第四章  债券定价

第一节  货币时间价值

一、货币时间价值含义 指按照一定的利率水平，货币经历一定时间的投资与再投资所增加的价值。 为什么货币有时间价值？存在不同的理论来解释。 衡量货币时间价值大小的指标是利率，即单位时间单位货币所得利息的多少，或单位时间单位货币的增加值的大小。

二、终值及其计算 （一）单利终值计算 （二）复利终值计算 每年付息一次以上的情况：

每年付息无数次，即连续复利： 或 连续复利相当于以每年（er-1）的利率进行按年复利计算。

三、现值及其计算 （一）单利现值计算 （二）复利现值计算 其中，折现因子：

一年中计息m次，则周期复利现值公式： 当m趋向无穷大时，连续复利公式：

四、年金的终值与现值 （一）年金的概念和种类 指定期收付的等额系列款项。 年金按照收支的时点划分，有普通年金、预付年金、递延年金、永续年金等。

（二）年金终值计算 1、普通年金单利终值 2、普通年金复利终值 终值

3、预付年金单利终值 4、预付年金复利终值 终值

（三）年金现值计算 1、普通年金单利现值 2、普通年金复利现值 现值

3、预付年金单利现值 4、预付年金复利现值 现值

第二节  普通债券定价

一、收入资本化模型 任何金融产品的价格，在基本原理上，都可以认为是由其未来所能提供的预期收入以适当的折现率折现求得。这种方法就称为收入资本化模型。 对于债券定价而言，两个最重要的数据分别是各期现金流和折现率。

（一）现金流的确定 对于一张不附带任何选择权利的债券（可称为无选择权债券），其现金流量由两部分构成，一是各期的利息收入，二是到期日的面值收入。 （二）折现率的确定 在为债券定价时，一般用同类可比债券的收益率作为折现率。

二、债券定价一般公式 债券的价格就等于债券未来所有现金流量的现值之和： 如果考虑随着折现时间不一样，利率也不一样：

三、不同类型债券的定价 （一）一次付息债券定价 1、贴现债券定价 2、零息债券定价 仍然是上面公式，但n用年作单位时，应为大于1的数。

3、一次还本付息债券定价

（二）分次付息债券定价 1、一般定价公式 2、一年付息多次债券的定价

3、年折现率可变的债券定价

4、交割日处于付息日之间的债券定价

（三）特殊形式债券定价 1、等额摊还债券的定价 2、永久债券的定价

第三节 债券定价影响因素和定价原理

一、债券价格的影响因素 （一）影响债券价格的基本因素 1、债券剩余时间及债券付息方式 在其他条件相同的情况下，债券剩余期限越短，债券价格就越高。 不同的债券付息方式，会影响利息现金流的到来时间。如一次还本付息债券和附息债券的现金流不一样。

2、债券票面利率 支付利息越高的债券，价格就越高。 3、债券定价的折现率 年折现率越低，债券价格越高。 无论是债券剩余时间及债券付息方式，还是债券票面利率，都是在债券发行前已经决定的。但债券定价的折现率却是由市场来决定的。

（二）影响债券价格的一般因素 1、影响债券价格的外部因素 （1）市场利率。 在市场总体利率水平上升时，债券的收益率水平也要相应上升，亦使得债券定价时折现的必要收益率上升，从而使债券的价格、即其内在价值降低；反之，在市场总体利率水平下降时，债券的收益率水平也应下降，使折现的必要收益率跟随下降，这样债券的内在价值就增加。

（2）债券供求关系。 社会资金宽松，对债券的需求旺盛，债券价格呈上升趋势；反之，社会资金紧张，对债券的需求疲软，债券价格呈下跌趋势。

（3）社会经济发展状况。 在经济处于景气阶段，企业会扩大投资，需要募集更多的资金，从而扩大债券的供给，减少对债券的需求，结果会促使债券价格下降；反之，在经济处于衰退阶段，企业就要压缩投资，并寻求资金的出路，从而缩小债券的供给，增加对债券的需求，结果会促使债券价格上升。

（4）财政货币政策。 当财政资金紧张时，政府要扩大其债券发行规模，增加了债券供给，从而促使债券价格下跌；反之，当财政资金宽裕时，政府要缩小其债券发行规模，减少了债券供给，从而促使债券价格上升。 如果实施紧缩性货币政策，货币供给缩小，市场上流动性减少，从而减少对债券的需求，促使债券价格下降；反之，如果实施扩张性货币政策，货币供给扩大，市场上流动性增加，从而增加对债券的需求，促使债券价格上升。

（5）汇率和国际间利差的变化。 对于开放型的一国金融市场来说，当本国货币升值时，国外资金会流入本国市场，从而增加对本币债券的需求，促使债券价格上升；反之，当本国货币贬值时，国内资金会流出本国市场，从而减少对本币债券的需求，促使债券价格下降。 另外，如果不同国家的市场利率有差异，则资金会流向高利率的国家和地区，这样也会导致国内债券市场供求发生变化。

2、影响债券价格的内部因素 （1）税收待遇。 （2）流动性。 （3）信用等级。 （4）提前赎回条款。

二、债券定价定理 定理一：如果一种债券的票面利率和折现率一样，则债券的价格将等于票面金额。 定理二：如果市场的折现率下降，债券的价格就会上涨；如果市场的折现率上升，债券的价格就会下跌。

定理三：如果债券市场折现率在整个期限内没有发生变化，则债券的价格折扣或价格升水会随到期日的接近而减少，或者说其价格日益接近票面金额。 定理四：如果债券市场折现率在整个期限内没有发生变化，则附息债券的价格折扣或价格升水会随到期日的接近而以一个不断增加的比率减少。（不过对于只有一笔现金流的债券，债券的价格折扣或价格升水会随到期日的接近而以一个恒定的比率减少。）

定理三和定理四反映了债券价格的时间轨迹，设A债券为贴水债券（20年期、票面利率9%、半年付息一次、到期收益率12%），B债券为升水债券（20年期、票面利率9%、半年付息一次、到期收益率7%），则它们各自价格的时间轨迹如下表：

剩余期限（年） A贴水债券 B升水债券 利息现值 面值现值 债券价格 20 677.08 97.22 774.30 960.98 252.57 1213.55 18 657.94 122.74 780.68 913.07 289.83 1202.90 16 633.78 154.96 788.74 855.10 332.59 1190.69 14 603.28 195.63 798.91 795.02 381.66 1176.67 12 564.77 256.98 811.75 722.63 437.96 1160.59 10 516.15 311.80 827.95 639.56 502.57 1142.13 8 454.77 393.65 848.42 544.24 576.71 1120.95 6 377.27 496.97 874.24 434.85 661.78 1096.63 4 279.44 627.41 906.85 309.33 759.41 1068.74 2 155.92 792.09 948.02 165.29 871.44 1036.73 0.00 1000.00

定理五：对于到期期限既定的债券，市场折现率下降引起的债券价格上涨的金额，在数量上会超过市场折现率以相同幅度上升所引起的债券价格下跌的金额。

p p1 p2 0 y1 y2 y

定理六：如果一种附息债券的票面利率较高，则因市场折现率变动而引起的债券价格变动百分比会较小。 （不过对于只有一笔现金流的债券，不管其利息高低，因市场折现率变动而引起的债券价格变动百分比是一样的。 ）

第四节  含权债券定价

一、含权债券概述 （一）含权债券的含义与种类 含权债券也称嵌入期权债券，是指在债券契约中含有期权条款的债券。 含权债券有不同的品种，一种是发行人可赎回债券，另一种是投资人可回售债券。 另外，可转换债券实际上也是含权债券。 前两种与市场利率变化有关，后一种属于股票连接类 。

（二）含权债券定价原理 含权债券可以看成是普通债券与期权的结合。 一个发行人可赎回债券的价格包含两种价值：一是假设该债券为不含期权债券的价值，二是可赎回期权价值。Pc=P-c 投资人可回售债券的价格也包含了两种价值：一是假设该债券为不含期权债券的价值，二是可回售期权价值。 Pp=P+p

二、利率二叉树构建 （一）利率二叉树含义 利率二叉树是基于利率波动的某些假设条件下，利率变化的一种图形描述和数值计算。 这一模型的假设包括：第一，下一期的利率波动只有上升或下降两种情况。第二，利率上升或下降的概率在每次变动时是一样的。第三，利率的运动服从对数正态过程。第四，各期利率的波动率保持不变。

根据该模型的假设，每次上升后的利率与下降后的利率的比值为e2σ，即有公式: r0 N0 rdd Ndd ruu Nuu rud Nud rd Nd ru Nu 利率二叉树 根据该模型的假设，每次上升后的利率与下降后的利率的比值为e2σ，即有公式:

如果各节点的利率得知，我们就可以计算各节点的债券价格。假定节点Nuu的债券现金流是利率上升的债券价值加利息，节点Nud的债券现金流是利率下降的债券价值加利息，则节点Nu的债券价值就是它们的现金流现值的平均数，即公式：

（二）各期利率的确定 通过例题来分析: 设有两个债券，债券A期限1年，票面利率3.60%，当前价格100元。债券B期限2年，票面利率4.20%，一年付息一次，当前价格100.19元(折现率4.10%)。 设市场利率的波动率是10%。

我们可以通过B债券来构造二期的利率二叉树，即要求得下图中问号处的值。在图中，最初N0的V0值是B债券当前价格，Nu和Nd的C值是第一年利息，Nuu、Nud和Ndd的C值是第二年利息，Vuu、Vud和Vdd值是债券本金。

V0=100.19 C0=0 r0=3.60% Vdd=100 C=4.2 Vuu=100 Vud=100 Vd=? rd=? Vu=? ru=? N0 Ndd Nud Nuu Nd Nu

实际计算时，一般采用试错法来确定rd的值。即先假定一个rd值，再由上面公式求得ru，然后将各期现金流按上面公式向前一期折现，最后得到V0的值是否是实际价格。如果大于实际价格，说明rd的值取得太小，故应适当增加再重新计算债券价格；如果小于，则反之。如此反复，直至最后得到N0的债券价格（即V0）等于实际价格为止。

在本例中，经过反复计算，我们发现当rd为4.16%，最后得到N0的债券价格为100.19元。

三、可赎回债券和可回售债券的定价 （一）可赎回债券定价 当某个节点属于赎回期时，若其债券价格高于赎回价格，则要进行调整，先改为赎回价格，然后再进行前一节点债券价格的计算。 设某债券与B债券条件相同，但为可赎回债券，发行人有权在发行后的第一年以100元的价格赎回债券，则Vd应改为100元，于是：

显然，由于存在有利于债券发行人的可赎回期权，可赎回债券的市场价格比同样条件的普通债券要低。其中的差额0. 02（=100. 19-100 显然，由于存在有利于债券发行人的可赎回期权，可赎回债券的市场价格比同样条件的普通债券要低。其中的差额0.02（=100.19-100.17）元，就是嵌入可赎回债券的看涨期权的价格。

（二）可回售债券定价 当某个节点属于回售期时，若其债券价格低于回售价格，则要进行调整，先改为回售价格，然后再进行前一节点债券价格的计算。 设某债券与B债券条件相同，但为可回售债券，持有人有权在发行后的第一年以100元的价格向发行人回售，则Vu应改为100元，于是：

显然，由于存在有利于债券持有人的可回售期权，可回售债券的市场价格比同样条件的普通债券要高。其中的差额0. 41（=100. 60-100 显然，由于存在有利于债券持有人的可回售期权，可回售债券的市场价格比同样条件的普通债券要高。其中的差额0.41（=100.60-100.19）元，就是嵌入可回售债券的看跌期权的价格。

四、可转换债券价格 （一）可转换债券的转换价值与理论价格 转换价值=股票的市场价格×转换比例 理论上，证券的价值是其未来现金流的现值。因此:

（二）可转换债券的定价 一般分析时，可以将可转换债券看成普通债券加上购买基准股票的买入看涨期权。因此，可转换债券定价也就应该包括债券价值与期权价值两部分的定价。

对于第一部分的定价，是不考虑转股权，直接衡量其作为普通债券的价值，计算方法与附息债券相同。对于第二部分的定价，一般有两个途径：一是根据市场预测法来计算转股权价值，二是通过期权定价法来计算转股权价值。 市场预测法是通过对基准股票价值的预测来确定可转换债券转股权价值。由于准确预测相当困难，因此计算转股权价值也存在困难。而股票期权的计算方法有BS模型等。

可转换债券的价值显示： Vc Vb Vbc 股票价格 债券价格 B O A

如果考虑可转换债券还存在赎回条款和回售条款，可转换债券相当于这样一种投资组合:投资者持有一张与可转债相同利率的普通债券，买入一张数量为转换比例、期权行使价为初始转股价格的美式买权，买入一张回售价格的美式卖权，同时向发行人出售一张赎回价格的美式买权。

综上所述，可转换公司债券的价值可以用以下公式近似表示: 可转换公司债券价值≈纯粹债券价值+投资人美式买权价值+投资人美式卖权价值-发行人美式买权价值