本章大綱 2.1 The Limit of a Function函數的極限 2.2 Limit Laws極限的性質 2.3 Continuity 連 續

2.1 The Limit of a Function函數的極限 2.1.1直觀的說明 我們以物理上的直線運動來做一解釋： 有一質點從數線上 的原點向右移動，設過了 秒後，它的位置是 與位置 那麼質點在位置 之間的平均速度便是 當 與 非常接近時， 這個平均速度(average velocity) 便近似於質點在通過 這個位置時得的瞬間速度(instantaneous velocity)。 。

我們以 來表示質點在 時的 瞬間速度，並稱 是當 接近 時， 的極限 在 ( 注意 可以沒有定義 )。 一般極限直觀的定義為 : ： “ the limit of ,as x approaches ,equals L”. 即當x 從兩側足夠靠近 (但不等於 )時, 的值會任意地靠近 L , 簡記為 , .

例題 1. 我們先以直觀的方式來尋找幾個簡單函數在某一點的極限 ( 常數函數 ) 由於 恆為5， 因此對任意 若 (常數)， 則 。 (2) (1) 若 (常數)， 則 。 (2) (恆等函數)， 則 。 圖2.2 圖2.1

例題 2. 設 ， 試求 ， ， ， 。 解： 圖2.3

例題 3. 設 ，試求 。 解： 因為 因此 ，但 是無意義的。 由下列 的圖表可看出：當 趨近於 2 時， 趨近於12。 表2.1 1.5 1.9 1.95 1.99 2.001 2.05 2.1 9.25 11.41 11.7025 11.9501 12.006001 12.3025 12.61

圖2.4

2.1.2 Definition of Limit Let be a function defined on some open interval that , contains except possibly at . Then we say that the limit , of as approaches is and write if for all , there is such that if 亦即 設 L是實數， 是 中的一個含 a 的開區間， 是定義於 上的一個實函數 (但在 點可能沒有定義 )， 則 對任意一個 ，一定可找到 ， 使得 當 且 時 ， 。

圖2.5

例題 4. 已知 。 給定 ， 試找出 使滿足極限的定義。 解： 。因此要求 必須先有 ，所以取 ， 則 時， 。

例題 5. 試證 。 證明： 因為 給定 ，欲找出 使所有 只要滿足 ， 就有 。先取 ，則有 即在 左右1單位內的 均滿足 因此， 若取 則當 時， 我們有 。

例題 6. 試證 證明： 令 ，則 給定 ， 欲找出 使所有 只要滿足 ，就有 利用綜合除法將 表示成 的函數： 若取 ，則由 可得 故 。 給定 ， 欲找出 使所有 只要滿足 ，就有 。 利用綜合除法將 表示成 的函數： 若取 ，則由 可得 故 ，則當 對任一給定的 ，存在一個 。

2.1.3 One-sided Limit單邊極限 if (1)Right-hand Limit： such that: then . (2) Left-hand Limit： such that if then :

圖2.6 定理：

例題 7. Show that 因為 解： 所以 故 由定理知 。

例題 8. Show that does not exist. 解： 因為 所以 即

例題 9. 例如： 高斯函數 表示小於或等於 的最大整數。 Find 解： 高斯函數 在 處的左右極限都存在， 但左右極限不相等： ； 都有左右極限不相等的問題，因此 都不存在。 因此 不存在。 同理將 0 改為任一整數 圖2.7 由於 所以

例題 10. 試證 且若 則 。 證明： 因為 故取 ，則當 時 當 時， 故取 ，則當 時 ，

2.1.4 Infinite Limits正、負無窮 設 ，則 在 的左邊一致無限制地變大，記做 對任意正整數 n，都可找到 ，使得 當 (1) 在 的左邊一致無限制地變大，記做 對任意正整數 n，都可找到 ，使得 當 時， 。 (2) 在 的左邊一致無限制地變小，記做 對任意負整數 n，都可找到 ，使得 當 時， 。

同理： (3) (4) (5) (6) 在以上 (1)~(6) 情形下，直線 稱為圖形 的垂直漸近線 注意：記號 不是數而是用來表示一致無限地變大或變小這種 現象的記號

例題11. , , 試證 並求 的垂直漸近線。 對任意一正整數 n，取 ，則當 時， 解： ，故由定義知 。 對任一負整數 n, 取 則當 時, 故 因此 (即 軸)是 的垂直漸近線。

圖2.8

例題12. Find 解： 所以 (或 )。

2.2 Limit Laws極限的性質 2.2.1 Limits Lws 為了避免使用 來求極限的不便。 以下介紹一些基本的 定理及法則，未來求極限時便可直接引用。 2.2.1 Limits Lws Suppose that is a contant and limits Then sum law (1) (2) difference law product law (3) (4) constant multiple law quotient law (5) 注意： 將 改為 或 上述定理仍成立。

證明： 設 且 若 取 ，則當 時，我們有 (1) (2)

(3) 由已知 得 接續下頁

取 ，則當 時，可得到 (4) 當 (5) 由 (3) 知 因此只要證明 ，即可得到 。 接續下頁

首先看 因為 ，取 時， 若 ，則 。 再由 得 當 時， 。 又對於 ， 若 ，則 因此，若 ，則

例題 1. (1) (2) (3) (4) (5) , (6) where where . (7)

例題 2. Find the limit (1) (2) 解： (1) (2)

2.2.2 The Squeeze Theorem 夾擠定理亦稱三明治定理 設 滿足 若 或 且 ， 則 。 注意： 當 時， 可換成 或 在這裡只證 證明： 的情形。由已知得 若 ，則 且 也就是說， 加上條件 就有 因此 ，亦即 ， 所以 。

例題 3. Show that (1) (2) 證明： (1) 因為 所以 因為 所以由夾擠定理知 。 (2) 因為當 時， 且 故 同理可証

例題 4. Show that 證明： 因為 所以 而 故由夾擠定理知

2.2.3定理 , . (1) 如圖所示在單位圓上四點座標及三角形、扇形面積分別為 證明： 的面積 圖2.9 扇形 的面積 的面積 因為 ，所以 接續下頁

乘上 後 ， 得 又當 時， 因為 弧 的長 線段 的長 線段 的長 所以 ( ，注意 ) 　那麼 由於 因此，根據夾擠定理 (2.2.3) 得 同理當 時，由 亦可得 因此 。 接續下頁

同時我們看到當 時， 所以 。 (2)

例題 5. Find and 解： 先改為2.2.3的形式後再求極限

2.2.4 合成函數的極限定理 -----------------(1) 設 是實函數，若 ( 或 )， 則 同樣地，當 時，將 換成 或 亦成立。 證明： 設 ，因為 在 處的極限是 ，所以存在 使得 且 -----------------(1) 又因為 ，所以對此 ，存在 ，使得 若 且 ， ---------(2) (1),(2)合併，則有 若 則 且 及 接續下頁

注意： 上述定理中的條件， g 在 處的極限是 是重要的，下面的例題可說明其重要性： 若 且 注意到 在 處的極限不是 此時

例題 6. Evaluate the limit (1) (2) (3) (1) 設 解： ，則 , 且 。由定理知 (2) (3)

2.3 Continuity 連 續 2.3.1連續的幾何觀點 從幾何的觀點來說， 若實函數 在其定義域上的圖形 沒有斷掉或縫隙的話， 就說 是連續的。 1.如圖2.10所示， 在 二處不連續。 圖2.10 ， 而在 點的縫隙不算， 因為 在此無定義！ 2. ， 則 在所有的整數點都不連續。

圖2.11 3.若 則從圖2.11可看出 在 處斷掉且 故 在 處極限不存在且 在 不連續。 4.若 ，則 的圖形只有在 處不連續且

2.3.2 連續的定義 設 是實函數且 。 如果 ， 則 在 處連續；亦即 is continuous at if ， then

例題 1. 試判斷下列函數在何處連續 (1) (2) (3) (4) 解：(1) 當 2時， , 因為 無定義,所以 在 均連續。 接續下頁 = (2) (3) (4) 解：(1) 當 2時， = , 因為 無定義,所以 在 均連續。 接續下頁

(2) 因為 ，所以 在 處不連續。 ，故 在 又當 時， 處均連續。 (3) 若 ，則由定理2.2.2 知 。 故 在 處均連續。 (4) 因為 ,所以 在每一點都連續。

2.3.3 單邊連續 (1) 若 ，則稱 在 處右連續。 (2) 若 ，則稱 在 處左連續。 (3) 若 在定義域 中每一點都連續，則稱 是連續函數 (continuous function)。例如：多項式函數是連續函數。

例題 2. 試討論 在整數點是否連續。 解： 因為 ，但 ， 在每一個整數點 都是右連續但都不是左連續。 所以 在整數點 處都不連續。

例題 3. 試証 在封閉區間 上連續。 解： 若 -1 1 。 則 ， 所以 在 連續. 又 且 , 所以 在-1處右連續， 在１處左連續， 故 在[-1,1]連續。

2.3.4 2.2.2 的對應定理 若 ， 均在 點連續，則下列函數亦在 點連續。 (1) (2) (3) (4) (5)

例題 4. 設 試求 之值，使 是 上的連續函數。 解： 因為 在 這三個區間上都是多項式函 數， 因此 在這些區間內均連續，故只要 在 和 這兩處連續即可。 因為 ， 知 又由 。 得 。 因此，若 且 ，則 是連續函數。

。 2.3.5 合成函數的連續定理 , If is continuous at and is continuous at then the composite is continuous at . 。 若 在 點連續， 且 在 點連續， 則合成函數 在 點連續。 證明： 在 點連續 ； 在 點連續 。 由2.2.4知 因此 。 在 點連續。

例題 5. 試證 在區間 內連續。 證明： 設 ，則 。 令 則二多項式 及 在 點均連續， 且 。 由定理2.3.4 (5) 知 在 點連續且 又由2.1.3 例題 (10) 知 在 上是連續函數， 因此由定理2.3.5知 。 在區間 上連續。

2.3.6 在 1.4.3 提到許多常用的函數，由函數的圖形可看出下列關於連續性的結果。 (1) 恆等函數 是連續函數。 (2) 常數函數 是連續函數。 (3) 多項式函數 是連續函數。 (4) 絕對值函數 是連續函數。 (5) 高斯函數 在整數點 以外均連續。

2.3.7 Extreme Value Theorem 連續函數的極值定理 1. If is continuous on , then the range of interval is a closed , where , . 若 在閉區間 上連續，則 的值域 構成一個閉區間 ，其中 而 圖2.13 從圖形上可直觀的看出此結果， 它的證明需用到實數的完備性故在此不做證明。

2. If is continuous on a closed interval , then there are such that for all 設 再封閉區間 上是連續實函數，則必可找到 ，使得

2.3.8 Intermediate Value Theorem 連續實函數的中間值定理 If is continuous on and is any number between , and then there is at least one number in the interval such that 設 在封閉區間 上是連續實函數。若 ，則對於 任一個介於 與 之間的數 ， 必可找到一個 ， 使得 。 圖2.14 證明： 因為 ，不妨假設 ， 由定理2.3.7知 因此若 ， 則 ； 亦即有一個 ，使得 。

例題 6. 設 ，試證 。 證明： 因為多項式函數是連續函數且 , , 再者 由中間值定理立即可得證。 另外，從解方程式 ， ( 不合 ) 亦可得 。

2.3.9 Root-Finding Theorem 勘根定理 If is continuous on and , then there is in the interval such that 設 是連續實函數，若 則必存在 使得 ；即 是 的一實根。 證明： 由於 ， 圖2.15 與 必是一正一負， 因此0介於 與 之間。 由中間值定理知 。

例題 7. 試証 有一根 ( 解 ) 落在區間 內。 解： 令 ，則 ， 及勘根定理知存在 。