第6章 正弦电流电路 直流量：大小和方向均不随时间变化（U、I） ------- 直流电路 交流量：随时间周期变化、且平均值为零（u、i） ------- 直流电路 交流量：随时间周期变化、且平均值为零（u、i） 如正弦波、矩形波、三角波 ------- 交流电路 正弦量：随时间按正弦规律变化的电路变量 ----- 正弦电流电路（电路中电压、电流为同f正弦量）

6．1 正弦电流 正弦量的一般表示(以正弦电流为例)： 初 相ψi 振幅或幅值Im 角频率ω y i < 0 y i > 0 O w t i y i > 0 O w t i y i = 0 O w t i

6．1 正弦电流 一、幅值Im 幅值：最大值或振幅 周期量有效值： 正弦量有效值： 一般：正弦量的量值（大小）指有效值 交流仪表读数、电气设备额定值为有效值 电气设备耐压值为最大值 瞬时值i 有效值I （方均根）

6．1 正弦电流 二、角频率ω，频率f，周期T （快慢） T：s f：Hz（或1/s） ω：rad/s 工频：f =50Hz 线性电路中，若激励为同频率的正弦量，电路稳态响应也为同频率正弦量

6．1 正弦电流 三、初相 ，相位 （进程） 相位：表示变化进程，与t有关 初相：t=0时相位，与t无关 相位差φ： 同频率正弦量 三、初相 ，相位 （进程） 相位：表示变化进程，与t有关 初相：t=0时相位，与t无关 相位差φ： 同频率正弦量 φ>0: u超前i(i滞后 u) φ<0: u滞后i(i超前u) φ=0： u、i同相 φ= ：u、i反相 φ= ： u、i正交 参考正弦量：便于分析，选取某正弦量为参考，设其初相为0 （一般： ） （一般： ）

6．1 正弦电流 例题6.1：示波器显示三个工频正弦电压的波形如图所 示，已知图中纵坐标每格表示5V。试写出各电压的瞬 时表达式。 解： 取 u1为参考正弦量，即 图中 u2 比 u1 越前60o u3比u1滞后30o ,于是得

6．2 正弦量的相量表示 集中参数电路受两类约束: 元件约束：关联, R：u=Ri L：u=Ldi/dt C：i=Cdu/dt 结构约束：∑i=0 ∑u=0 容易求解 分析 求解 建立电路方程 (代数方程) 得直流解 （常量） 直流电路 不易求解 分析 求解 建立电路方程 (微积分方程) 得时域响应 （正弦量） 正弦电 流电路 思考：能否采用适当方法避免三角函数的加、减、微分、积分运算？ 答案：用复数表示正弦量，用复数运算代替正弦量运算，可简化运算

6．2 正弦量的相量表示 一、复数的表示方法 1、直角坐标式：A=a+jb 2、极坐标式： --------- 复平面上的点 或 --------复平面上的有向线段 其中：

6．2 正弦量的相量表示 二、正弦量的相量表示 1．相量 欧拉公式： 正弦量： 相量： -------最大值相量 -------有效值相量 相量的实质就是复数 -------最大值相量 -------有效值相量

6．2 正弦量的相量表示 2．相量图：将相量用复平面上有向线段表示 相量式： 相量图： 相量图

6．2 正弦量的相量表示 3．正弦量与相量的关系：一一对应 解析关系： 几何表示：正弦量瞬时值=旋转相量 在实轴投影

6．2 正弦量的相量表示 例题6.2：分别写出代表正弦量的相量 解： 切忌写成：

6．2 正弦量的相量表示 例题6.3：已知电压相量 写出各电压相量对应的正弦量（设角频率为ω） 解：

6．2 正弦量的相量表示 三、正弦量运算与相量运算的对应关系 1．惟一性： 同频正弦量， 2．线性： 同频正弦量， 3．微分规则： 若 则 1．惟一性： 同频正弦量， 2．线性： 同频正弦量， 3．微分规则： 2个同频率的正弦量相等，则对应相量也相等，反之亦然 （k1、k2为实数） 多个同频率的正弦量相加运算变换为相量（即复数）相加 若 则 正弦量对时间求导运算变换为用 jω乘以对应相量的运算

6．2 正弦量的相量表示 例题6.4：设电感的磁链为正弦量 它所 引起的感应电压也是同频率的正弦量 写 出电压相量和磁链相量的关系。 例题6.4：设电感的磁链为正弦量 它所 引起的感应电压也是同频率的正弦量 写 出电压相量和磁链相量的关系。 解：当u、i为关联参考方向， i和ψ的参考方向符合右螺旋定则时 或

6．3 基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫定律时域形式： KCL： KVL： 基尔霍夫定律相量形式： KCL： 或 KVL： 或 正弦量→相量 正弦量运算→相量运算 时域方程→相量方程 那么，列方程的依据：结构约束、元件约束的相量形式是什么呢？ 基尔霍夫定律时域形式： KCL： KVL： 基尔霍夫定律相量形式： KCL： 或 集中参数正弦电路，流出（或流入）任一节点电流相量代数和为零。 KVL： 或 集中参数正弦电路中，沿任一回路的电压相量代数和为零。

6．3 基尔霍夫定律的相量形式 例题6.5： V， V 求节点2与3之间的电压 ，并画出电压相量图。 解：

6．4 RLC元件端口特性方程的相量形式 一、电阻 时域模型 相量模型 相量图 波形图 时域方程： 相量方程： 或 大小关系 且 相位关系

6．4 RLC元件端口特性方程的相量形式 二、电感 时域方程： 相量方程： 时域模型 相量模型 相量图 波形图 感抗： 大小关系 相位关系 或 大小关系 且 相位关系

6．4 RLC元件端口特性方程的相量形式 三、电容 时域方程： 相量方程： 时域模型 相量模型 相量图 波形图 容抗： 大小关系 相位关系 或 大小关系 且 相位关系

6．4 RLC元件端口特性方程的相量形式 综上，由于用相量表示正弦量，用假象的模型即相量模 型表示元件，用复数表示元件参数，则对应元件的端口 特性方程均为代数方程 RLC元件端口特性方程的相量形式 R: L: C: 或 欧姆定律的相量形式：

6．5 RLC串联电路的阻抗 研究RLC串联电路电压和电流的相量关系及电路性质 等效阻抗 时域模型 相量模型 相量方程： 等效阻抗：： 阻抗 感抗 容抗 电阻 电抗 阻抗模 阻抗角

6．5 RLC串联电路的阻抗 欧姆定律的相量形式： 或 RLC串联电路等效阻抗： 阻抗模： φ>0 : u超前于i，呈感性 阻抗角：

6．5 RLC串联电路的阻抗 相量图 串联电路中由于各元件流过同一电流，所以宜选择 电流相量为参考相量（对应时域中的参考正弦量） 仿照矢量求和 相量模型 相量图 （感性电路） R、L、C串联电路电压相量图组成直角三角形

6．5 RLC串联电路的阻抗 例题6.6：一个电阻R = 15、电感L = 12mH的 线圈与C=5μF的电容器相串联，接在电压 　　　　　V的电源上， =5000rad/s。试求电流i、电容器端电压uC和线圈端电压uW 。 解： =15+j20 A

6．6 GCL并联电路的导纳 研究RLC并联电路电压和电流的相量关系及电路性质 等效导纳 时域模型 相量模型 相量方程： 等效导纳：： 导纳 容纳 感纳 电导 电纳 导纳模 导纳角

6．6 GCL并联电路的导纳 欧姆定律的相量形式： 或 GCL并联电路等效导纳： 导纳模： >0 : i超前于u ，呈容性 =0 : u与i同相，呈阻性 导纳角： 阻抗与导纳的等效变换：

6．6 GCL并联电路的导纳 相量图 并联电路中由于各元件承受同一电压，所以宜选择 电压相量为参考相量（对应时域中的参考正弦量） 相量模型 （容性电路）

6．6 GCL并联电路的导纳 正弦电路的等效电路随频率的不同而改变 例题6.7：有一GCL并联电路，其中G=2mS , L=1H , C=1 uF。试在频率为50Hz和400Hz两种情况下求其 串联等效电路的参数。 解： 并联等效导纳： 等效阻抗： 50Hz： Z≈(164+j235)Ω Z≈(236-j250)Ω 400Hz：

6．7 正弦电流电路的相量分析法 × 线性正弦 电流电路 建立微积分方程 (时域分析过程) 得时域响 应表达式 相量变换 相量反变换 相量电路模型 相量解 线性直流电路分析方法相量形式 解复系数线性代数方程 相量方程 （复系数代数方程）

6．7 正弦电流电路的相量分析法 例题6.8：判断对错（掌握阻抗的串、并联，分流、分压） × × √ × 解1：设电流为参考相量， 相量图法 U=16V （ ） I=8A （ ） I=8A （ ） U=36V （ ） × × √ × 解1：设电流为参考相量， 各元件电压电流取关联 相量图法

6．7 正弦电流电路的相量分析法 例题6.9 ：已知各元件的阻抗模相等，交流电流表A1读数为3A，求A2和A3读数 (相量图法) 解1：取电压为参考相量作相量图， 解2：取电压为参考相量，则： I1=IR=IL=IC=I3=3A， I2= IR=3 A A2和A3读数为4.242A和3A

6．7 正弦电流电路的相量分析法 相量分析法的一般步骤:③②① 时域电路 相量电路 求解相量电路, 得到相量解答 将相量解变换成时域解 ①

6．7 正弦电流电路的相量分析法 例6.10：图中 ， ， ， ， 求电流 。 （等效变换法） 解：将时域电路变换为相量电路

6．7 正弦电流电路的相量分析法 例题6.11： 已知电路中， ， w=100rad/s。试用支路电流法求电流 i1。 解： 节点KCL方程 例题6.11： 已知电路中， ， w=100rad/s。试用支路电流法求电流 i1。 解： 节点KCL方程 i1 i4 1 uS + - iS 0.01H 0.01F i2 i3 1 2 m l1 l2 回路KVL方程 m

6．7 正弦电流电路的相量分析法 例题6.12：列写回路电流方程 解：回路电流方程的相量形式

6．7 正弦电流电路的相量分析法 例题6.13：图示电路中 g =1S， ， w =1rad/s。列写节点电压方程 解： 列写节点电压方程： + - uS 1F 1H u2 iS 1W gU2 1 2 解： 列写节点电压方程： 互导纳 自导纳

6．7 正弦电流电路的相量分析法 例题6.14：列写图示电路的改进节点电压方程 由于除了节点电压变量外， 又增加了电流变量 、 又增加了电流变量 、 因此称之为改进节点法。 类似含纯电压源电路。 分析：理想变压器是二端口元件，其端口电压、电流不服从欧姆 定律，所以不能用自导纳和互导纳表示其参数。这时应采用改进 节点电压法，即增加端口电流 、 为变量。 联立求解

6．7 正弦电流电路的相量分析法 例题6.15：已知当C=0.05F 时 ，求当 C=0.25F 时， iC = ？（定理法） 解：构造戴维南等效电路 （1）先求等效阻抗 （2）再求开路电压相量 当C=0.05F 时 （3）求响应

6．8 含互感元件的正弦电流电路 一、互感元件的相量模型： 时域模型 相量模型 端口特性方程 时 域 频 域

6．8 含互感元件的正弦电流电路 列方程法 互感消去法 二、计算方法： 1、列方程法（宜用：支路电流法、回路电流法） 例题6.16：列出示电路的方程 解：用支路电流法 消去 、 得 ( 5 )

6．8 含互感元件的正弦电流电路 2、互感消去法 互感串联、并联、T形连接 无联接点时的传输和变换作用 从原边看，相当于无独立源交流一端口网络，可用阻抗来等效。 一次侧等效阻抗：

6．8 含互感元件的正弦电流电路 例题6.17：求图 (a)电路的戴维南等效电路。 解：（1）先求开路电压 （2）再求戴维南等效阻抗 独立源置零 （3）等效戴维南电路如图

6．9 正弦电流电路的功率 本节研究问题：正弦一端口电路的功率 一、瞬时功率 正弦电流一端口：关联， 吸收的瞬时功率： ① ② 反映一端口吸收 或者发出电能 平均值等于零。反映一端口与外部电路交换能量。 正弦电路瞬时功率实用价值不大，更关心功率的平均效果

6．9 正弦电流电路的功率 二、平均功率 平均功率： 功率因数： 功率因数角： 元件功率： 单位：W、mW…… 功率因数： 功率因数角： 元件功率： 正弦电路中，同相位电压和电流产生的平均功率等于其有效值之积； 相位正交的电压和电流不产生平均功率。

6．9 正弦电流电路的功率 三、无功功率 为了反映一端口与外电路之间的能量互换情况， 引入无功功率的概念 设感性一端口，吸收平均功率为： 单位：乏（Var) 电流有功分量 有功功率： 无功功率： 相量图 电流无功分量

6．9 正弦电流电路的功率 四、视在功率 有功功率 无功功率 视在功率的定义 P、 Q、S三者的关系可通过功率三角形描述 表示电气设备容量，单位伏安（VA） 功率三角形 P、 Q、S三者的关系可通过功率三角形描述

6．9 正弦电流电路的功率 五、功率因数的提高： 目的： 1、提高电气设备的利用率。 在视在功率一定时，功率因数越大，有功功率越大 例如：容量（额定视在功率）为1000kVA的变压器， 如果所接负载的功率因数为1，则其可传输的平均功率 为1000kW；当负载功率因数为0.5时，变压器只能传输 500kW的平均功率。 2、通过减少线路电流来减小线路损耗。 当发电机的电压和输出功率一定时，功率因数越大， 端电流越小，线路的功率损耗越小。

6．9 正弦电流电路的功率 五、功率因数的提高： 方法：感性负载并联电容 相量图分析： ---无功补偿法 L R - + 分析结果：

6．9 正弦电流电路的功率 例题6.18：在工频条件下测得某线圈的端口电压、电流和功率分别为100V、5A和300W。求此线圈的功率因数、等效电阻和等效电感。 L R - + 解：

6．9 正弦电流电路的功率 例题6.18：感性负载Z接于220V、50Hz正弦电源上，负 载的平均功率和功率因数分别为2200W和0.8。 求并联电容前电源电流、无功功率和视在功率。 并联电容，将功率因数提高到0.95，求电容大小、并联后电源电流、无功功率和视在功率。 （2） 解：（1） φ́

6．10 复功率 复功率： 单位：VA 人为构造出的复数，方便用相量法直接计算P、Q、S， 它不代表正弦量和相量 复功率等于电压相量与电流相量共轭的乘积 对阻抗： （X>0:感性无功 X<0: 容性无功）

6．10 复功率 2、复功率守恒： 各支路“吸收”（或“发出”）的复功率代数和为零 则： 平均功率守恒： （各电源发出的平均功率之和等于各负载吸收的平均功率之和） 无功功率守恒： （各电源 “发出” 无功功率代数和等于各负载 “吸收”无功功率代数和）

6．10 复功率 例题6.19： ，求各元件复功率，并判断其类型 各元件吸收的复功率： 电源 电阻 解： 感性电源 电容

6．11 最大功率传输定理 本节研究的问题：负载获得最大功率的条件 含有内阻抗的正弦电源向负载供电，已知源电压相 量 和内阻抗 ，负载阻抗 。那 么负载阻抗 取何量值时能获得最大功率？

6．11 最大功率传输定理 1． 量值可随意变化： 2．负载阻抗 模可任意变化，阻抗角不能改变： 当 时，负载获得最大功率， 1． 量值可随意变化： 2．负载阻抗 模可任意变化，阻抗角不能改变： 当 时，负载获得最大功率， 最大功率匹配或共轭匹配 当 时，负载获得最大功率，并可求此最大功率

6．11 最大功率传输定理 例如： 当 ， 时，符合第二种情况。 获最大功率条件： 当 时，ZL随意，符合第一种情况。 当 ， 时，符合第二种情况。 获最大功率条件： 当 时，ZL随意，符合第一种情况。 最大功率传输定理常常与戴维南定理结合使用

6．11 最大功率传输定理 例题6.20：实际电源模型中 ， 电源发出最大功率 （1）负载阻抗 可任意改变，求电源可发出的最大功率。 例题6.20：实际电源模型中 ， （1）负载阻抗 可任意改变，求电源可发出的最大功率。 （2）通过理想变压器接一电阻负载 ，问变比 为多少，电源可发出最大功率，求此最大功率。 电源发出最大功率 S

6．11 最大功率传输定理 （2）通过理想变压器接一电阻负载 ，问变比 为多少，电源可发出最大功率，求此最大功率。 （2）通过理想变压器接一电阻负载 ，问变比 为多少，电源可发出最大功率，求此最大功率。 (2)将RL折算到理想变压器的原端为 电源发出最大功率，即

本章小结 1、正弦量的相量表示法 2、相量形式的基尔霍夫定律和欧姆定律 3、R、L、C和互感元件的相量模型及其端口特性相量方程 4、正弦电路计算的相量分析法 5、功率的有关概念 平均功率（有功功率）、无功功率、视在功率、复功率 6、最大功率传输定理