統計學: 應用與進階 第4 章: 多變量隨機變數

多變量離散隨機變數 獨立隨機變數 多變量連續隨機變數 共變數 多變量隨機變數之線性函數 條件期望值與條件變異數 機率模型的應用

多變量離散隨機變數 一但我們考慮兩個或兩個以上的隨機變數, 只知道隨機變數個別的分配是不夠的 我們必須討論隨機變數間的聯合機率分配, 亦即, 對於兩個或兩個以上的隨機變數所形成組合的發生機率都要予以考慮。

例子: 科技股(T) 與藍籌股(B) 則其聯合機率分配為 聯合機率分配vs. 邊際機率分配

邊際機率 顯而易見地, 這三個事件為互斥事件, 因此,

邊際機率 值得注意的是, 給定隨機變數之間的聯合機率分配, 我們可以據此找出隨機變數個別的邊際機率分配, 然而一般來說, 反之不然

條件機率分配 給定某一個隨機變數的資訊已知的情況下, 另一個隨機變數的機率分配 譬如說, 我們想知道: 給定藍籌股的報酬率為20% 下(B = 0.2), 則科技股報酬的條件機率值為何 P(T = t|B = 0.2)

條件機率分配 根據條件機率定義,

條件機率分配 表: T 的邊際機率分配與條件機率分配

兩獨立隨機變數 對於所有的實現值x 與y 而言, 如果 P(X = x, Y = y ) = P(X = x)P(Y = y ), 則稱X, Y 兩隨機變數相互獨立(independent)

獨立隨機變數與條件機率 給定X, Y 為獨立隨機變數且P(Y = y ) 6= 0,則 同理, 給定X, Y 為獨立隨機變數且P(X = x) ≠0, 則 P(X = x|Y = y ) = P(X = x)

獨立隨機變數與條件機率 兩隨機變數為獨立, 則給定任一隨機變數的資訊為條件, 並不會影響另一個隨機變數的條件機率值, eg. Y = 1/0 (晴天/下雨); X = 1/0 (中獎/摃龜) 為獨立隨機變數, 則給定今天是晴天並不會改變中獎機率: P(X = 1|Y = 1) = P(X = 1)

獨立隨機變數與邊際機率分配 我們之前說明, 給定隨機變數之間的聯合機率分配, 我們可以據此找出隨機變數個別的邊際機率分配, 反之則不然 然而, 如果隨機變數為獨立, 則給定隨機變數個別的邊際機率分配, 我們可以根據定義找出隨機變數之間的聯合機率分配

獨立隨機變數與邊際機率分配 X, Y 的邊際機率分配分別為 若X, Y 為獨立, 試找出X, Y 的聯合機率分配

一般化獨立隨機變數的定義 給定n 個獨立隨機變數X1, X2,...,Xn。則對於所有可能實現值x1, x2,...,xn,

多變量連續隨機變數 為了簡化數學符號, 假設我們所考慮的連續隨機變數Xi 之砥柱集合均為 給定n 個連續隨機變數(X1, . . . , Xn), 其聯合機率密度函數為f (x1, x2,...,xn), 則其聯合分配函數為

聯合分配函數與聯合機率密度函數 我們對於f (x1, x2,...,xn) 的要求為

邊際機率分配 給定X, Y 為兩連續隨機變數, 其聯合機率密度函數為f (x, y )。則X 與Y 的邊際機率分配可分別由下兩式求得

獨立隨機變數 給定X 與Y 為獨立連續隨機變數且其聯合機率密度函數為f (x, y ), 則 f (x, y ) = f (x)f (y ), 其中f (x) 與f (y ) 分別為X 與Y 的邊際機率密度函數

f (x1, x2, . . . , xn) = f (x1)f (x2) · · · f (xn), 獨立隨機變數 給定X1, X2, . . . , Xn 為獨立連續隨機變數且其 聯合機率密度函數為f (x1, x2, . . . , xn), 則 f (x1, x2, . . . , xn) = f (x1)f (x2) · · · f (xn), 其中f (xi) 為Xi 的邊際機率密度函數

共變數(covariance) 用來衡量兩隨機變數的共移性(comovement) 希臘字母 代表兩隨機變數的共變數

共變數 x − E(X), y − E(Y ) 與Cov(X, Y) 的正負項關係可整理如下:

相關係數(correlation coefficient) 共變數固然可以掌握兩隨機變數的共移性, 問題在於, 共變數的單位為: (X 的單位× Y 的單位), 譬如說公分×公斤 為了避免這個困擾, 我們定義一個新的共移性衡量, 稱之為兩隨機變數的相關係數 我們以 表示兩隨機變數的相關係數 其中 為希臘字母, 讀音為rho

相關係數 相關係數為一個沒有單位(unit free) 的衡量 −1 ≤ ≤ 1 −1 ≤ ≤ 1 = 1 代表兩隨機變數為完全正相關(perfect correlation) = −1 代表完全負相關(perfect negative correlation) = 0 代表零相關(zero correlation), 或稱無相關(no correlation, uncorrelated)

P(X = x, Y = y ) = P(X = x)P(Y = y ). 獨立與相關 X, Y 獨立隱涵X, Y 為無相關, 反之則不然隨機變數的獨立要求對於所有可能的實現值x, y , P(X = x, Y = y ) = P(X = x)P(Y = y ). 欲檢查X, Y 為無相關, 只有一個等式須符合:

多變量隨機變數之線性函數 兩種風險性資產報酬率分別為: X 與Y 。同時我們知道個別資產的預期報酬E(X), E(Y ), 變異數 Var (X), Var (Y ) 以及共變數Cov(X, Y) 建構一個投資組合(portfolio): Z = X + (1 − α )Y , 資金的α% 投入在X; (1 − α )% 投入在Y 。 我們所關心的不再是個別資產的預期報酬與變異數, 而是投資組合的預期報酬與變異數: E(Z)與Var (Z)。

重要性質 給定a, b 為常數,

重要性質 兩個隨機變數的線性組合之期望值, 就是期望值的線性組合: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

有關共變數的幾個性質: Cov(X, X) = Var (X) Cov(X, c) = 0 Cov(X1 + X2, Y1 + Y2) = Cov(X1, Y1) + Cov(X1, Y2) + Cov(X2, Y1) + Cov(X2, Y2) Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y) Cov(X, Y) = E(XY ) − E(X)E(Y )

Var (X +Y ) = Var (X)+Var (Y)+2Cov(X, Y). 其他重要性質 兩隨機變數加總後的變異數就等於兩隨機變數變異數的加總, 再加上它們之間的共變數 Var (X +Y ) = Var (X)+Var (Y)+2Cov(X, Y). 推廣到兩個以上的隨機變數

Var (X +Y ) = Var (X)+Var (Y)+2Cov(X, Y) Proof

Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y) Proof

E(Z) Proof

Var (Z)

獨立隨機變數之性質 給定X, Y 為相互獨立之隨機變數: E(XY ) = E(X)E(Y ), Cov(X, Y) = 0, Var (X + Y ) = Var (X) + Var (Y ).

獨立隨機變數與動差生成函數 給定X1, X2,. . . , Xn 相互獨立且其MGF 分別為MX1(t), MX2(t),. . . , MXn(t)。令 則

標準隨機變數(standardized random variables) 給定X ∼ (μ, ) 且令 則稱Z 為標準隨機變數,Z ∼ (0, 1).

條件期望值 令X 與Y 為隨機變數。則給定Y = y , X 的條件期望值(conditional expectation) 為 亦即, E(X|Y = y ) 為y 的函數。 因此, E(X|Y ) = g(Y ).

條件變異數 令X 與Y 為隨機變數。則給定Y = y , X 的條件變異數(conditional variance) 為 亦即, Var (X|Y = y ) 為y 的函數。 因此, Var (X|Y ) = h(Y ).

Var (Y ) = E (Var (Y |X)) + Var (E(Y |X)) . 重要的定理與性質 E[h(X)Y |X] = h(X)E[Y |X]. 雙重期望值法則 E(E[Y |X]) = E(Y ). 變異數分解 Var (Y ) = E (Var (Y |X)) + Var (E(Y |X)) .

例子 令N 為一服從Poisson() 的隨機變數。若 (X1, X2, . . . , XN+1) 為一組來自Bernoulli(p) 的隨機樣本, 且{Xi} 與N 相互獨立。令 試求 (a) 期望值E(SN+1) (b) 變異數Var (SN+1) 我們會在之後介紹Poisson() 隨機變數, 在此,我們先將以下性質視為給定: Xi ∼ Bernoulli(p), 則E(Xi ) = p, Var (Xi ) = p(1 − p); N ∼Poisson(λ), 則E(N) = Var (N) = λ

例子 注意到SN+1 是由兩個隨機變數: X 以及N 所組成, 且{Xi} 與N 相互獨立。因此, 欲求E(SN+1), 我們必須先找到E(SN+1|N), 再利用雙重期望值法則: E(SN+1) = E(E(SN+1|N)).

機率模型的應用 某資產(譬如說股票) 的報酬定義為 其中, pt 為今天的股票價格, pt+1 則為明天的股票價格, 顯然地, 由於我們無從得知明天的股票價格, 因此股票報酬Ri 為一隨機變數 這種報酬不確定的資產又稱做風險性資產

機率模型的應用 既然Ri 為一隨機變數, 我們自然能夠定義

資產組合 透過不同比重持有不同風險性資產所形成的組 合稱作資產組合(portfolio)。假設權重為 (α1, α 2, . . . , αn), 且 則資產組合Rp為

資產組合 由於Rp 為隨機變數的線性函數, Rp 本身自然也是隨機變數, 其動差分別為:

資產組合 兩種資產為例: