鄭英豪 唐書志 臺北市立大學數學系 臺北市百齡高級中學 2015模組設計師培訓班 台中場周末班 鄭英豪 唐書志 臺北市立大學數學系 臺北市百齡高級中學 10/3 10/31 11/21 12/05 12/19 於台中市三光國中

內容規劃 目標 場次 方式 奠基模組教案的設計與發展以及奠基模組設計教師的專業成長 2015 - 10/3、10/31 、 11/21 、 12/05 、 12/19 方式 實作設計、教學試驗、調整設計、心得分享

課程內容 概念化 設計教案 試驗分析 調整試驗 回顧歷程 數學奠基與銜接/融入課堂教學的思維 從奠基到銜接的活動設計 分享試驗結果與討論修改方向 調整試驗 分享修改後試驗結果與討論修改要點 回顧歷程 分享再調整與回顧開發歷程

數學奠基與銜接/融入課堂教學的思維 為什麼要奠基？ 奠基銜接/融入課堂教學的觀念 中低成就學生數學進步的啟示 奠基銜接/融入設計的歷程 台灣數學教育的問題與解決的想法 奠基銜接/融入課堂教學的觀念 奠基活動的過去與未來 中低成就學生數學進步的啟示 把課堂數學的前一步還給學生 奠基銜接/融入設計的歷程

世界第一下的警訊 TIMMS 2007~2011標準差增大4成 PISA 2012 頂-末10%學生相差 7 個年級

國民教育中數學教育的危機 學習成就兩極化 學習成就與學習情意疏離 經濟條件的決定力道愈來愈強 教師教學的焦點應該放在誰身上？

為什麼要奠基? 台灣學生的數學學習非常重視計算能力的呈現。為考高分往往太快就 進入演算，缺少發展數學概念需要仰賴的先備經驗。在還沒有具體感受概 念內涵的共通性或不變性前，就直接告知規則，以至於很多學生感覺數學很抽象，學習的時候缺乏具體的感覺，然後與數學漸行漸遠，乃至於最後只能放棄。 為了使學生在教室內可以參與「有意義的學習」，奠立學習數學必要的具體經驗也就顯得非常重要。由於「數學能力」牽涉到許多的面向，因此除了概念之外，如程序性知識、問題解決及論證等相關先備經驗都是我們要去奠立的。 奠基活動除了在進行的時候，可以讓學生先了解與教學單元相關的關鍵點之外，活潑有趣的特色會將學生對數學的興趣激發出來，引起學生的數學學習動機，甚至在好奇心的驅使下主動探索問題。 ~~台灣師大數學系林福來講座教授~~

奠基活動的樣式 抽為加，被抽為減，加負=減正，減負=加正

奠基的學習價值 數學學習的階段歷程(Dienes, 1973) 適應學習環境(adapt learning environment) 創造學生可自由交互作用的環境，如任意排列棋子 發現遊戲規則(rule of game) 導引學生感受到遊戲中的規則，如棋子可排成長方形的規則 洞察同構案例(isomorphic examples) 引導學生觀察與分析案例的結構，如乘法分解及類型 形成結構表徵(representation) 引導學生使用實物、語言或圖表來表現案例的結構，如圖畫表示特定數量棋子的各種乘法分解 引進正式語言(the scientific language) 引導學生使用數學語言或符號表示數學結構，如12=1 × 12=2 × 6=3 × 4 發展數學系統(system of math) 引導學生將數學符號表徵的結構結合在既有數學系統內，如1, 2, 3, 4, 6, 12都是12的因數

抽象概念的學習階段(Brunner, 1966) 操作(enactive stage) 圖像(iconic stage) 學習者與具體可操作物件進行互動，如透過積木的堆疊拆解接觸位值 圖像(iconic stage) 與視覺的圖像資訊進行互動，如透過方格與長條理解數量的化聚，有些數學概念可直接透過圖像理解，無需實體操作 符號(symbolic stage) 使用正式的語言或符號來表達數學結構或觀念，如透過數值與位名來表示進位與位值

智性學習的雙層次模式(Skemp, 1989) △1直接作用在環境訊息上 △2作用在△1上並進行計畫與監控

數學瞭解歷程(Pirie and Kieren, 1994)

理解奠基的價值 課堂上要學的數學，本質上是個數/量/形的共通/不變樣式(pattern)，學生腦中要有這個樣式的心像(image)，才有可能憶取出來進行思考與推理 心像是介於抽象符號與實體經驗間的存在，兼具有具像的樣式結構以及運思平台的功能 奠基活動中引導注意特定規則的操作/遊戲，幫助學生建立了這個樣式的心像，成為過渡到數學符號的媒介

阿基米德(Archimedes)性質 a, b為兩正數且 a<b，則有自然數 n 使得 na>b 翻譯 a, b為兩正數且 a<b，則有自然數 n 使得 na>b 語意 不論b多大a多小，累積夠多次之後還是會大過b a b ‧‧‧ 樣式與心像

中低成就學生數學進步的啟示 國中生幾何證明（九年級） 可接受 24.6 不完備(缺步驟) 35.0 不當的 0.3 直觀反應 2.8 如圖，請證明：「設A為圓心，AB為半徑，AB的垂直平分線交圓周於一點C。則△ABC為正三角形。」 可接受 24.6 不完備(缺步驟) 35.0 不當的 0.3 直觀反應 2.8 空白或無推論 37.4

閱讀著色 仔細閱讀題目，圈出重要的字詞，將這些條件與可能的推論在圖上塗顏色，相等的塗相同顏色 已知△ABC  △ADE， 1 2 已知△ABC  △ADE， 試證∠BAE=∠DAC。 A B C D E 仔細閱讀題目，圈出重要的字詞，將這些條件與可能的推論在圖上塗顏色，相等的塗相同顏色

實驗結果 實驗班 假實驗班* 傳統班 可接受 46.2 30.3 21.2 後測 不完備 9.8 20.5 23.5 不當 26.5 35.6 直觀反應 3.0 3.8 5.3 空白 14.4 18.9 段考 平均數 49.21 49.15 43.73 標準差 24.54 25.34 19.50 *只依教案執行前1/4，然後回復傳統方式教學

學校成績的百分等級 從前測到後測 進步到可接受 100 16.7 進步但非可接受 33.3 25.0 不再空白 33.4 50.0 無差別 PR80+ PR60+ PR40+ PR20+ PR20- 進步到可接受 100 16.7 進步但非可接受 33.3 25.0 不再空白 33.4 50.0 無差別

中低成就學生數學進步的啟示 讓學生變好的方法意外地簡單 不做完就是沒效果 學生會自動轉換成老師希望的方法 即使如此，還是有很多學生學不來 關鍵字詞與塗色 不做完就是沒效果 以為會了就不做就是不行 學生會自動轉換成老師希望的方法 測驗時都用單色短標記 即使如此，還是有很多學生學不來

質疑？ 教科書商說 我們課本已經採用彩色印刷了 課本上對應的元素同色印刷 國中老師說 我上課就是用彩色粉筆這樣教的啊 可是都沒有讓學生作

奠基銜接/融入課堂教學的思維 奠基最早被設定為補救教學之用，兼顧引發學習動機與奠立預備經驗，活動設計偏向遊戲與操作 銜接/融入正規教學時，需求不同與時間限制必然引發活動設計主軸的調整 針對欲教單元的需求與學生起點狀態，設計適當的前置活動，讓學生有可運思操作的心像可以銜接到課堂教學

因此 但是 所以 模組設計可不拘泥於遊戲與實體操作 必要有的心像仍須建立以對應學習資訊 學生需要具體的運思平台以對應推理解題 光是講清楚仍是不夠的 無連接的玩也是不行的

奠基銜接/融入設計的歷程 補回學習這個知識的前置經驗 具體的經驗 知識結構的心像 連接教學內容 課堂教學 教學流程 ‧ 設計歷程

結構的心像 結構的屬性 存在的情境 樣式的語言 運思的程序

討論 什麼單元是學生比較不容易學會的？ 這個單元核心的數學結構是什麼？ 運思時腦中要有什麼？要如何操作？ 用什麼方法讓學生留有運思的心像？ 這個方法要如何設計成活動？