第2章 短时傅立叶变换 2.1 连续信号的短时傅立叶变换 2.2 短时傅立叶反变换 2.3 离散信号的短时傅立叶变换 第2章 短时傅立叶变换 2.1 连续信号的短时傅立叶变换 2.2 短时傅立叶反变换 2.3 离散信号的短时傅立叶变换 2.4 Gabor变换的基本概念 2.5 临界抽样条件下连续信号Gabor 展开系数的计算 2.6 过抽样条件下连续信号Gabor

2.1 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶（STFT）定义 给定信号 其STFT定义为 ： （2.1.1） 式中 （2.1.2） ， 2.1 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶（STFT）定义 给定信号 其STFT定义为 ： （2.1.1） 式中 （2.1.2） ， 且窗函数 应取对称函数。

STFT的含义 : 在时域用窗函数 去截 ，对接下来的局部信号作傅立叶变换，即得在t时刻该信号的傅立叶变换，不断的移动t，也即不断的移动窗函数 的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。这些傅立叶变换的集合，即是 。 显然， 是变量 的二维函数。 由于 是窗函数，在时域应是有限支撑的，又由于 在频域是线谱，所以STFT的基函数 在时域和频域都应是有限支撑的。故（2.1.1）式内积的结果即可实现对 进行时－频定位的功能。

τ x(τ) FT Ω 图2.1.1 STFT示意图

对（2.1.2）式两边作傅立叶变换，有 式中 是和 等效的频率变量。 由于 所以 该式表明对 在时域加窗 ，引导出在频域对 加窗 。

基函数 的时间中心 （t是移位变量）， 时宽 的频率中心 ， 带宽 STFT的基函数 具有时－频平面上的一个如下的分辨“细 胞”：其中心在 处，其大小为 不管取何值（即移到 何处），该“细胞”的面积始终保持不变。该面积的大小即是 STFT的时－频分辨率。

t1 t2 Ω2 Ω1 图2.1.2 STFT的时－频分辨率

对信号作时－频分析时，一般，对快变的信号， 希望它有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉 冲等），即观察的时间宽度要小，受时宽－带宽积的 影响，这样，对该信号频域的分辨率必定要下降。由 于快变信号对应的是高频信号，因此对这一类信号， 希望有好的时间分辨率，但同时就要降低高频的分辨 率。反之，对慢变信号，由于它对应的是低频信号， 所以希望在低频处有好的频率分辨率，但不可避免的 要降低时域的分辨率。 希望所采取的时－频分析算法能自动适应这一要 求。显然，由于STFT的不随变化而变化，因而不具备 这一自动调节能力。

举例 例2.1.1 令 则其STFT为 该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 的宽度而决定。 例2.1.2 若 例2.1.1 令 则其STFT为 该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 的宽度而决定。 例2.1.2 若 这样，STFT的频率分辨率由 频谱的宽度来决定。

例 2.1.3 若 ， 则 则其STFT变换为 即STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间定位信息。 其实，由于 为无限宽的矩形窗，故等于没有对信号作 截短。

， 的情况下所求出的一高斯幅度调制的chirp信号的STFT， 其中心在 处，时宽约为15。 图2.1.3 窗函数无限宽时STFT缺少时域定位功能 可见此时的STFT无任何时域定位功能。

例 2.1.4 令 则 这时可实现时域的准确定位，即 的时间中心即是 的时间中心，但无法实现频域的定位功能。 图2.1.4 窗函数无限窄时STFT缺少频域定位功能 该图的时域信号类似例2.1.3，但时域中心移到t=30处，相应的，由于作为调制信号的chirp信号的频率较低，所以 的包络较例2.1.3要慢。

间中心分别在 ， ，时宽都是32，调制信号的归一 化频率都是0.25，选择 为Hanning窗。 例 2.1.5 设 由两个类似于2.1.3的信号迭加而成，时 间中心分别在 ， ，时宽都是32，调制信号的归一 化频率都是0.25，选择 为Hanning窗。 （a）窗函数宽度为55 （b）窗函数宽度为13 图2.1.5 窗函数宽度对时－频分辨率的影响

以上几例说明了窗函数宽度的选择对时间－频率分辨率的影响。总之，由于受不定原理的制约，我们对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。

谱图（spectrogram） 例2.1.6 令 为chirp 信号， 式中 称为 的谱图。该式为信号的“双线性”或“二 式中 称为 的谱图。该式为信号的“双线性”或“二 次”时－频分布。由于 所以 即谱图是信号能量的分布。 例2.1.6 令 为chirp 信号， 为一高斯窗，式中 都是常数。 的谱图是：

显然，当 时， 最大。所以 集中在 的斜线上。也即 的能量分布在这条斜线上。由于 ，而 ，所以 ，这就是 的瞬时频率。也即 的能量主要分布在其瞬时频率的“轨迹”上。

STFT和谱图有如下性质： 1.若 则 2.若 则

2.2 短时傅立叶反变换 STFT反变换的三种表示式 用STFT的一维反变换表示 对（2.1.1）式两边求反变换，有 令 则

用STFT的二维反变换来表示，即 (2.2.2) 证明：由（2.1.1）式 即 两边对 取傅立叶变换，设频域变量为 ，有 (2.2.3)

(2.2.2) 式的右边也可表示为： 证毕。

STFT反变换的三种表示式是统一的，尽管（2.2.1） 用 大对偶函数 来表示： （2.2.4） 式中 （2.2.5） 也即 和 是双正交的。 STFT反变换的三种表示式是统一的，尽管（2.2.1） 式是一重积分，但算法中假定 ，这就包含了时间的 变化过程，（2.2.2）式和（2.2.4）式由于（2.2.5）式 的关系而一致。

STFT满足Parseval’s定理，即 （2.2.6） 证明：由（2.2.3）式，相对的傅立叶变换是。应用 Parseva’s定理，有 上式右边等 证毕。

由上面的讨论可知，STFT将一个一维的函数 映射为二维的函数 ，用此二维的函数表示一 维的函数 必然存在着信息的冗余。我们自然可以 想象，仅用 平面上的一些离散的点即可表示 ， 也即实现对 的准确重建。 例如，令 ，则（2.1.1）式可变成 该式是在 平面的离散栅格上求出的STFT，但式 中 仍是连续的时间变量。

式中N是在时间轴上窗函数移动的步长， 是圆 周频率， ， 为由 得到 的抽样间隔。 2.3 离散信号的短时傅立叶变换 离散短时傅立叶变换 设给定的信号为 ，对应（2.1.1） 式，有 式中N是在时间轴上窗函数移动的步长， 是圆 周频率， ， 为由 得到 的抽样间隔。

上式对应傅立叶变换中的DTFT，即时间是离散的，频 率是连续的。为了在计算机上实现，应将频率 离散 化，令 则 （2.3.3）

此式将频域的一个周期 分成了M点，是一个标准的 M点DFT，若窗函数的宽度正好也是M点，那么上式可 写成 （2.3.4） 若的 宽度小于M，那么可将其补零，使之变成M， 若的 宽度大于M，则应增大M使之等于窗函数的宽 度。

式中N的大小决定了窗函数沿时间轴移动的间距， N越小，各式中m的取值越多，得到的时－频曲线 越密。若 ，即窗函数在 的时间方向上每隔 一个点移动一次，这样按（2.3.4）式，共应做个 M点DFT。当然，这时前和后个DFT所截的数据不完 全，得到的效果不够好。

短时傅立叶反变换 （2.3.4）式的反变换是 式中m的求和范围取决于数据的长度L及窗函数 移动的长N。

2.4 Gabor变换的基本概念 Gabor变换的定义 1946年，Gabor提出可以用二维的时－频平面上离散栅 格处的点来表示一个一维的信号，即 （2.4.1） 式中，a,b为常数，a代表栅格的 时间长度，b代表栅格的频率长度。 是一维信号 的展开系数， 是一母函数，展开的基函数 是由 作移位和调制生成的。 图2.4.1 Gabor展开的抽样栅格

图2.4.2 Gabor展开基函数的形成

对（2.4.1）式，我们自然会提出如下的问题： 如何选择a和b？ 抽样分类： ab=1时，称为临界抽样（Critical Sampling） ab>1时，称为欠抽样（Undersampling），栅格过 稀，缺乏足够的信息来恢复原信号 ab<1时，称为过抽样（Oversampling），会出现 信息的冗余

如何选择母函数h(t)？ 选定了h(t)及a和b，如何计算展开系数 ？ 是否任一能量有限信号（即 ）都可作（2.4.1）式的分解？ 时－频平面离散栅格上的任一个二维函数是否都唯一的 对应一个一维的信号 ？

近20年，有关Gabor展开的研究 Gabor系数 的快速计算，这包括连续Gabor展开，离散Gabor展开等； Gabor标架理论 在实际中应用的是 ，特别是 的情况。存在着 信息的冗余，这时展开的基函数 不可能是正交基，对 信号分解的讨论自然要用到标架理论。 Gabor展开的应用 从理论上讲，Gabor展开的讨论和时－频分布、滤波器 组及小波变换等新的信号处理理论密切相关。Gabor展开 在信号、图像的表示，语音分析，目标识别，信号的瞬态 检测等各方面都取得了很好的应用成果。

2.５ 临界抽样条件下连续信号Gabor展开系数的计算 辅助函数求解 的方法 令 （2.4.2） （2.4.3） 则 （2.4.4） 即Gabor系数是在离散栅格上求出的STFT。通常（2.4.3）式称 为Gabor变换，而（2.4.1）式称为Gabor展开。

将（2.4.3）式代入（2.4.1）式，有 （2.4.6） （2.4.5）式称为 的重构公式，（2.4.6）式给出了为 （2.4.5） 若要该式的右边等于 ，则必有 （2.4.6） （2.4.5）式称为 的重构公式，（2.4.6）式给出了为 保证由 恢复 ， 和 应遵循的条件。 满足该 条件的被称为是完备的。

母函数 和其对偶母函数 之间的关系: 该式称为 和 之间的双正交关系。 否则

求解系数的步骤： 1：选择一个母函数 ； 2：求其对偶函数 ，使之满足(2.4.6)式 及 (2.4.7)式； 1：选择一个母函数 ； 2：求其对偶函数 ，使之满足(2.4.6)式 及 (2.4.7)式； 3：按(2.4.5)式做内积，从而得到 。

举例 : 例2.5.3 对如下的高斯函数 其对偶函数 h(t)和g(t)的形状如图２.４.３所示。

图2.4.3 在时高斯窗的对偶函数

由图可知，在临界抽样条件下，尽管 是高斯的，但其对偶函数 却是非高斯的，而且完全不具备能量集中的性能。因此，用这样的函数来重构信号 　，重建结果将是不稳定的。 　　若STFT在离散栅格(na,mb)上取值，则

2.６ 过抽样条件下连续信号Gabor展开系数的计算 标架 若存在两个常数和A,B，满足 使 (2.4.12a) 成立,则称 构成一个标架。 上式即 (2.4.12b) 即系数 的能量是有界的，因此对 的展开是稳定 的。

在什么条件下(2.4.12)才可成立。 因为 是 的对偶函数， 是否构成一个标 架取决于 的选择及 a 和 b 的取值。令 是一 因为 是 的对偶函数， 是否构成一个标 架取决于 的选择及 a 和 b 的取值。令 是一 个算子，并定义 (2.4.13) 若 构成一个标架，则 为一标架算子 。定义 为 的Zak变换， 为 的Zak变换。

由于Zak变换具有内积保持性质，则 (2.4.14) 由Poisson求和公式 得： （2.4.15）

(2.4.18) 当 、 为有理数时，即令 ， 可以证明 (2.4.16) 由(2.4.14)及(2.4.16)式，有 (2.4.17) 当 、 为有理数时，即令 ， 可以证明 (2.4.16) 由(2.4.14)及(2.4.16)式，有 (2.4.17) 进一步 (2.4.18)

令 (2.4.19a) (2.4.19a) 在(2.4.18)式中，若左边＝0，必有 该方程组共有个方程，个未知数。 若 ，总有一个 非零的满足此方程。 也就总有一个非零的 满足

构不成一个标架，即找不到大于零的常数满足 (2.4.11)式。 现考虑 的情况，令 ， ，由(2.4.17)式，有 这就是说，在 时， 是不完备的，因此 构不成一个标架，即找不到大于零的常数满足 (2.4.11)式。 现考虑 的情况，令 ， ，由(2.4.17)式，有 (2.4.21) 显然，当且仅当 时， 是完备的。那么，若 构成一个标架，由(2.4.3) 式，需存在标架界 (2.4.22)

对一有限长的光滑窗函数，(2.4.22)式是容易 满足的。所以，当 时， 可以构成一个标 架，因此，(2.4.1)式对 的展开是稳定的。 一组不完备的函数(或向量)必不构成一个标架。 反之，一组完备的函数(或向量)也不一定构成一个标 架。也即，构造标架的一组函数(或向量)必定是完备 的。 时， 的对偶函数 不具备好的时－频 定位性能。因此，当利用Gabor变换时总是取 。

如何求出在 时， 的对偶函数 。 此外 或 (2.4.23) 对该式两边取Zak变换，再利用(2.4.16)式，有 (2.4.24) 如何求出在 时， 的对偶函数 。 一般 和 有类似性质,即 此外 或 (2.4.23) 对该式两边取Zak变换，再利用(2.4.16)式，有 (2.4.24)

也构成标架，就应选择使(2.4.25)式分母趋近的 。 式中 ， 。若令 ，则 (2.4.25) 由上式 越小( 越大)， 和 越相似。 此外，当 是一标架时，若想令其对偶函数 也构成标架，就应选择使(2.4.25)式分母趋近的 。

一旦求出 ，我们可由(2.4.3)式求出Gabor 系数 (仍然假定 )。 （2.4.26）

求Gabor展开系数如下步骤： 选定一个窗函数 ； 选定时－频平面上的步长a和b，要求 ，即取大于1的整数； 计算 的Zak变换 ； 选定一个窗函数 ； 选定时－频平面上的步长a和b，要求 ，即取大于1的整数； 计算 的Zak变换 ； 计算信号 的Zak变换 ； 计算(2.4.25)式的分母，即 ； 由(2.4.25)式，求 ； 由(2.4.26)式，计算 和 的内积，从而得到 。

图2.4.3 线性调频信号的Gabor变换 q=1

图2.4.4 线性调频信号的Gabor变换， q=4