第二章 (Part 2) 實際(有效)利率 (i) 可解讀為： 投資的利潤率(投資報酬率)或 貸款的真實成本或 到期殖利率 是特定期間實際發生的利率 (以複利計算) 在分析上，實際(有效)利率比名目利率有用 每期i %

實際(有效)利率 (i) 因為名目利率通常以年度為基準來定義，因此，定義實際(有效)年利率ia有其必要性 例如：M=12(每月複利)， 則每月實際利率im = r/M 以現金流圖將月利率im轉換成實際年利率ia P F F = P(1+im)12 and F = P(1+ia)  (1+im)12 = (1+ia)  ia = (1+im)12 -1  ia = (1+ r/M)12 -1

轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每月複利 (M = 12) 實際年利率 ia = ？ 12月 1年 P F 月利率im 1 2 3 im = r/M = 12%/12 = 1% F=P(1+ia) =P(1+im)12 (1+ia) = (1+im)12 ia = (1+1%)12 – 1 = 0.1268 = 12.68%

轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每季複利 (M = 4) 實際年利率 ia = ？ iq = r/M = 12%/4 = 3% 年利率ia 4 季 1年 F 季利率iq 1 2 3 F=P(1+ia) =P(1+iq)4 P (1+ia) = (1+iq)4 ia = (1+3%)4 – 1 = 0.1255 = 12.55%

轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每月複利 (M = 12) 半年的實際利率 isa= ？ 12月 1年 P F 月利率im 1 2 3 im = r/M = 12%/12 = 1% F=P(1+isa)2 =P(1+im)12 (1+isa)2 = (1+im)12 isa = (1+1%)6 – 1 = 0.0615 = 6.15% 例：以半年實際利率 isa，計算實際年利率ia=？ ia = (1+isa)2 – 1= (1+6.15%)2 – 1 = 0.1268 = 12.68%

轉換實際(有效)利率 例：實際年利率ia =12%，每月複利 (M = 12) 名目年利率 r = ？ F=P(1+ia) =P(1+im)12 (1+ia) = (1+im)12 im = (1+ia)1/12 - 1 im=(1.12)1/12 -1 = .00949 = 0.949% r =( im )(M) = (0.949%)(12) = 11.388%

轉換實際(有效)利率 例：名目年利率 r =12%，每年複利 (M = 1) 即，實際年利率 ia =12%，則 有效季利率 = ？ (註：從較長的利率期間轉成較短的利率期間) F=P(1+ia) =P(1+iq)4 (1+ia) = (1+iq)4 iq = (1+ia)1/4 - 1 iq=(1.12)1/4 -1 = 0.0287 = 2.87%

轉換實際(有效)利率 每期名目利率為 r 每期複利M次，則每次實際(有效)利率： i = r/M 再轉換至所需的期數(l 期) (2.3)

轉換實際(有效)利率 例：若以季為一期，即，名目季利率 = rq = 6%， 假設每月複利 ，即每季複利3次 ( M = 3)。 則，每月實際(有效)利率： im = rq /M = 6%/3 = 2% 半年(l = 2季)的有效利率 (應用公式(2.3))為： isa = (1 + rq /M)lM -1 = (1 + 6%/3)(2)(3) = (1 + 2%)6 - 1 = 12.616%

連續性複利計算 在一特定期間內有無窮多個的複利期間是很常見的事情(M  ) 求解一特定期間內的實際(有效)利率： l 期的實際利率 (l 可為一個期間的分數或倍數)：

名目利率 vs. 實際利率 為了進行比較：在相同時間長度的期間中比較實際(有效)利率

例題 2.8 連續性的複利計算 ON Semiconductor Corp.在2003年秋季重新籌措了3.69億美元的銀行借款，利率為LIBOR加上325個基本點，或3.25%。假設LIBOR為1.5%，則這筆借貸的利率便是每年4.75%，使用連續性的複利計算。試求等值的有效年利率與半年利率。

解答： 等值的年利率可由公式(2.5)來定義： 等值的半年(六個月)利率則是 其他離散週期的計算方式也類似。

比較利率 必須使用複利相同的實際利率。 名目利率不應該用來進行比較。

例題2.9 比較利率 設備的建構有可能非常昂貴。例如，Toromont Industries, Ltd.的CAT部門在2004年初，以大約1,200萬加幣的代價將33具Caterpillar設備，其中包含鋪路設備、壓土機、剷土機、超公路標準卡車、平路機、以及挖土機，出售給Lafarge Canada, Inc.。假設業者提供融資(透過貸款) 購買這些設備 利率為18%，每月複利計算。或者，該公司也可以向某家當地銀行尋求貸款，這家銀行提供17%的APR，以連續性的複利計算。請問哪一種利率較佳？

解答： 不要只因為17%少於18%，就落入陷阱而接受銀行的利率。這兩種利率都是名目利率，因此無法相比較。兩種利率都必須先轉換稱相同週期的實際利率以進行比較。我們先考量業者的利率r =18%，每月複利計算。這意味著有效的月利率

針對銀行的利率，我們可以使用公式(2.5)以將連續性複利計算的利率轉換為實際利率： 現在，我們必須判斷1.5%的月利率是否比18.53%的年利率來的便宜。讓我們以年為周期比較兩種利率。由於月利率在一年中會計算12次複利，所以等值的年利率為 銀行提供給這家工程公司的利率較為便宜。請注意，我們也可以將銀行的年時寄利率轉換為有效的月利率，來達到相同的結論。 我們的決策依然相同，因為銀行所提供的每月1.43%比1.5%的業者要來的便宜。

回到原本的例題。假設我們有可能取得下列三種貸款： 額外例題：比較利率 回到原本的例題。假設我們有可能取得下列三種貸款： 州利率：每年3.25%，連續性複利計算 銀行利率：每季0.80% 網路銀行利率：每年3.35%，每月複利計算 何者為最佳之年利率 (對Keystone而言)？

例題：比較利率 3.25%，連續性複利計算 每季0.80%，最便宜的利率。 3.35% ，每月複利計算

額外例題 軟體公司IDX Systems Corp.近來簽署了一筆合約，取得一筆最高1.5億美金的信用額度。前5,000萬美金的額度，會被索取以下利率中的最高者： 銀行的基本利率 次級市場三個月存款利率 +1% 聯邦基金實際利率加0.5% 資料來源：Dow Jones Newswires, “IDX Systems Corp In Pact For Up To $150M Loan,” December 29, 2004.

假設： 何種利率對IDX而言是最佳的利率？ 額外例題：比較利率 銀行的基本利率：4.5%，連續性複利計算 3個月存款利率 +1%：每季0.75% 聯邦基金利率加0.5%：5.1%，每半年複利計算 何種利率對IDX而言是最佳的利率？

例題：比較利率 4.5%，連續性複利計算 每季0.75%，最便宜的利率 5.1%，每半年複利計算

令實際(有效)利率的複利期間與現金流發生的期間相同 利率與現金流圖 令實際(有效)利率的複利期間與現金流發生的期間相同 軸線上為年度 年實際利率

現金流的時間性 複利計算較現金流頻繁時： 現金流的發生較複利期間來得頻繁 將利率轉換至適當的期間(與現金流發生的期間長度相同)的有效利率 假設在複利期間內所發生的現金流並不會產生利息--只需「累加」現金流 或找出現金流發生期間的實際利率

例題2.10 使利率與存提款周期相符 Tennessee Valley Authority (TVA)與肯塔基州及伊利諾州的高含量硫煤礦供應商簽下許多筆合約，以確保其位於肯塔基Paradise的發電廠3號，發電機的燃料供應。TVA近來也安裝了「洗條機」，以便能夠在符合聯邦污染標準情況下，燃燒該區的高含量硫煤。這份合約的價值為8.03億美元。雖然煤礦是以每周為時間基準運送，但我們假設支付給Resource Sales的款項是從2004年1月開始，每月支付。每月的利率為11%，連續性複利計算

解答：根據此項合約，TVA在合約期間要為每一頓煤支付33. 46美金。在每個月送交10萬噸煤的情況下，意味著每個月的應付款項為334 解答：根據此項合約，TVA在合約期間要為每一頓煤支付33.46美金。在每個月送交10萬噸煤的情況下，意味著每個月的應付款項為334.6萬美金。TVA的成本流動如圖2.13的金流圖所示。 圖2.13 購買煤的每個月應付款項

由於利率是連續性的複利計算，所以複利週期比現金流要來得頻繁。因此，我們可以將利率轉換為有效的月利率，以進行分析。月利率為 這項利率可以直接使用在現有的現金流圖上，因為現金流圖的時間性與複利週期相同。

例題 2.11 令現金流與複利週期相符 TVA也和Alliance Resource Partners 簽下20年10.7億美金的合約，以每年從該公司取得150萬噸的煤。假設這筆合約得款項支付為每月446萬美元(首筆款項支付於2004年一月底)，但是利率是每年12%。

解答：圖2.14(a)描繪了在這筆煤供應合約下，真實的現金流移轉。然而，現金流是每個月發生的，利率卻是每年計算複利。因此，每個月的現金流可以總結為5,350萬美元的年總額，如圖2.14(b)所示。否則在本書中我們都將使用這項慣例。 (a)買煤的每月放款項 (b)針對年利率的每年總結款項

針對例題2.10與例題2.11的兩種情境，加上時間性的調整，我們可以假設我們能夠令現金流與利率相符，以使得時間性與複利性週期兩者相等。

額外例題 Woodside Petroleum Ltd.正在尋求西澳政府核可投資20億澳幣擴建其西北陸棚的液化天然氣設施。這項新的擴建案將會在2008年末時，將年度LNG產出量 (從1,170萬噸) 提升到約1,600萬噸。韓國國家天然氣公司正尋求從2008年初開始的二十年中，每年購買600萬噸的LNG。 資料來源：Bell, S. “UPDATE:Australia's Woodside Ready To Expand NW Shelf Gas,” Dow Jones Newswires, January 10, 2005.

假設每週出貨 (115,384噸)。如果款項是在交貨時支付，利率為每月0.75%，請問你會怎麼做？ 額外例題 假設每週出貨 (115,384噸)。如果款項是在交貨時支付，利率為每月0.75%，請問你會怎麼做？ 將款項累計 (加總) 至每月 若每週仍有複利，則需將每月利率轉為每週利率 假設每月出貨 (500,000噸)。如果款項是在交貨時支付，利率為每日.002% ，請問你會怎麼做？ 將每日利率轉換為每月利率。