫃台及服務員，一條等候線 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

方案 1 增加一個幫手：服務率 = 30 增加到 = 40(每小時 40 個顧客)。 這個幫手增加成本每週 $150 美元。 顧客等待成本每週省一分鐘降低 $75 美元的損失。 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

方案 1 的結果 (M/M/1) Po = .40 L = 1.5 and Lq = 0.90 W = 0.063 hour (3.78 minutes) and Wq = 0.038 hour (2.28 minutes) U = .60 顧客等待成本 Wq 從 8 分鐘 降低到 2.28 分鐘。 所以每週節省$75(8 - 2.28) - $150 = $279 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

方案 2 新增加一個櫃台結帳員，櫃台設備成本 $6,000 美元，結帳員薪資每週 $200美元。 因為超級市場櫃台結帳是各自排隊，兩條等候線，所以到達率每個結帳櫃台每小時 = 24/2 = 12 人。 服務率每個結帳櫃台每小時 = 30 人。 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

方案 2 的結果 (M/M/1) Po = .60 L = 0.67 and Lq = 0.27 W = 0.055 hour (3.3 minutes) and Wq = 0.022 hour (1.32 minutes) U = .40 顧客等待成本 Wq 從 8 分鐘 降低到 1.32 分鐘。所以每週節省 $75(8-1.32)-200 = $301 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

方案 3 新增加一個櫃台結帳員，櫃台設備成本$8,000 美元，結帳員薪資每週$200美元。 因為超級市場櫃台結帳是一條等候線，所以到達率每個結帳櫃台每小時 = 24 人。 服務率每個結帳櫃台每小時 = 30 人。 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

方案 3 的結果 (M/M/2) Po = 0.42857 L = 0.95238 and Lq = 0.15238 W = 0.039683 hour (2.38 minutes) and Wq = 0.0635 hour (0.38 minutes) U = .40 顧客等待成本 Wq 從 8 分鐘 降低到 0.38 分鐘。 所以每週節省$75(8 - 0.38) - $200 = $371.5 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

損益兩平分析 方案 2 設備成本需要 $6000 / $301 = 19.93 週可以回收 (相對於現有系統每週省 $301) $6,000 回收後，方案 2 比方案 1 每週節省$301 - $279 = $22 方案 3 設備成本需要 $8000 / $371.5 = 21.53 週可以回收 (相對於現有系統每週省 $371.5) $6,000 回收後，方案 3 比方案 2 每週節省$371.5 - $301 = $70.5 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

總結 Summary 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/1）：（N/∞/FCFS）1/2 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/1）：（N/∞/FCFS）2/2 B = PN 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

例題 一個市區小加油站只有一個加油台，容許一輛，車子加油，另外三輛車子等候。 顧客到達平均間隔時間是 3 分鐘的指數分配。 顧客服務平均時間是 2 分鐘的指數分配。 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

(M/M/1):(4/∞/FCFS)1/2 = 20,  = 30, M = 4 Operating Characteristics:

(M/M/1):(4/∞/FCFS)2/2 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/s）：（∞/∞/FCFS）1/2 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/s）：（∞/∞/FCFS）2/2 穩定狀態的條件 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

範例-診所醫院 診所有 3 位醫生，平均每小時看 4 個病人。沒有預約先到先服務。 病人到達率每小時10 人。 到達及服務機率分配都是卜松/指數分配。 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

Multiple-Server Queue  = 10,  = 4, c = 3 (s = 3)

Other Characteristics

（M/M/1）：（∞/M/FCFS） 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

例題 飛哥Wheelco製造公司有20台生產機器，每一台平均工作200小時就會故障。(平均間隔故障時間Mean Time Between Failure, MTB) 有一個維修機器人員，平均修理故障機器的時間是3.6小時。 故障率是卜松分配，修理時間是指數分配。 請問這個維修人員是否有效率？ 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

Finite Calling Population =1/200 hour =.005 per hour, =1/3.6 hour = .2778 per hour, and N = 20 machines 維修系統 似乎 不合適 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/1）：（M/M/FCFS） 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/s）：（∞/M/FCFS）1/2 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/M/s）：（∞/M/FCFS）2/2 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

（M/G/1）：（∞/∞/FCFS） （M/D/1）：（∞/∞/FCFS） （M/Ek/1）：（∞/∞/FCFS） 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

M/G/1 Results 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

例題 一台傳真機平均每小時到達20個使用者，是卜松分配。(Poisson distributed) 每個使用者的使時間機率分配沒有定義，但是平均是2分鐘，標準差是4分鐘。 先到先服務 A first-come, first-served queue discipline (FIFO) 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

Operating Characteristics1/2

Operating Characteristics2/2

固定常數服務時間 Constant Service Times 服務時間的機率分配是常數而不是指數分配。 通常是自動化設備的服務。 (M/D/1) 是 (M/G/1) 的一個特例。 服務時間的變異數(或標準差) 為 0 。 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

M/D/1 Model In the constant service time model there is no variability in service times. Substituting  = 0 into equations: All remaining formulas are the same as the single-server formulas.

例題 自動洗車機洗一輛汽車是固定4.5分鐘 汽車到達率是每小時10輛車(卜松分配Poisson distributed). 請計算平均等候線長度及平均等候時間。 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

Operating Characteristics  = 10 cars per hour,  = 60/4.5 = 13.3 cars per hour 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

電腦應用範例 管理科學：作業研究與電腦應用 【Ch.13 等候理論】

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