2.4.1 线性离散系统状态方程的解 线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法两种主要方法: 线性离散系统状态方程的解(1/2) 2.4.1 线性离散系统状态方程的解 线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法两种主要方法: Z变换法只能适用于线性定常离散系统, 递推法可推广到时变系统和非线性系统。 下面将分别讨论 线性定常离散系统 线性时变离散系统 的状态空间模型求解。

1. 递推法 递推法亦称迭代法。 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 递推法(1/10) 1. 递推法 递推法亦称迭代法。 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,…,从而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1) ……

若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),…重复以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推求解公式: 递推法(2/10) 若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),…重复以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推求解公式: 上述递推计算公式中的第2项为离散卷积,因此有如下另一形式的线性离散系统状态方程的解表达式

若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为: 递推法(3/10) 若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为: 或

(k+1)=G(k) (0)=I (k)=Gk 递推法(4/10) 与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程求解,亦可引入状态转移矩阵。 该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解: (k+1)=G(k) (0)=I 用递推法求解上述定义式,可得 (k)=Gk 因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:

初始时刻后输入的影响,为脉冲响应函数与输入的卷积 递推法(5/10) 比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式: 连续系统 初始状态的影响 初始时刻后输入的影响,为脉冲响应函数与输入的卷积 离散系统

对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明: 1. 与连续系统类似,离散系统状态响应也由两部分组成, 一部分为由初始状态引起的响应,与初始时刻后的输入无关,称为系统状态的零输入响应; 另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应,与初始时刻的状态值无关,称为系统状态的零状态响应。 2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由零输入响应和零状态响应叠加组成, 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。 3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采样值u(k)无关。 这即为计算机控制系统固有的一步时滞。

2. Z变换法 已知线性定常离散系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 对上式两边求Z变换,可得 zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z) 于是 (zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z) 用(zI-G)-1左乘上式的两边,有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z) 对上式进行Z反变换,有 x(k)=Z-1[(zI-G)-1zx(0)]+Z-1[(zI-G)-1HU(z)]

在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质: 其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得 离散卷积

因此,离散系统的状态方程的解为: 该表达式与前面递推法求解结果一致。 例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为 Z变换法(3/7)—例3-14 因此,离散系统的状态方程的解为: 该表达式与前面递推法求解结果一致。 例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为 试求系统状态在输入u(k)=1时的响应。

解 1. 用递推法求解。分别令k=1,2,3,…,则由状态方程有 Z变换法(4/7)—例3-14 解 1. 用递推法求解。分别令k=1,2,3,…,则由状态方程有 类似地,可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。 2. 用Z变换法求解。先计算(zI-G)-1

Z变换法(5/7)—例3-14 因此,有

X(z)=(zI-G)-1[zx(0)+HU(z)] u(k)=1 U(z)=z/(z-1) 因此,有 X(z)=(zI-G)-1[zx(0)+HU(z)]

Z变换法(7/7)—例3-14 令k=0,1,2,3代入上式,可得

3. 输出方程的解 将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k) 中,可得输出y(k)的解为 输出方程的解(1/2) 3. 输出方程的解 将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k) 中,可得输出y(k)的解为

输出方程的解(2/2) 或

2.4.2 线性时变离散系统状态方程的解 设线性时变离散系统的状态空间模型为 式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。 线性时变离散系统状态方程的解(1/6) 2.4.2 线性时变离散系统状态方程的解 设线性时变离散系统的状态空间模型为 式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。 假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为 式中, (k ,k0)称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。

线性时变离散系统的状态转移矩阵(k ,k0)满足如下矩阵差分方程及初始条件： 线性时变离散系统状态方程的解(2/6) 线性时变离散系统的状态转移矩阵(k ,k0)满足如下矩阵差分方程及初始条件： 其解为

与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公式可用迭代法证明。 线性时变离散系统状态方程的解(3/6) 与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公式可用迭代法证明。 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有

线性时变离散系统状态方程的解(4/6) 因此有

由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程的解也包括两项。其中, 线性时变离散系统状态方程的解(5/6) 由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程的解也包括两项。其中, 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向量为零时系统的自由运动。 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为强迫运动或受控运动。 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。

将状态响应代入输出方程,得到系统的输出为, 可见,系统的输出响应也是由 零输入响应、 零状态响应和 直接传输部分 3项组成的。 线性时变离散系统状态方程的解(6/6) 将状态响应代入输出方程,得到系统的输出为, 可见,系统的输出响应也是由 零输入响应、 零状态响应和 直接传输部分 3项组成的。