数字电子技术 Digital Electronics Technology 第2章 逻辑代数基础 海南大学《数字电子技术》课程组 教学网址：http://hainu.edu.cn/szjpkc 讨论空间：http://975885101.qzone.qq.com/ E-mail: 975885101@qq.com 2018/12/3

2.1 概述 1. 逻辑与逻辑运算 2. 逻辑代数与逻辑变量 逻辑：事物间的因果关系。 2.1 概述 1. 逻辑与逻辑运算 逻辑：事物间的因果关系。 逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行推理的过程。 2. 逻辑代数与逻辑变量 逻辑代数：是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治·布尔(George Boole)于1847年提出的，所以又称为布尔代数。 逻辑变量：逻辑代数中的变量。逻辑变量的取值范围仅为“0”和“1”，且无大小、正负之分。 2018/12/3

2.2 三种基本的逻辑运算 1. 与逻辑（AND） 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑。 2.2 三种基本的逻辑运算 1. 与逻辑（AND） 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑。 设定逻辑变量并状态赋值： 逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态。1－闭合，0－断开； 逻辑函数：Y，对应灯的状态，1－灯亮，0－灯灭。 描述逻辑关系的图表称为真值表 开关A 开关B 灯Y 断开 灭 闭合 亮 串联开关电路功能表 与逻辑表达式 Y=A·B （逻辑乘） A B Y 1 与逻辑的真值表 A B Y 2018/12/3

2.2 三种基本的逻辑运算 2. 或逻辑（OR） 当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。 A 2.2 三种基本的逻辑运算 2. 或逻辑（OR） 当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。 A B Y 1 或逻辑的真值表 或逻辑符号 开关A 开关B 灯Y 断开 灭 闭合 亮 并联开关电路功能表 A Y 或逻辑表达式 Y=A+B （逻辑加） B 2018/12/3

2.2 三种基本的逻辑运算 3. 非逻辑（NOT） 当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。 非逻辑的真值表 A Y 1 非逻辑符号 电路功能表 开关A 灯Y 断开 亮 闭合 灭 非逻辑表达式 Y=A=A’ （逻辑加） A Y 2018/12/3

2.2 三种基本的逻辑运算 4. 复合逻辑 与非 或非 真值表 真值表 X Y F 1 X Y F 1 X X F F Y Y X & F 2.2 三种基本的逻辑运算 4. 复合逻辑 与非 或非 真值表 真值表 X Y F 1 X Y F 1 X Y F X Y F & X Y F X Y F ≥1 2018/12/3

2.2 三种基本的逻辑运算 异或 同或 F=X⊙Y=X’·Y’+X·Y 真值表 真值表 X Y F 1 X Y F 1 = =1 与或非 A 2.2 三种基本的逻辑运算 异或 同或 F=X⊙Y=X’·Y’+X·Y 真值表 真值表 X Y F 1 X Y F 1 B A F B A F B A F = B A F =1 与或非 2018/12/3

2.3 逻辑代数基本与常用公式 1. 基本公式（P24） 序号 公 式 规 律 1 A 0=0 10 A+0=A 01律 2 2.3 逻辑代数基本与常用公式 1. 基本公式（P24） 序号 公 式 规 律 1 A 0=0 10 A+0=A 01律 2 A  1=A 11 A+1=1 3 1’=0; 0’=1（公理） 12 (A’)’=A 还原律 4 A  A= A 13 A+A=A 重叠律 5 A A’=0 14 A+A’=1 互补律 6 A B=B A 15 A+B=B+A 交换律 7 A （B C） = （A B） C 16 A+（B+C）=（A+B）+C 结合律 8 A （B+C）=A  B + A  C 17 A+（BC） =（A+B) (A+C) 分配律 9 (A B)’=A’+B’ 18 (A+B)’=A’B’ 反演律 德摩根（De. Morgan）定理 2018/12/3

2.3 逻辑代数基本与常用公式 2. 常用公式（P25） 序号 公 式 规 律 19 A+A B=A 吸收律 20 2.3 逻辑代数基本与常用公式 2. 常用公式（P25） 序号 公 式 规 律 19 A+A B=A 吸收律 20 A+A’  B=A+B 21 A B+A  B’=A 22 A（A+B）= A 23 A B+A’  C+B  C=A B+A’C A B+A’  C+B  C  D=A B+A’C 24 A（AB）’=AB’；A’（AB）’=A’ 2018/12/3

2.4 逻辑代数的基本定理 1. 代入定理 2. 反演定理 例：已知 Y=AB’+(C+D’)E’，求Y’。 2.4 逻辑代数的基本定理 1. 代入定理 在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。 2. 反演定理 在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“ 0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：Y’ 。 例：已知 Y=AB’+(C+D’)E’，求Y’。 解： Y’=(AB’+(C+D’)E’)’= (A’+B)(C’D+E) 2018/12/3

2.4 逻辑代数的基本定理 3. 对偶定理 例： x+x·y=x x·(x+y)=x x·y+x·z+y·z=x·y+x ·z 2.4 逻辑代数的基本定理 3. 对偶定理 若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。 对偶式：在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：YD。 例： x+x·y=x x·(x+y)=x x·y+x·z+y·z=x·y+x ·z (x+y) ·(x+z) ·(y+z)= (x+y) ·(x+z) 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 1. 逻辑函数 2. 逻辑函数的表示方法 输出和输入（逻辑）变量之间的函数关系。 Y=F（A，B，C，…） 2.5 逻辑函数及其表示方法 1. 逻辑函数 输出和输入（逻辑）变量之间的函数关系。 Y=F（A，B，C，…） 2. 逻辑函数的表示方法 逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图和卡诺图。 （1）逻辑真值表：是由输出变量取值与对应的输入变量取值所构成的表格。列写方法是： a) 找出输入、输出变量，并用相应的字母表示； b) 列出所有输入变量可能的取值，计算对应的输出值，并以表格形式列写出来。 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 例：三人表决电路，当输入变量A、B、C中有两个或两个以上取值为1时，输出为1；否则，输出为0。 2.5 逻辑函数及其表示方法 例：三人表决电路，当输入变量A、B、C中有两个或两个以上取值为1时，输出为1；否则，输出为0。 三人表决电路的真值表 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 例：三人表决电路逻辑图 （2）逻辑函数式 2.5 逻辑函数及其表示方法 （2）逻辑函数式 是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称函数式或逻辑式。 例：三人表决电路逻辑图 例：三人表决电路： （3）逻辑图 是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 （4）波形图（P31） （5）各种表示方法之间的转换 由真值表求逻辑表达式 2.5 逻辑函数及其表示方法 （4）波形图（P31） （5）各种表示方法之间的转换 由真值表求逻辑表达式 1）把真值表中逻辑函数值为1的变量组合挑出来； 2）若输入变量为1，则写成原变量，若输入变量为0，则写成反变量； 3）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项； 4）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 由逻辑表达式列出真值表 2.5 逻辑函数及其表示方法 由逻辑表达式列出真值表 按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 由逻辑函数式求逻辑电路 1）画出所有的逻辑变量； 2）用“非门”对变量中有“非”的变量取“非”； 2.5 逻辑函数及其表示方法 由逻辑函数式求逻辑电路 1）画出所有的逻辑变量； 2）用“非门”对变量中有“非”的变量取“非”； 3）用“与门”对有关变量的乘积项，实现逻辑乘； 4）用“或门”对有关的乘积项，实现逻辑加； 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 A A B A B Y=A B+AB B AB 由逻辑图求逻辑表达式 & ≥1 1 2.5 逻辑函数及其表示方法 由逻辑图求逻辑表达式 由输入到输出逐级推导，按照每个门的符号写出每个门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。 A 1 & A B ≥1 A B B Y=A B+AB AB 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 3. 逻辑函数的两种标准形式 （1）最小项和的形式——积之和（“与—或”表达式） 2.5 逻辑函数及其表示方法 3. 逻辑函数的两种标准形式 （1）最小项和的形式——积之和（“与—或”表达式） 最小项：设 m 为包含 n 个因子的乘积项，且这 n 个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称 m 为 n 变量的一个最小项。n变量共有2n个最小项。 最小项的编号规则：把最小项 m 值为1 的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号，记作mi 。 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 三变量的最小项编号表 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 最小项的性质： a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1； b) 任意两个最小项之积为0； 2.5 逻辑函数及其表示方法 最小项的性质： a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1； b) 任意两个最小项之积为0； c) 全体最小项之和为1； d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。 将函数式化成最小项和的形式的方法为： 该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反变量，展开即可。 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 例：将函数式化成最小项和的形式。 解： 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 （2）最大项积的形式——和之积（“或—与”表达式） 2.5 逻辑函数及其表示方法 （2）最大项积的形式——和之积（“或—与”表达式） 最大项：设M为包含n个因子的和，且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在M中出现且只出现一次，称M为n变量的一个最大项。n变量共有2n个最大项。 最大项的编号规则：把最大项 M 值为0 的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最大项的编号，记作Mi 。 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 三变量的最大项编号表 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 最大项的性质： a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为0； b) 任意两个最大项之和为1； 2.5 逻辑函数及其表示方法 最大项的性质： a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为0； b) 任意两个最大项之和为1； c) 全体最大项之积为0； d) 具有逻辑相邻性的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去一个不同因子。 将函数式化成最大项积的形式的方法为： 首先化成最小项和的形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形式。 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 例：将函数式化成最大项积的形式。 解： 2018/12/3

2.5 逻辑函数及其表示方法 4. 逻辑函数形式的变换 例：（P38-39） 其他表达式 与非-与非式： C A B F = 或-与非式： 2.5 逻辑函数及其表示方法 4. 逻辑函数形式的变换 例：（P38-39） 其他表达式 与非-与非式： C A B F = 或-与非式： ) )( ( C A B F + = 或非-或式： D C B A F + = 或非-或非式： C A B F + = 与或非式： CD AB F + = 与非-与式： C A AB F  = 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 1. 最简与或表达式 2. 公式化简法 表达式中的乘积项最少； 乘积项中含的变量少。 2.6 逻辑函数的化简方法 1. 最简与或表达式 表达式中的乘积项最少； 乘积项中含的变量少。 2. 公式化简法  并项：利用AB+AB’=A将两项并为一项，且消去一个变量B。  吸收： 利用A+AB = A消去多余的项AB。  消项：利用AB+A’C+BC=AB+A’C、AB+A’C+BCD=AB +A’C消去多余项BC或BCD。  消元：利用A+A’B=A+B消去多余变量A。  配项：利用A+A=A或A+A’=1进行配项。 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 并项：利用AB+AB’=A将两项并为一项，消去变量B。 吸收： 利用A+AB = A消去多余的项AB。 2.6 逻辑函数的化简方法 并项：利用AB+AB’=A将两项并为一项，消去变量B。 吸收： 利用A+AB = A消去多余的项AB。 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 消项：利用AB+A’C+BC=AB+A’C、AB+A’C+BCD=AB+A’C消去多余项BC或BCD。 2.6 逻辑函数的化简方法 消项：利用AB+A’C+BC=AB+A’C、AB+A’C+BCD=AB+A’C消去多余项BC或BCD。 消元：利用A+A’B=A+B消去多余变量A。 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 配项：利用A+A=A或A+A’=1进行配项。 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 3. 卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图化表示法 2.6 逻辑函数的化简方法 3. 卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图化表示法 用各小方块表示n变量的全部最小项，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得图形称为n变量最小项的卡诺图。 二变量卡诺图 三变量卡诺图 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 四变量卡诺图 五变量卡诺图 逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换 函数式转换成卡诺图：首先将该函数式化成最小项和的形 2.6 逻辑函数的化简方法 四变量卡诺图 五变量卡诺图 逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换 函数式转换成卡诺图：首先将该函数式化成最小项和的形 式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置处填1，其余位置处填0。 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 卡诺图化简圈“1”的原则： 每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈1的的个数应为 2i 个； yz 2.6 逻辑函数的化简方法 卡诺图化简圈“1”的原则： 每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈1的的个数应为 2i 个； yz 1 x 00 01 11 10 0 1 1 yz wx 00 01 11 10 00 01 11 10 1 yz x 00 01 11 10 0 1 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 每个圈至少包括一个没有被圈过的1； 所有1至少被圈过一次。 yz x 00 01 11 10 yz 0 1 wx 2.6 逻辑函数的化简方法 每个圈至少包括一个没有被圈过的1； 所有1至少被圈过一次。 1 yz x 00 01 11 10 0 1 1 yz wx 00 01 11 10 00 01 11 10 1 yz wx 00 01 11 10 00 01 11 10 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 合并最小项规则： 在所圈的最小项中，变量取值全是0的，在表达式中以反变量的形式出现；变量取值全是1的，在表达式中以原变量的形式出现；变量取值既有0也有1的，在表达式中不出现。 所圈的2i个相邻的最小项，可以消去i个变量取值既有0也有1的变量。 1 yz x 00 01 11 10 0 1 例：化简下列逻辑函数。 (1) F=∑x,y,z(1,2,5,7) 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 1 yz x 00 01 11 10 0 1 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简 无关项：约束项和任意项统称为无关项。 2.6 逻辑函数的化简方法 具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简 无关项：约束项和任意项统称为无关项。 约束：指具体的逻辑问题对输入变量取值所加的限制。 约束项：不允许出现的输入变量取值所对应的最小项。 约束条件：可以用全部约束项之和等于0表示。 任意项：是指在某些输入变量取值下，函数值是0还是1都不影响电路的逻辑功能，这些输入变量取值所对应的最小项称为任意项。 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 例：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数： 2018/12/3

2.6 逻辑函数的化简方法 例：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数： yz wx 00 01 11 10 00 01 11 10 1 d 2.6 逻辑函数的化简方法 例：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数： yz d 1 00 01 11 10 wx 00 01 11 10 2018/12/3

作业 P58-65 2.1（1）、（3）、（5）； 2.2（1）、（3）； 2.3- 2.7的（1）； 2.8; 2.10-2.20的（1）、（3）； 2.22-2.25的（1）、（3）； 2018/12/3