(Chapter 13 Energy Method) 材料力学 Mechanics of Materials 第十三章 能量法 (Chapter 13 Energy Method)

第十三章 能量法 (Energy Methods) §13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of strain energy for various types of loading ) §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 单位荷载法  莫尔定理 (Unit-load method & mohr’s theorem) §13-5 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-6 计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment areas for mohr’s integration)

§13-1 概述（Introduction) 二、外力功（Work of the external force) 一、能量方法 (Energy methods ) 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法. 二、外力功（Work of the external force) 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则称为外力功. 三、变形能（Strain energy) 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量，称为弹性变形能，简称变形能.

四、功能原理（Work-energy principle) The formula: （Work-Energy Principle) 可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功. 对于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.

( Calculation of strain energy for various types of loading ) §13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of strain energy for various types of loading ) 一、杆件变形能的计算( Calculation of strain energy for various types of loading ) 1、轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads) 当拉力为F1 时，杆件的伸长为△l1

F l F F1 o l1 l F l l 力 功 变形 积分得：

根据功能原理 U = W , 可得以下变形能表达式 当轴力或截面发生变化时：

当轴力或截面连续变化时： ▼ 比能 （ Strain energy density) ： 单位体积的应变能. 记作u 功 应力 应变 （单位 J/m3)

2、扭转杆内的变形能（Strain energy for torsional loads)  T T T   l 功 力 变形 变扭矩和变界面： 或

（Strain energy for flexural loads) 3、 弯曲变形的变形能 （Strain energy for flexural loads) Me   Me θ 纯弯曲 (pure bending ) Me 力 变形 功 横力弯曲 (nonuniform bending )

(General formula for strain energy) 二、变形能的普遍表达式 (General formula for strain energy) F3 B C F2 A F1 F--广义力（generalized force) 包括力和力偶(include force and couple) B' δ--广义位移 (generalized displacement) 包括线位移和角位移 (include normal displacement &angular displacement) C'

假设广义力按某一比例由零增至最后值，对应的广义位移也由零增致最后值. F3 A B C F1 F2 B' 对于线性结构，位移与荷载之间是线性关系，任 一广义位移，例如 2可表示为 C1F1，C2F2，C3F3 分别表示力 F1 , F2, F3 在 C 点引起的竖向位移. C1，C2，C3 是比例常数. F3/F2 在比例加载时 也是常数 F1/F2 和 2 与 F2 之间的关系是线性的. 同理 ，1 与 F1， 3 与 F3 之间的关系也是线性的.

在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功 F3 A B C F1 F2 B' Fi i Fi i 在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功 —— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）

组合变形的变形能（Strain energy for combined loads) 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立， 各个内力只对其相应的位移做功.

三、变形能的应用（Application of strain energy) 1、计算变形能(Calculating strain energy) 2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)

例1 试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度. A B F l x 解： 由U=W 得

例2 试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度. A B C F x1 x2 a b l 解： 由 U=W 得

例3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移. 已知EI 为常量. A B F O R θ 解： 由 U=W 得

例题4 拉杆在线弹性范围内工作. 抗拉刚度 EI ，受到F1和F2 两个力作用. 若先在 B 截面加 F1 ， 然后在 C 截面加 F2 ； A B C a b F1 F2 若先在 C 截面加 F2 ， 然后在 B 截面加 F1. 分别计算两种加力方法拉杆的应变能.

(1) 先在 B 截面加 F1，然后在 C 截面加 F2  在 B 截面加 F1， B截面的位移为 外力作功为 F1  再在C上加 F2 A B C a b 外力作功为 F1 F2  再在C上加 F2 C截面的位移为 F2 作功为

 在加F2 后，B截面又有位移 A B C a b 在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功） F1 所以应变能为 F2

(2) 若先在C截面加F2 ，然后B截面加F1.  在C截面加F2 后， F2 作功 F1  在B截面加F1后， F1作功 F2 A a

 加 F1引起 C 截面的位移 A B C a b 在加F1 过程中F2作功（常力作功） F1 F2 所以应变能为

注意： (1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别. 应变能 U只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载 次序无关.

A C B F l/2 Me 1 2 梁中点的挠度为 梁右端的转角为 梁的变形能为

先加力 F 后，再加力偶 Me F  先加力 F后，C 点的位移 力 F 所作的功为 Me F  力偶由零增至最后值 Me A C B F l/2  先加力 F后，C 点的位移 1 力 F 所作的功为 A C B F l/2 Me  力偶由零增至最后值 Me B 截面的转角为  力偶 Me 所作的功为

C截面的位移为 A C B F l/2 1 先加上的力F所作的功为 A C B l/2 Me F与力偶 Me所作的功为 3 

作业： 13.1、13.3、13.4