理论分析框架 上海财经大学

第七讲 其它多数规则 □《公共选择与政治立宪》，第6、8、9章 上海财经大学

讲义提纲 ◎最多票数规则 ◎孔多塞规则 ◎黑尔机制 ◎库姆斯机制 ◎波尔达计票 ◎赞成投票 ◎点投票 ◎否决投票* ◎过程比较 ◄◄ ◎过程比较 ◄◄ 上海财经大学

一、最多票数规则 〇 最多票数（Plurality）规则的含义 在投票过程中，每一个个体将自己的选票投给自 己最喜爱的对象（候选人或者议案），获得选票 数最多的对象将获胜。 〇最多票数规则的优点 ●简单且相对合理：结果获得了相对“多数”的 支持 上海财经大学

● 可能产生对部分人有利但对其它个体极端不利 的极端主义议案和（或）候选人；产生低效率 的结果（平均效率） ● 当选人与政治机构的权威性 〇最多票数规则的问题 ● 可能产生对部分人有利但对其它个体极端不利 的极端主义议案和（或）候选人；产生低效率 的结果（平均效率） ● 当选人与政治机构的权威性 〇二次选举（Double election）的引进 ● 规则的含义：一起表决，得到两个获得最多票 数支持的议案和（或）候选人；投票人继续就 上述两个备选对象进行选举，多数支持者获胜 ● 二次选举的意义（表1） 返回 上海财经大学

表1 二次选举 投票人 偏好排序 V1（8） Y V W Z X V2（7） V3（5） V4（3） V5（2） 上海财经大学

二、孔多塞规则 〇投票均衡 ● 特殊例子 ● 一般情形 〇投票循环悖论（Voting cycling paradox） ●基本类型 ●主要问题 ○孔多塞规则的适用性 返回 上海财经大学

□税收制度：同一税制（Uniform taxation） ●个体最优选择（图1） □个体的需求曲线与最优选择 □具体例子： （一）投票均衡：特殊例子 ●假设 □ 5个决策个体集体决定某一公共产品的规模 □税收制度：同一税制（Uniform taxation） ●个体最优选择（图1） □个体的需求曲线与最优选择 □具体例子： ●简单多数均衡（表2） □中位数投票者（Median voter） □多数投票均衡（Majority voting equilibrium） 返回 上海财经大学

元 D5 D4 D2 a/n D1 d（D3） O x1 x2 x3 x4 x5 x 图1 中位数投票模型 上海财经大学

民主决策的个体行动基础：具体例子 上海财经大学

表2 简单投票多数支持率比较表 比较组 支持x3的个体 反对x3的个体 两者之比 x3对x1 3、4、5或2 1或2 4：1或3：2 1、2 3：2 x3对x4 1、2、3 4、5 x3对x5 1、2、3或4 5或4 上海财经大学

（一）投票均衡：一般情形 ● 中位数定理（Median Voter Theorem）：对于 一维待决策议案x，若所有投票者的偏好在x是 上是单峰的，那么，多数规则投票的结果为中 位数投票者所偏好的方案。 上海财经大学

● 概念定义与说明： a. 理想点（Ideal point）：若xi. 是个体i的理想 点，当且仅当对所有x≠xi. ，都有ui（xi ● 概念定义与说明： a. 理想点（Ideal point）：若xi*是个体i的理想 点，当且仅当对所有x≠xi*，都有ui（xi*） >ui（x）; 上海财经大学

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●定理证明* 上海财经大学

●一维议案 □双峰偏好（Double-peaked preference） ●多元议案 ●二维组合 返回 （二）投票循环悖论：基本类型 ●一维议案 □双峰偏好（Double-peaked preference） ●多元议案 ●二维组合 返回 上海财经大学

1、一维议案 效 甲 用 乙 丙 x y z 图6 双峰偏好 上海财经大学

2、多元决策 表3 个体 第一选择 第二选择 第三选择 甲 T H D 乙 丙 上海财经大学

3、二维组合 □理想点、效用山（Utility mountain）与无差异 曲线（图3） □二元议案时的投票循环（图4） 向前 上海财经大学

y UA A（xA，yA） x 图3 理想点与无差异曲线 上海财经大学

y UC UA A D UB C E  K B x 图4 二元议案时均衡的不存在性 上海财经大学

（二） 循环悖论：存在的问题 ●问题的具体性质 □非决定性（集体非理性） □日程控制（Agenda manipulation） ●问题的严重程度 □循环出现的概率 返回 上海财经大学

投票循环的概率 表4 议案个数为3时无多数胜者的概率 人数 概率 1 0.000 15 0.082 3 0.056 17 0.083 5 0.069 19 7 0.075 21 0.084 9 0.078 23 11 0.080 25 13 0.081 ∞ 0.088 注：前提假设是所有序有同样的机会被每一个个体采用。 资料来源：吉尔博（1952）、加曼与凯明（1968）以及尼米和韦斯博格（1968）。 上海财经大学

注：前提假设是所有序有同样的机会被每一个个体采用。 资料来源：尼米和韦斯博格（1968）。 表5 无多数胜者概率的极限制 ◄◄ 方案数 概率 人数 1 0.000 20 0.681 2 25 0.730 3 0.088 30 0.765 4 0.176 35 0.791 5 0.251 40 0.812 10 0.489 45 0.829 15 0.609 注：前提假设是所有序有同样的机会被每一个个体采用。 资料来源：尼米和韦斯博格（1968）。 上海财经大学

（三）孔多塞规则的适用性 ●个体偏好的调整 ●修改投票的规则 ●投票程序的修正 ◄◄ 上海财经大学

1、个体偏好的调整 □一维：个体偏好类型 □二维：理想点的空间分布 □多元：个体偏好组合类型 □个体偏好的同质性程度 ◄◄ 上海财经大学

(b)增加的点对称分布在过均衡点的直线上 ■一般性条件 返回 （1）理想点的空间分布 ■ 探索性分析 (a)点分布在同一直线（如图5）； (b)增加的点对称分布在过均衡点的直线上 ■一般性条件 返回 上海财经大学

y A  C B x 图5 多元（维）议案与均衡 上海财经大学

个体偏好的空间分布（理想点分布） 上海财经大学

（2）个体偏好的组合形式 上海财经大学

a. 具有相同偏好的多数的存在，就足以保证多数规则均 （3） 个体偏好结构的同质性 a. 具有相同偏好的多数的存在，就足以保证多数规则均 衡的存在，而不管其他人的偏好如何（Kramer，1973； Buchanan，1954）； b. 循环发生的概率会随具有相同偏好人数比例的增多而递 减（Williamson 与 Sargent，1976; Gehrlein与 Fishburn, 1967）。 c. 财政竞争与财政联邦主义 上海财经大学

2、 对投票规则的修正 上海财经大学

3、投票程序的修正 ●逐步淘汰法 ●加权赋值法 返回 上海财经大学

三、黑尔机制 〇 黑尔机制（Hare system）的含义 ●个体在选票上以第一、第二、第三的方式对所有候选对 象做出排序。在偏好排序给定的基础上，根据首要偏好 的情况来进行淘汰和选择 ●如果有候选人所获得的选票数超过一半，即有半数以上 的人将候选人置于首位，那么，他就将宣布获胜 ●但如果没有，那么具有最少数的、投票人将其排在首位 的候选对象将被淘汰出局，而他所获得的所有选票将转 移给排在第二位置的候选对象 ● 继续该过程直到有一个候选对象能获得多数支持为止 上海财经大学

〇黑尔机制的运作结果（表2） 表2 选择过程 Y X Z V W 第一次计票 8 7 5 3 2 第一次淘汰与第二次计票 × 第二次淘汰与第三次计票 10 第三次淘汰与第四次计票 15 最终获胜者 √ 上海财经大学

〇 黑尔机制的性质 □优点 ■与最多票数规则比较：保证那些能够吸引 “最多数”但是为大多数所反对的备选议 案不会当选 上海财经大学

□不足 ■平均效率：被少数人排在最前面但在整体层面上 （平均排序）较高的备选对象可能被排除。比如说 V和W。 ■孔多塞效率：由于淘汰的依据是被最少数的人排 在最前面的备选对象，孔多塞胜者可能被过早地 淘汰出局。也就是说，即便存在孔多塞胜者，孔 多塞胜者不一定能得到选择，比如说V。 ◄◄ 上海财经大学

四、库姆斯机制 〇库姆斯机制（Coombs system）的含义 依次被集体决策过程所淘汰的是被最多的人排在 最后的议案和（或）候选人。具体来说，就是在 所有的议案中，每一投票者都指出被他排在最后 面的议案，然后删除被最多的投票人排在最后面 的议案，并按照同样的方法对剩下的个议案进行 表决，继续该过程直到只有一个议案为止，该议 案就是最终的获胜议案。 上海财经大学

〇库姆斯机制的运行结果 表3 投票过程 Y X Z W V 第一次计票 15 10 第一次淘汰与第二次计票 × 第二次淘汰与第三次计票 18 第一次淘汰与第二次计票 × 第二次淘汰与第三次计票 18 7 第三次淘汰与第四次计票 最终获胜者 √ 上海财经大学

〇 库姆斯机制的性质 ●与黑尔机制的共性：排斥极端议案、孔多塞胜者 可能未能得到选择 ●与黑尔机制的差异：黑尔机制倾向于选择被多数 人所支持的对象；库姆斯机制倾向于选择被最少 人所厌恶的对象 ◄◄ 上海财经大学

五、波尔达计票（Berda count） 〇 波尔达计票方法的具体过程 〇波尔达计票方法的合理性 〇波尔达计票方法存在的问题 ◄◄ 上海财经大学

1.波尔达计票方法的具体过程 ● 投票过程 考虑一个一般性的有n位成员就m个议案进行表决 的集体决策环境。就某一公共投票者而言，假设个 体对于议案的排序是P。于是可以按照议案排序的先 后顺序给予每一个议案一个分数（等价于是存在m 个等级）：居于最前面的议案得m分，第二位的得 m-1分，……最后的议案得1分。在赋值的基础上， 把每个议案的得分进行加总，得分最高者宣布获胜 ●具体例子 上海财经大学

表4 ◄◄ 议案 加权票数 总计 Ⅰ(8) Ⅱ(7) Ⅲ(5) Ⅳ(3) Ⅴ(2) y 5*8=40 1*7=7 1*5=5 1*3=3 表4 ◄◄ 议案 加权票数 总计 Ⅰ(8) Ⅱ(7) Ⅲ(5) Ⅳ(3) Ⅴ(2) y 5*8=40 1*7=7 1*5=5 1*3=3 3*2=6 61 z 2*8=16 2*7=14 5*5=25 2*3=6 4*2=8 69 w 3*8=24 3*7=21 4*5=20 3*3=9 5*2=10 84 v 4*8=32 4*7=28 3*5=15 5*3=15 2*2=4 94 x 1*8=8 5*7=35 2*5=10 4*3=12 1*2=2 67 上海财经大学

2.波尔达计票方法的合理性 □ 平均效率：波尔达计票往往会选择平均排序水平 相对较高的议案（比如说V）；它有 利于消除极端主义的议案或者候选人 □孔多塞效率：在孔多塞胜者存在的情况下，波尔 达计票一般会选择孔多塞胜者。当然 也有例外。 ◄◄ 上海财经大学

3.波尔达计票方法存在的问题 □ 波尔达计票方法可能引发个体战略性行为 □ 波尔达计票方法不满足“无关备选对象的独立性 （Independence of irrelevant alternatives）”性质 ◄◄ 上海财经大学

六、赞同投票（Approval voting） 〇 赞同投票方法运作的具体方式 ● 对于所有的备选对象，个体对于自己赞成的 备选对象投赞成票，而对自己不赞成的投反 对票。然后加总所有的赞成票数，票数最多 的备选对象当选。就赞同投票而言，其等价 于个体赋予自己赞同的备选对象的权数为1， 对于不赞同的备选对象赋予的权重为0。 ● 在赞同投票方式下，个体所投的票数可能不 一样，除非规定赞同票的票数。特别地，若 所有个体都只投一票，那就是最多票数规则 上海财经大学

赞同投票 表5 限定 票数 备选对象 获胜者 x y z v w 2 10 8 7 18 3 23 25 4 15 z、v、w 上海财经大学

七、点投票（Point voting） 〇点投票方法 给每位投票者一定的点数，比如说100点，投票者 可以根据自己对于议案或候选人的偏好强度将自 己的点数分配给各个议案或各位候选人。然后加 总各个议案或候选人所得到的点数，按照点数的 多少来确定最终的胜者。点投票的过程是个体分 配和赋予权重的过程，又叫“点分配方法（Point distribution method）”。 〇具体例子（假设个体根据偏好强度分配点数）。 上海财经大学

V(y)=286; V(z)=486;V(w)=518;V(v)=545;V(x)=665 表6 议案强度分布假设与计算结果 V1（8） Y24 V22 W20 Z18 X16 V2（7） X60 V15 W10 Z8 Y7 V3（5） Z38 W35 X5 Y0 V4（3） V40 X20 W19 Y3 V5（2） W28 Z21 Y18 V17 V(y)=286; V(z)=486;V(w)=518;V(v)=545;V(x)=665 上海财经大学

□ 若个体按照偏好强度真实投票，那无论是从平 均效率还是从孔多塞效率的角度来看，规则运 行的效率水平都会有一定的保证 〇 点投票方法的性质 □ 若个体按照偏好强度真实投票，那无论是从平 均效率还是从孔多塞效率的角度来看，规则运 行的效率水平都会有一定的保证 □ 投票规则存在战略性行为的激励 ■若将所有点分配给最偏好的备选对象，点 投票退化为最多票数规则。 ◄◄ 上海财经大学

八、否决投票 〇否决投票（Voting by veto）的含义 〇给定议案下的议案否决 〇议案集合的选择和提供 〇否决投票程序的性质总结 ◄◄ 上海财经大学

1. 否决投票（Voting by veto）的含义 ■每位参与投票的成员（通常是委员会成员）都 给出一个议案; ■由一个随机过程来确定否决投票的顺序，参与 投票的人就按照随机过程所确定的顺序就其中 的一个投否决票 ■直到最后只剩下一个议案为止，该议案就是否 决投票的胜者 ■个体二元选择：选择议案与否决议案 ◄ 上海财经大学

2.给定议案下的议案否决：一个例子 表7 议案 投票人 V1 V2 V3 a1 1 2 3 a2 a3 a0 4 上海财经大学

（1）否决次序为V1V2V3时的个体选择与集体选择 表8 V1与V2的选择 V3可能的选择 V3的最优选择 胜者 a1、a2 a3、a0 a0 a3 a1、a3 a2、a0 a2* a1、a0 a2、a3 a2 a2、a1 a0、a1 a1** a3、a1 a1 上海财经大学

（1）否决次序为V1V2V3时的个体选择与集体选择 表8（续） V1与V2的选择 V3可能的选择 V3的最优选择 胜者 a3、a1 a2、a0 a0 a2 a3、a2 a1、a0 a1 a3、a0 a1、a2 a2* a0、a1 a2、a3 a3 a0、a2 a1、a3 a0、a3 上海财经大学

（2）否决次序、个体选择与最终结果 表9 否决次序 个体最优选择 最终结果 Ⅰ Ⅱ Ⅲ V1V2V3 a2 a3 a0 a1 V1V3V2 上海财经大学

■结果的确定性与对循环的避免：循环为每一个议 案有1/3的获胜概率所取代； ■决策结果与否决的次序有关，但次序是随机决定 （3）给定议案下否决投票过程的性质 ■结果的确定性与对循环的避免：循环为每一个议 案有1/3的获胜概率所取代； ■决策结果与否决的次序有关，但次序是随机决定 的，因而不会存在人为的日程控制问题。 ◄◄ 上海财经大学

3.议案集合的提供与选择：一个例子 表8 议案 投票人 V1 V2 V3 a1 1 2 3 a2 3（2） a3 2（3） a0 4 上海财经大学

（1）个体议案提供决策的特点性质 ■如果个体能够提高自己议案在其它个体偏好排序 中的地位，那么，该议案获胜的概率会得到显著 的提高。在表8所给出的例子中，除了否决次序为 V1V2V3这一情形之外，在其它的否决次序下，a2 均会称为获胜议案。 ■为了提升自己所提议案获胜的概率，个体有考虑 其它个体利益的激励。 上海财经大学

（1）个体议案提供决策的特点性质（续） ■否决投票的激励效应在人数众多的情形中得到充 分的体现。就再分配问题而言，此时最终所选择 的往往是最公平的议案，次公平的议案虽然能得 到选择，但概率很低，而其它的议案根本无法得 到选择（Mueller,1978) 上海财经大学

（2）否决议案的激励效应证明:基本设定 ■基本设定 ●个体议案给出，其公平性由 ei定义和衡量。 ●按照公平性程度对其进行排序：p1、p2、…pn、 pn+1 ●假设否决次序为: V1、V2、…Vn ●为便于分析,定义Vi所否决的议案为ri,并定义Ei 为Vi以后所有个体(包括Vi本人)所否决的议案集 合; 上海财经大学

（2）否决议案的激励效应证明:具体过程 ◄ 表9 i ri Ei 可能获胜议案集 V1 V2 … Vn-2 Vn-1 Vn （2）否决议案的激励效应证明:具体过程 ◄ 表9 i ri Ei 可能获胜议案集 V1 p3,或p2或p1 {p2,p1} V2 p4,或p3或p2 {p3,p2,p1} … Vn-2 pn,或pn-1或pn-2 {pn+1,pn, ,pn-1}或 {pn+1 , pn , pn-2} {pn-2,pn-3…p1}或 {pn-1,pn-3,…p1} Vn-1 pn或pn-1 {pn+1,pn}或{pn+1,pn-1} {pn-1,pn-2…p1}或{pn,pn-2,…p1} Vn pn+1 {pn+1} {p1,p2…pn} 上海财经大学

4.否决投票性质的总结 ■激励效应与对个体利益的考虑 ■确定性与对循环的避免 ■对公共产品提供扩展 ◄◄ 上海财经大学

九、过程比较 〇孔多塞效率 〇功利主义效率 返回 上海财经大学

孔多塞效率 表9 投票机制 备选议案数 3 4 5 7 10 最多票数规则 79.1 69.4 62.1 52.0 42.6 赞同投票 76.0 69.8 67.1 63.7 61.3 二次选举 96.2 90.1 83.6 73.5 黑尔机制 92.7 89.1 84.8 77.9 库姆斯机制 96.3 93.4 90.2 86.1 81.1 波尔达计票 90.8 87.3 86.2 85.3 84.3 梅里尔（Merrill，1984）考虑25个投票者 上海财经大学

功利主义效率 表10 投票机制 备选议案数 3 4 5 7 10 最多票数规则 83.0 75.0 69.2 62.8 53.3 二次选举 89.5 83.8 80.5 75.6 67.6 黑尔机制 84.7 82.4 74.9 库姆斯机制 89.7 86.7 85.1 83.1 孔多塞准则 93.1 91.9 92.0 94.3 波尔达计票 94.8 94.1 94.4 95.4 95.9 梅里尔（Merrill，1984）考虑25个投票者 上海财经大学

第8讲 作业

习题1 在班长的选举过程中，在参选者为多个的 情况下，就最多票数规则、二次选举、黑 尔机制、库姆斯机制等投票规则来说，你 倾向于选择采用什么样的规则来进行班长 的选举？请说明自己的观点并说明理由。

习题2 《公共选择与政治立宪》第八章思考题的第四 题：采用最多票数规则情况下，如果你是第四 组中的一名投票者，在知晓其它个体偏好的情 况下，你会如何进行投票？请就自己所选择的 投票方式说明自己的理由。

习题3 在备选对象数为多个的情况下，如果采用加权 排序法来进行选择，就波尔达计票、赞成投票 与点投票这几种规则而言，你倾向于选择采用 什么样的规则来进行集体选择？请说明自己的 观点并说明理由。

作业5（Ⅲ）

习题6 试就孔多塞准则和波尔达计票这两种集体选择 规则进行比较，就三者的优劣性进行评价并说 明自己的理由。 返回

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