工程随机数学 第16讲 功率谱密度

第十二章 平稳随机过程 12.1 平稳随机过程的概念 12.2 各态历经性 12.3 相关函数的性质 12.4 平稳随机过程的功率谱密度

12.4 平稳随机过程的功率谱密度 当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。 傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。在频率域内，频率意味着信息变化的速度。即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。

一、功率谱密度 确定信号x(t)频谱存在的条件，即其傅立叶变换存在的条件是： ⑴ x(t)在(-∞,∞)上满足狄利克雷 Dirichlet条件。 ⑵ （绝对可积） 或备择条件 （信号的总能量有限） 狄利克雷 Dirichlet条件： 连续或只有有限个第一类间断点, 至多只有有限个极值点 若x(t)满足上述条件，则其傅立叶变换对存在。 其中S(ω)称为信号x(t)的频谱

Fx(ω)称为信号x(t)的频谱它反映了x(t)中各种频率成分的分布状况，X(t)可以表示成谐分量的无限叠加。 即 ，（*表示复共轭）。

←帕赛瓦尔定理 由于左边是：x(t)在时间(-∞,∞)上的总能量＝|Fx(w)|2 在整个频域上的积分。因此 |Fx(w)|2 表示 x(t) 在不同频率上总能量的分布密度，称为：能量谱密度。

等式左边表示 x(t) 在 (-∞,+ ∞) 上的总能量，而右边积分中被积函数|Fx(w)|2 相应地称为能谱密度。巴塞伐公式理解为时间域上的总能量可用频率域上的频谱能量表示。 然而，工程技术上有许多重要的时间函数总能量是无限的，不能满足傅氏变换绝对可积条件，如正弦 sin(x) 就是。我们要研究的随机过程，由于持续时间是无限的，所以其总能量也是无限的，即 所以随机过程的频谱不存在。

二、实随机信号的平均功率 其傅立叶变换存在。 随机过程的任意一个样本函数，都不满足傅立叶变换的绝对可积条件，不可能直接其进行傅立叶变换。但是对其样本函数作某些限制后，其傅立叶变换存在。 最简单的是应用截尾函数。如右图 在x(t) 中任意截取长为2T的一段 称xT(t) 为x(t) 的截尾函数。当T为有限值时，截尾函数xT(t) 满足绝对可积条件， 其傅立叶变换存在。

这里Fx(w,T)称为xT(t)的频谱函数。

又由于随机过程 在随机试验中取哪一个样本函数具有不确定性。因此，不同的试验结果，就意味着随机过程可能取不同的样本函数，亦即样本函数与试验结果有关，为此，可将样本函数进一步表示为 ，当然该样本函数的截取函数也可相应表示为 ， 显然它的傅氏变换也可表示为 。 又 ∵

由于引入随机过程样本函数的截取函数定义，所以又可给出上式随机过程的样本函数平均功率在频率域的表示形式。 在上式中，令 则称式为随机过程X(t)的样本函数的功率谱密度。 式中， 为截取函数 的频谱。

又∵ 随机过程是由一族样本函数组成，即 显然对每一个样本函数，按照上面类似的方法都难以求出它的一个样本函数的功率谱密度，于是对所有的样本函数取统计平均就可给出随机过程的功率谱密度定义。 定义随机过程的功率谱密度：

随机过程的一个样本函数的平均功率的表示形式，有两种 类似的，可求出X(t)的所有样本函数的平均功率表示形式，然后取统计平均，则可以给出随机过程的平均功率定义，定义随机过程的平均功率：

由随机过程平均功率定义可知，要求随机过程的平均功率可用两种方法，一种方法是求出 ，即过程的功率谱密度，然后再积分， 另一种方法是先求出过程的均方值 ，再积分。 特别地，当我们研究的随机过程是平稳过程时，此时的平稳过程平均功率可表示为： ∵ X(t)平稳 ∴

∴ 该式说明：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，也可由随机过程的功率谱密度在全频域上积分得到。若随机过程再各态历经，则各态历经过程的功率谱密度可用一个样本函数的功率谱密度来表示：

例1 随机过程 式中， 是常数， 上均匀分布随机变量，求X(t)的平均功率。 解 显然该过程不平稳。

三、功率谱密度性质 功率谱密度是随机过程在频域中主要的统计特征。 由随机过程的功率谱密度定义，即 可得如下几个常用的性质。 性质1 Gx(w)是w的实的、非负的偶函数

(1)功率谱密度为非负值 (2)功率谱密度是  的实函数 (3)功率谱密度是  的偶函数 由定义 因为 故而 也可以看到， 是  的实函数， 故 也必定为  的实函数。 (3)功率谱密度是  的偶函数

根据傅立叶变换的性质，当 为 t 的实函数时，其频谱满足 则随机过程截尾后的频谱为

(4) 平稳过程功率谱密度绝对可积： 证明：因为平稳过程有 且平稳过程有 所以功率谱密度函数绝对可积。

(5)若平稳过程的功率谱密度可以表示为  的有理函数形式，称为有理谱密度 则必定满足： ①由性质(1)要求：G0>0 ②由性质(4)要求：式中分母无实根(即在实轴上无极点)， 且n>m。

性质2 Wienner-Khinchine定理：平稳随机过程的自相关函数和过程的功率谱密度之间互为Fourier变换 维纳-辛钦公式

例2 已知平稳过程X = X(t)的谱密度为 求X的自相关函数和平均功率。 解 (查付式变换表)

例3 判断下列哪些函数满足平稳过程的功率谱密 度的性质？ 例3 判断下列哪些函数满足平稳过程的功率谱密 度的性质？ 解：因为 非偶 在实数轴上有极点， 所以只有 满足平稳过程功率谱密度的性质。

2维纳—辛钦定理的推广 ⑴直流信号 ⑵周期信号 在时域： 不满足绝对可积的条件，F变换不存在。 傅氏变换绝对可积的条件限制了维纳—辛钦定理的应用。

在频域： ⑴直流信号X(t) ⑵周期信号X(t) 可以借助δ函数，将直流信号与周期信号在各个频率点上的无限值用一个δ函数来表示，借助δ函数的傅氏变换

可利用δ函数的F变换，来求⑴ ⑵两特殊信号的功率谱密度。

3物理功率谱密度： 由于实际应用中，负频率不存在，所以定义一个仅在正频率上存在的物理功率谱密度：

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自相关函数与谱密度对应表 1 2 3 4 5 6 7

三、互谱密度及性质 1. 互谱密度的定义 设两个联合平稳的随机过程 X(t),Y(t),若Xx(T,w),Xy(T,w)分别为xT(t),yT(t)的Fourier变换，则可定义这两个过程的互谱密度为

2. 互谱密度的性质 即SXY(w)和SYX(w)互为共轭函数 2)若X(t),Y(t)联合平稳，若 则有 3)互谱密度实部为w的偶函数，虚部为w的奇函数 4)互谱密度与自谱密度有

作业 P360 3, 7, 13

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