优化模型 1 存贮模型 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 1 存贮模型 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。

2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。 模 型 假 设 1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。

模 型 建 立 贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0. 一周期贮存费为 t q 贮存量表示为时间的函数 q(t) T Q r t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0. A=QT/2 一周期贮存费为 一周期 总费用 每天总费用平均 值（目标函数）

模型求解 模型分析 模型应用 求 T 使 c1=5000, c2=1，r=100 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 回答问题

2 生猪的出售时机 问题 分析 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。 2 生猪的出售时机 问题 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。 市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 分析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大

建模及求解 估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元） t 天出售 生猪体重 w=80+rt 销售收入 R=pw 出售价格 p=8-gt 资金投入 C=4t 利润 Q=R-C=pw -C 求 t 使Q(t)最大 =10 Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元

3 森林救火 问题 问题分析 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 3 森林救火 问题 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小

问题分析 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形 t B 分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt. B(t2) t2 t1

模型假设 1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度） 2）t1tt2,  降为-x (为队员的平均灭火速度） 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比 假设1）的解释 r B 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.

模型建立 假设1） 假设2） b t1 t t2 假设3）4） 目标函数——总费用

模型建立 模型求解 结果解释 目标函数——总费用 其中 c1,c2,c3, t1,  ,为已知参数 求 x使 C(x)最小 b t1 t2 t 结果解释  / 是火势不继续蔓延的最少队员数

结果解释 模型应用 c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度. c1, t1,    x c3 ,   x  c2  x 为什么? 模型应用 c1,c2,c3已知, t1可估计,  ,可设置一系列数值 由模型决定队员数量x

4 最优价格 问题 假设 建模与求解 根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大 1）产量等于销量，记作 x 4 最优价格 根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大 问题 1）产量等于销量，记作 x 假设 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 进一步设 收入 建模与求解 支出 利润 求p使U(p)最大

建模与求解 使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足 边际收入 边际支出 最大利润在边际收入等于边际支出时达到

b ~ 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） 结果解释 q / 2 ~ 成本的一半 b ~ 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） b   p* a ~ 绝对需求( p很小时的需求) a  p*  思考：如何得到参数a, b?

5 冰山运输 背景 建模准备 1. 日租金和最大运量 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。 5 冰山运输 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。 背景 专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性。 建模准备 1. 日租金和最大运量 船 型 小 中 大 日租金（英镑） 最大运量（米3） 4.0 6.2 8.0 5105 106 107

建模准备 2. 燃料消耗（英镑/千米） 3. 融化速率（米/天） 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 冰山体积(米3) 船速(千米/小时) 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 3. 融化速率（米/天） 与南极距离 (千米) 船速(千米/小时) 0 1000 >4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6

建模目的 模型假设 建模分析 选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较 航行过程中船速不变，总距离9600千米 模型假设 冰山呈球形，球面各点融化速率相同 到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水 建模分析 燃料消耗 租金 船型, 船速 总费用 船型 目的地水体积 初始冰山体积 目的地冰体积 船型 运输过程融化规律 船型, 船速

模型建立 1. 冰山融化规律 第t天融化速率 d 0 1000 >4000 r u 船速u (千米/小时) 1 与南极距离d(千米) 0 1000 >4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 u r d 船速u (千米/小时) 与南极距离d(千米) 融化速率r(米/天） r是 u 的线性函数； d<4000时u与d成正比d>4000时u与d无关. 航行 t 天 第t天融化速率

1. 冰山融化规律 冰山初始半径R0，航行t天时半径 冰山初始体积 选定u,V0, 航行t天时冰山体积 总航行天数 到达目的地时冰山体积

2. 燃料消耗 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 V u q1 燃料消耗 q1(英镑/千米) q1对u线性, 对log10V线性 选定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英镑/天) 燃料消耗总费用

冰山初始体积V0的日租金 f(V0)（英镑） 3. 运送每立方米水费用 航行天数 拖船租金费用 总燃料消耗费用 冰山运输总费用

模型求解 选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低 求 u,V0使Y(u,V0)最小 V0只能取离散值 取几组（V0，u）用枚举法计算 经验公式很粗糙 3 3.5 4 4.5 5 107 0.0723 0.0683 0.0649 0.0663 0.0658 0.2251 0.2013 0.1834 0.1842 0.1790 106 78.9032 9.8220 6.2138 5.4647 4.5102 V0 u 5106 u=4~5(千米/小时), V0= 107 (米3)， Y(u,V0)最小

结果分析 大型拖船V0= 107 (米3)，船速 u=4~5(千米/小时), 冰山到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约0.065(英镑) 虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙。 由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。 有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。

6 消费者均衡 问题 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。 6 消费者均衡 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。 问题 q2 U(q1,q2) = c q1 设甲乙数量为q1,q2, 消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) ~ 效用函数 已知甲乙价格 p1,p2, 有钱s，试分配s,购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大.

· 模型及 求解 几何解释 已知价格 p1,p2,钱 s, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大 直线MN: U(q1,q2) = c q1 最优解Q: MN与 l2切点 斜率 · M Q N s/p2 s/p1

结果解释 ——边际效用 消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。 效用函数U(q1,q2) 应满足的条件 A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸 解释 B的实际意义

效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。

效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式 购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数 , 分别表示对甲乙的偏爱程度。 思考：如何推广到 m ( > 2) 种商品的情况

司乘人员配备优化问题 某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：

设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员？

运输问题 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物 资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表1.1所示. 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？

15 7 25 21 甲 37 51 乙 D C B A 表 1.1 销 地 运 费 产

解 A 甲 B C 乙 D

背包问题 有 n 个物品，编号为1, 2, …, n，第 i 件物品 重 ai 千克，价值为 ci 元，现有一个载重量不超过 大，应如何装载这些物品？ 用变量 xi 表示物品 i 是否装包，i =1, 2, …, n， 解 并令：

可得到背包问题的规划模型为：

指派问题 有n 项任务，由 n 个人来完成，每个人只能 做一件， 第 i 个人完成第 j 项任务要 cij 小时，如 何合理安排时间才能使总用时最小？ 引入状态变量 xij ，并令： 解 则总用时表达式为：

可得到指派问题的规划模型为：

层次分析模型 背景 日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法

一. 层次分析法的基本步骤 如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择. 例. 选择旅游地 目标层 O(选择旅游地) C3 居住 饮食 C5 旅途 准则层 P2 黄山 P1 桂林 P3 北戴河 方案层

“选择旅游地”思维过程的归纳 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

层次分析法的基本步骤 成对比较阵和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 选择旅游地 A~成对比较阵 A是正互反阵 要由A确定C1,… , Cn对O的权向量

成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况 不一致 一致比较 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况

成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足 的正互反阵A称一致阵，如 A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 一致阵性质 A的任一列向量是对应于n 的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即

Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 比较尺度aij 成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 比较尺度aij 便于定性到定量的转化： 尺度 1 3 5 7 9 相同 稍强 强 明显强 绝对强 aij = 1,1/2, ,…1/9 的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。

可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 定义一致性指标: CI 越大，不一致越严重 为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下 RI 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 当CR<0.1时，通过一致性检验 定义一致性比率 CR = CI/RI

准则层对目标的成对比较阵 “选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验 最大特征根=5.073 权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 一致性指标 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 通过一致性检验 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1

记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为 组合权向量 同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色)的成对比较阵 方案层对C2(费用)的成对比较阵 …Cn …Bn 最大特征根 1 2 … n 权向量 w1(3) w2(3) … wn(3)

组合权向量 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110 RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 第3层对第2层的计算结果 k 1 0.595 0.277 0.129 3.005 0.003 0.001 0.005 3.002 0.682 0.236 0.082 2 3 0.142 0.429 3.009 0.175 0.193 0.633 4 0.668 0.166 5 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110 RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T

第1层O 第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm 组合 权向量 第2层对第1层的权向量 第3层对第2层各元素的权向量 构造矩阵 则第3层对第1层的组合权向量 第s层对第1层的组合权向量 其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵

层次分析法的基本步骤 1）建立层次分析结构模型 2）构造成对比较阵 3）计算权向量并作一致性检验 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*） 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 2）构造成对比较阵 用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。 3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*） 组合权向量可作为决策的定量依据。

二. 层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。

例1 国家实力分析 例2 工作选择 国家综合实力 国民 收入 军事 力量 科技 水平 社会 稳定 对外 贸易 美、俄、中、日、德等大国 例1 国家实力分析 工作选择 贡献 收入 发展 声誉 关系 位置 供选择的岗位 例2 工作选择

例3 横渡江河、海峡方案的抉择 （1）过河效益层次结构 过河的效益 A 经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3 节省时间C1 例3 横渡江河、海峡方案的抉择 过河的效益 A 经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3 节省时间C1 收入C2 岸间商业C3 当地商业C4 建筑就业C5 安全可靠C6 交往沟通C7 自豪感C8 舒适C9 进出方便C10 美化C11 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D3 （1）过河效益层次结构

例3 横渡江河、海峡方案的抉择 （2）过河代价层次结构 过河的代价 A 经济代价 B1 环境代价 B3 社会代价 B2 投入资金C1 例3 横渡江河、海峡方案的抉择 过河的代价 A 经济代价 B1 环境代价 B3 社会代价 B2 投入资金C1 操作维护C2 冲击渡船业C3 冲击生活方式C4 交通拥挤C5 居民搬迁C6 汽车排放物C7 对水的污染C8 对生态的破坏C9 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 （2）过河代价层次结构

例4 科技成果的综合评价 待评价的科技成果 直接 经济 效益 C11 间接 C12 社会 C13 学识 水平 C21 学术 创新 C22 例4 科技成果的综合评价 待评价的科技成果 直接 经济 效益 C11 间接 C12 社会 C13 学识 水平 C21 学术 创新 C22 技术 C23 C24 效益C1 水平C2 规模C3 科技成果评价

三. 层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？ 三. 层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？ 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？ 为什么用特征向量作为权向量？ 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？

1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且 正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。 定理2 n阶正互反阵A的最大特征根  n , = n是A为一致阵的充要条件。 一致性指标 定义合理

2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010 精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均 列向量归一化 算术平均 精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010

简化计算 根法——取列向量的几何平均 幂法——迭代算法 1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度 2) 计算 3）归一化 4）若 ，停止；否则，k:=k+1, 转2 5) 计算

3. 特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应 问题 一致阵A, 权向量w=(w1,…wn)T, aij=wi/wj A不一致, 应选权向量w使wi/wj与 aij相差尽量小（对所有i,j)。 用拟合方法确定w 非线性 最小二乘 线性化—— 对数最小二乘 结果与根法相同

按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。 多步累积效应 成对比较 Ci:Cj (直接比较） aij ~ 1步强度 aij(2) ~ 2步强度 更能反映Ci对Cj 的强度 体现多步累积效应 当k足够大, Ak第i行元素反映Ci的权重 定理1 特征向量体现多步累积效应

完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联 4.不完全层次结构中组合权向量的计算 完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联 不完全层次结构 例: 评价教师贡献的层次结构 设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定 贡献O 教学C1 科研C2 P2 P1 P3 P4 第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得 P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研。 讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3）的方法 C1,C2支配元素的数目不等

考察一个特例： 若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1~P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 不考虑支配元素数目不等的影响 仍用 计算 w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T 支配元素越多权重越大 教学、科研任务由上级安排 用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正 再用 计算 w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T 支配元素越多权重越小 教学、科研靠个人积极性

5. 残缺成对比较阵的处理 为残缺元素 辅助矩阵 mi~A第i 行中的个数

递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。 6. 更复杂的层次结构 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。 更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。 制动 底盘 车轮 方向盘 发动机 减震装置 刹车 转向 运行 加速性能 汽车行驶性能 汽车1 汽车2 汽车n ……

层次分析法的优点 系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）； 实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题； 简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。 层次分析法的局限 囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案； 粗略——定性化为定量，结果粗糙； 主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。

主要参考文献: [1]姜启源，谢金星，叶俊。《数学模型》高等教育出版社 ISBN 7-04-011944-7 [2] 徐全智，杨晋浩，《数学建模》，高等教育出版社 ISBN7-047-011-943-9 [3] 唐焕文、贺明峰，《数学模型引论》， 北京，高等教育出版社，2005。 [4] 洪毅等编。数学模型[M]。 北京：高等教育出版社2004.5 [5]梁国业、廖健平，主编，数学建模， 北京冶金工业出版社.2004