第四章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.2 拉普拉斯变换的基本性质 4.3 拉普拉斯逆变换 第四章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.2 拉普拉斯变换的基本性质 4.3 拉普拉斯逆变换 4.4 LTI系统的复频域分析 4.5 系统函数及其零、极点分布特性 4.6 系统的信号流图及系统模拟 4.7线性系统的稳定性

4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 傅里叶变换条件，信号在无限区间绝对可积

象函数 原函数

　　傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系，而拉氏变换则建立了在时域和复频域间的关系。同时我们发现，在拉氏变换中，当变量s中的实部σ=0时，拉氏变换就变成了傅氏变换，也就是说，傅氏变换是拉氏变换的一个特例。  　　在实际问题中，我们遇到的都是因果信号，信号总有发生的起始时刻，如果将起始时刻定为时间原点， 则 所以

上式称为f(t)的单边拉普拉斯变换。所以有 此处主要讨论单边拉普拉斯变换。这样，t<0时f(t)的取值与变换结果无关。单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限从0-开始，本书中的拉普拉斯变换的积分下限0均指0-。不过，为了书写简便常常写为0。

二、拉氏变换的收敛域 　　在引入拉氏变换时我们说过，当f(t)乘以衰减因子e-σt后， 就有可能找到合适的σ值使f(t)e-σt绝对可积，从而f(t)e-σt的傅氏变换存在，继而得到f(t)的拉氏变换。那么，合适的σ值如何确定呢？或者说，如果把合适的σ取值范围称为拉氏变换收敛域的话，那么如何确定该收敛域？下面通过一个例题对拉氏变换的收敛域给予说明。

【例】求指数函数 (α>0, α∈R)   的象函数F(s)。 【解】根据定义

由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为 只要选择σ>α，随着时间t的增大，e-(σ-α)t将会衰减。故有 从而使f(t)的象函数为 若σ<α，e-(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在。

　　从上述讨论中可以看到，f(t)乘以衰减因子e-σt后是否一定满足绝对可积条件，还要看f(t)的性质和σ的相对关系而定。 　　一般而言，若极限 在σ>σ0时取值为零，则收敛条件为σ>σ0 。

　　在以σ为横轴，jω为纵轴的复平面（s平面）上，σ0在复平面称为收敛坐标，通过σ0的垂直线是收敛区的边界，称为收敛轴。 收敛轴将复平面划分为两个区域，σ> σ0的是一个区域，称为象函数F(s)的收敛域，如下图所示。

三、典型信号的拉普拉斯变换 1. 单位阶跃信号u(t)

表4―1 常用信号及其拉氏变换

4.2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性（叠加性、均匀性） 若 则 例：

二、时移性 证明：

三、 尺度变换（比例）特性 若 则 证明:

四、复频移性 若 则 五、时域微分性

证明:根据拉氏变换定义 得证。

同理可得 依此类推,可得证。

六、 复频域微分特性

七、时域积分 八、复频域积分

九、 初值定理 若 存在,则f(t)的初值

十、终值定理 　　 使用终值定理求f(∞)时，应注意只有在f(t)的终值存在的情况下，才能使用终值定理求函数终值，否则，会导出错误的结论。这一点可从s域做出判断：F(s)的极点必须分布在s平面的左半平面内或在原点上仅有一阶极点，终值定理才可应用。（也即s=0的点应在sF(s)的收敛域内，否则不能应用终值定理。）

十一、卷积定理 若  则

表4―2 拉氏变换的性质

4.3 拉普拉斯逆变换 一、部分分式展开法 含有高阶导数的线性、常系数微分方程经拉氏变换成为s的多项式，常见的拉氏变换式是复频域变量s的多项式之比（有理分式）,一般形式是

若N(s)阶次比D(s)的阶次高，则要利用长除法将F(s)化成如下的多项式与真分式之和的形式： N(s)：F(s)的分子多项式 D(s)：F(s)的分母多项式 an、bm：实数 若N(s)阶次比D(s)的阶次高，则要利用长除法将F(s)化成如下的多项式与真分式之和的形式： 真分式

由此看出，有理多项式部分易于根据典型信号δ(t)的拉普拉斯变换和拉普拉斯变换性质求得。所以，下面着重讨论有理真分式（即m<n） 的逆变换。 

(1)D(s)=0根都是相异实根 F(s)可以展开为部分分式之和。即

例: 求 的原函数f(t)。 解: 首先将F(s)化为真分式 所以F(s)的真分式可展成部分分式

于是F(s)可展开为

(2)D(s)=0的根有复根且无重根 的反变换可用配方法

例: 求 的原函数f(t)。 解（1）用部分分式展开法 D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)=0, 共轭复根s1=-1+j2,s2=-1-j2 由于K1与K2是共轭的,所以

(3) D(s)=0的根为重根  若D(s)=0只有一个p重根s1,即s1=s2=…=sp,而其余(n-p)个全为单根,则D(s)可写成 F (s)展开的部分分式为

例: 求 的原函数f(t)。 解: D(s)=0有一个单根s1=-1和一个三重根s2=-2。 将F(s)展开为

二、留数法（围线积分法） 拉式反变换： 此为一个复变函数的线积分。其积分路径是S平面内平行于 轴的 直线AB（亦即直线AB必须在收敛轴以右） 直接求这个积分是困难的，但从复变函数论知，可将此积分的问题转化为求F(s)的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的代数和——留数法。

闭合回线确定的原则：把F(s)的全部极点包围在此闭合回线的内部，因此，从普遍性考虑此线应有直线AB与直线AB左侧半径R=∞的圆CR所组成。

（1）若pi为D(s)=0的单根（即为F(s)的一阶极点），则其留数为 （2）若pi为D(s)=0的m阶重根（即为F(s)的m阶极点），则其留数为

4.4 拉普拉斯变换分析法 拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具,它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统的初始状态自然地含于象函数方程中,既可分别求得零输入响应、零状态响应,也可一举求得系统的全响应。

一、直接利用拉氏变换求解微分方程 例:描述某LTI连续系统的微分方程为 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t) 已知输入f(t)=u(t),初始状态y(0-)=2,y(0-)=1。 求系统的零输入响应。 解: 对微分方程取拉普拉斯变换,可得 s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s) 即 (s2+3s+2)Y(s)-［sy(0-)+y′(0-)+3y(0-)］=2(s+3)F(s)

可解得 将 和各初始值代入上式,得

对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应分别为 系统的全响应 或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 直接求全响应时,零状态响应分量和零输入响应分量已经叠加在一起,看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况。这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引入了初始状态。简化了微分方程的求解。

二、电路的s域元件模型 网络结构复杂时，列写微分方程繁琐 模仿正弦稳态分析的相量法： 先将电路元件、支路电压、电流进行变换，再用s域的KCL、KVL 1、R、L、C的s域模型 iL(0-) = iL(0+) uc(0-) = uc(0+) （1）、用于回路分析(串联模型)

uR(t)=RiR(t) UR(s)=RIR(s) 图(1) R的时域和S域串联模型 (a) 时域模型； (b) S域模型

图(2) 电感L的时域和S域串联模型 (a) 时域模型； (b) S域模型

(b) 图(3) 电容元件的时域和S域串联模型 (a) 时域模型； (b) S域模型 （2）用于结点分析（并联模型）

iR(t)= uR(t)/R IR(s)= UR(s)/R 图(4) R的时域和S域并联模型 (a) 时域模型； (b) S域模型

图(5) 电感L的时域和S域并联模型 (a) 时域模型； (b) S域模型

图(6) 电容元件的时域和S域并联模型 (a) 时域模型； (b) S域模型

若初始状态为零状态： iL(0-) = iL(0+)＝0 uc(0-) = uc(0+)＝0 则描述动态元件起始状态的电压源、电流源不存在（为零） （a) 图(7) 电感、电容元件的零状态S域模型 (a)电感元件； (b)电容元件

表4-3 电路元件的s域模型

零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,即 4.5 系统函数（网络函数）H(s) 一、系统函数H(s)定义 零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,即 ＝ 系统函数与系统的激励无关,仅决定于系统本身的结构和参数。系统函数在系统分析与综合中占有重要的地位。下面讨论如何围绕系统函数进行系统分析。

二、网络函数名称 1、策动点函数（输入、输出在同一端口） 策动点阻抗[求u(t)] 例：H(s)=Ui(s) / Ii(s) 策动点导纳[求 i(t)] 例：H(s)= Ii(s) / Ui(s) 2、转移函数（输入、输出在不同端口） 转移阻抗[求u(t)] 转移导纳[求 i(t)] 转移电压比（电压传输函数） 转移电流比（电流传输函数）

Ii(s) Ij(s) Ui(s) 系统 Uj(s) 三、H(s)与h(t)的关系: R(s) = H(s)E(s) r(t) = e(t)*LT-1[H(s)] 而LT-1[H(s)]＝h(t) 即系统的冲激响应h(t)与系统函数H(s)构成了一对拉普拉斯变换对,h(t)和H(s)分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性,且只能用来描述零状态特性。

下图表述了求解系统响应的过程, 如果系统本身 存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入响应。 四、利用网络函数求解网络的零状态响应 下图表述了求解系统响应的过程, 如果系统本身 存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入响应。 图(1) 系统的s域分析示意图

4.6 系统函数的零、极点分布 一、零点与极点的概念 式中zj为系统的零点(即当s位于零点时，函数H(s)的值等于零)，pi为系统的极点(即当s位于极点时，函数H(s)的值等于无穷大) 。

二、由系统函数的零、极点分布确定系统的时域特性 式中, pi=σi+jωi  以jω虚轴为界， 我们将s平面分为左半平面与右半平面。 由H(s)的零、极点分布分析h(t)的变化规律。 (1) pi=σi+jωi为一阶极点。 若σi>0， 极点在s平面的右半平面， hi(t)随时间增长； σi<0， 极点在s平面的左半平面， hi(t)随时间衰减； σo=0， 极点在s平面的原点(ωi=0)或虚轴上， hi(t) 对应于阶跃函数或等幅振荡。 

(2) pi=σi+jωi为高阶（二阶以上）极点。 σi>0或σi<0时， hi(t)随时间变化的趋势同一阶情况； σi=0时， 对应于t的正幂函数或增幅振荡。  (3) 系统函数H(s)的全部极点在左半平面(σi<0)， h(t)随时间衰减趋于零； 系统函数H(s)有极点在虚轴及右半平面(σi≥0)， h(t)不随时间消失。 从以上分析可知， 由系统函数H(s)极点在s平面上的位置， 便可确定h(t)的模式， 判断单位冲激响应是随时间增长或衰减为零的信号， 还是一个随时间等幅振荡（或阶跃）的信号， 如下图所示。

图(1) 零、 极点与单位冲激响应模式

H(s)零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应模式无影响。

三、由系统函数零、极点分布决定频响特性 所谓频响特性是指系统在正弦信号激励之下瞬态响应随信号频率的变化情况。这包括幅度响应和相位响应两个方面。可根据系统的H(s)在s平面上的零、 极点分布大致地描绘出系统的频响特性|H(ω)|~ω和φ(ω)~ω。下面介绍这种方法的原理。

分母中任一因子 相当于由极点 引向虚轴上某点 的一个矢量；分子中任一因子 相当于由零点 引至虚轴上某点 的一个矢量。 取s=jω， 即在s复平面中令s沿虚轴移动， 得到 分母中任一因子 相当于由极点 引向虚轴上某点 的一个矢量；分子中任一因子 相当于由零点 引至虚轴上某点 的一个矢量。

其中, Nj、 Mi分别是零、 极点矢量的模； φj, θi分 别是零、 极点矢量与正实轴的夹角。于是 对于任意零点zj和极点pi， 相应的复数因子(矢量) 如下图所示都可以表示为零点与极点矢量 其中, Nj、 Mi分别是零、 极点矢量的模； φj, θi分 别是零、 极点矢量与正实轴的夹角。于是

式中

由此可见, 当ω沿虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和幅角都随之改变，于是得出幅频特性曲线 |H(ω)|~ω和相频特性曲线 φ(ω)~ω。这种方法也称为s平面几何分析。 当系统函数零、 极点数目不是很多， 利用零、 极点矢量作定性的分析还是有其方便之处的。 

例: 用s平面几何分析法求如下图所示高通滤波器的幅频、 相频特性。 图(2) 高通滤波器

解 零点z1=0， 极点p1=-1/RC 幅频特性： 当ω=0时， N1=0， 所以,

图(3) 高通滤波网络的零点与极点矢量

当ω增大时， 导致N1, M1增大， 且趋于|H(ω)|；  相频特性：  φ(ω)~ω φ(ω)=ψ1-θ1， 其中， ψ1=π/2, 所以 当ω=0时， θ1=0， 当ω增大时， 导致θ1增大， 且趋于 ω趋于∞时， θ1趋于π/2 ， φ(ω)趋于0。 

由3分贝截止频率定义 得 解出

RC高通滤波网络的频响特性

这种在虚轴上的零、 极点情况是特例, 而一般意义的零、 极点通常表示为zj=αj+jωj， pi=αi+jωi。 其中αj, αi为实部， 当αj, αi很小时， 零、 极点靠近虚轴， 此时由零、 极点定性绘出的系统幅频特性及相频特性曲线具有以下特点 (1) 幅频特性 在ω=ωi点， Mi=|pi|=|αi+jωi|最小， |H(ω)|| ω=ωi出现峰值； 在 ω=ωj点， Nj=|zj|=|αj+jωj|最小， |H(ω)|| ω=ωj出现谷值。  (2) 相频特性 在ω=ωi、 ω=ωj附近相位变化均加快。

在系统分析与设计时， 幅频特性及相频特性曲线是十分有用的。 但在实际应用中, 用逐点矢量作图法准确地计算幅频、 相频特性是很不容易的。 尤其是零、 极点数量较多的高阶系统， 无论计算与作图都相当困难。 利用MATLAB程序可以很方便地得到一般系统函数的频响特性。 

4.7 全通系统与最小相移系统的零、 极点分布  1. 全通系统  1. 全通系统 如果一个系统函数的极点位于左平面,零点位于右平面,而且零点与极点对于jω轴互为镜像,那么,这种系统函数称为全通函数,此系统则称为全通系统或全通网络。所谓全通是指它的幅频特性为常数,对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。 三阶全通系统零、 极点分布示意图如下图所示：

图(1) 全通系统零、 极点分布示意图

不难看出 式中, H0为常数。 由于φ(ω)不是常数, 随着零、 极点的个数（系统阶数）和零、 极点分布不同而不同， 实际应用中正是利用这种相位特性做相位校正网络或时延均衡器。

2. 最小相移系统 实际应用中， 会遇到在幅频特性相同情况下， 希望得到系统的相移（时延）最小， 这样的系统称为最小相移系统。 此处不加证明给出最小相移系统的条件为： 全部零、 极点在s平面的左半平面(零点可在jω轴上)， 不满足这一条件的为非最小相移系统。 下图是幅频特性相同， 最小相移系统与非最小相移系统的零、 极点分布示意图。 

图(2) 最小相移系统与非最小相移系统零、 极点分布示意

非最小相移函数可以表示为全通函数与最小相移函数的乘积。 图(3) 组成非最小相移函数的最小相移与 全通函数零、 极点分布

y(t)=x1(t)+x2(t) 拉氏变换 Y(s)=X1(s)+X2(s) 4.8连续系统的模拟以及信号流图 一、三种运算器 时域 　　　　　　 复频域 1．加法器 X1(s) Y(s) X2(s) x1(t) y(t) x2(t) y(t)=x1(t)+x2(t) 拉氏变换 Y(s)=X1(s)+X2(s)

y(t)=ax(t) LT Y(s)=aX(s) ２．标量乘法器 时域 　　　　　　 复频域 a x(t) y(t) a X(s) Y(s) y(t)=ax(t) LT Y(s)=aX(s)

3．积分器 时域 　　　　 复频域  x(t) y(t) X(s) Y(s)

二、系统模拟的定义与系统的模拟图 　　　用上述三种器件来模拟给定系统的数学模型——微分方程或系统函数，称为线性系统的模拟，简称系统模拟。 　　　经过模拟而得到的系统称为模拟系统。 　　　由加法器、数乘器和积分器连接而成的图称为系统模拟图，简称模拟图。 三、常用的模拟图形式 　　　　直接形式、并联形式、级联形式和混联形式

四、系统的框图 　　一个系统是由许多部件或单元组成的，将这些部件或单元各用能完成相应运算功能的方框表示，然后将这些方框按系统的功能要求及信号流动的方向连接起来而构成的图，即称为系统的框图表示，简称系统的框图。 Ｓ域框图 时域框图

由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。 五、系统的信号流图与梅森公式 １．信号流图 　　　由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。 流图表示 框图表示

结点和支路　　每个结点对应于一个变量或信号，连接两结点间的有向线段称为支路。每条支路的支路增益就是该两结点间的系统函数。 源点与阱点　　仅有出支路的结点称为源点，仅有入支路的结点称为汇点或阱点。 通路　　从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点到达另一结点的路径称为通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。如果通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路或回路（或环）。相互没有公共结点的回路称为不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路，称为自回路（或自环）。

前向通路　　从源点到汇点的开通路称为前向通路。前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。 例：（略） 注：在运用信号流图时，应遵循它的基本性质，即 (1)信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积； (2)当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。

　2. 梅森公式 　　梅森公式是利用信流图对系统进行分析的一个重要工具， 通过它我们可以很方便地从流图中得到系统的传输函数。 同时，它也为系统的模拟提供了一个参考模型。

4.9 线性系统的稳定性 稳定性是系统本身的性质之一， 与激励信号无关。 稳定系统也是一般系统设计的目标之一。 稳定性的概念有几种不同的提法， 但是没有实质性的差别。 这里给出普遍采用的稳定系统定义： 有界输入产生有界输出（简称BIBO）的系统。 如果对有界激励， 系统的响应无界， 系统就是不稳定的。 LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是单位冲激响应绝对可积。

式中, M为一有界的实数。 满足上式的h(t)， 一定是随时间衰减的函数， 即 。 LTI系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统特性， 稳定性也必在其中。 因此既可由 的不同情况， 也可由H(s)的极点分布， 对系统稳定性分类。 

一、 系统稳定性分类 1. 稳定系统 　　　　若H(s)的全部极点在s的左半平面（不包括虚轴）， 则单位冲激响应可以满足 系统是稳定的。

2. 不稳定系统 若H(s)有极点落在右半平面， 或者在虚轴、 原点处有二阶以上的重极点， 则单位冲激响应为 系统是不稳定的。

3. 边（临）界稳定 若H(s)在原点或虚轴上有一阶极点， 虽然单位冲激响应 ， 但h(t)在足够长时间以后，趋于一个非零的数值或形成一个等幅振荡。这处在稳定与不稳定两种情况之间， 所以称边（临）界稳定。通常将其归为不稳定系统。 

二、 稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系 　　　　系统函数

稳定系统的极点应位于s平面的左半平面， 因此D(s)根的实部应为负值。 它对应以下两种情况： (1) 实数根， 其因式为 (s+a) a>0  (2) 共轭复根， 其因式为 (s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2 =s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c 

上式表明复数根只能共轭成对出现， 否则不能保证b、 c为实数。 又因为复数根的实部应为负值(α>0)， 所以b、 c必为正值。 综上所述， 将D(s)分解后， 只有(s+a)、 (s2+bs+c)两种情况， 且a、 b、 c均为正值。 这两类因式相乘后， 得到的多项式系数必然为正值， 并且系数为零值的可能性也受到了限制。 由此我们可得到稳定系统与分母多项式 D(s)的系数关系：

(1) D(s)的系数ai全部为正实数;  (2) D(s)多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项。  以上是系统稳定的必要条件而非充分条件。 如果给定H(s)表示式， 由此可对系统稳定性作出初步判断。 若当系统为一阶、 二阶系统时， 系数ai>0就是系统稳定的充分必要条 件(i=0, 1)。 

例： 已知系统的H(s)如下， 试判断是否为稳定系统？

解： (1) 分母有负系数所以为不稳定系统； (2) D(s)中缺项， 所以不是稳定系统；  (3) D(s)满足稳定系统的必要条件， 是否稳定还需进一步分解检验。  对D(s)进行分解  D(s)=3s3+s2+2s+8=(s2-s+2)(3s+4)  可见D(s)有一对正实部的共轭复根， 所以系统(3)为不稳定系统。

例： 如下图所示反馈系统， 讨论当k从零增长时系统稳定性变化。

解 ： Y(s)=V(s)G(s)  将V(s)=F(s)-kY(s)代入上式， 得  Y(s)=［F(s)-kY(s)］G(s)=F(s)G(s)-kY(s)G(s) 整理上式， 得  Y(s)［1+kG(s)］=F(s)G(s) 由此得到

其中

代入具体值讨论：  k=0时， 反馈支路开路， 系统无负反馈， 极点为p1=1， p2=-2， 系统不稳定； k=2时， 系统加了反馈， 极点为p1=0， p2=-1， 系统临界稳定； k=9/4时， 系统进一步加大了反馈， 极点为p1=p2=-1/2， 系统稳定； k>9/4， p1、 p2为具有负实部的共轭复根， 系统稳定。 k不同极点的变化轨迹如下图所示。  以上分析可知k>2系统稳定， k<2系统不稳定。 可以推得一般结论： 系统加负反馈可以增加系统的稳定性。 　　　　由二阶系统稳定的充分必要条件ai>0， 亦可得到k>2系统稳定的相同结论。

　　　　极点的变化轨迹

三、 罗斯稳定性准则 由上面的讨论已知， 当H(s)满足稳定系统必要条件时， 为判断H(s)极点具体位置， 需要求分母多项式D(s)的根。 这项工作往往很繁， 尤其求高阶系统的特征根不容易。 实际上为了判断系统稳定性， 不需要解出方程全部根的准确值， 只要知道系统是否有正实部或零实部的特征根就可以了。 1877年罗斯提出一种不计算代数方程根的具体值， 只判别具有正实部根数目的方法， 就可以用来判断系统是否稳定。 

罗斯准则（判据）: 若 D(s)=ansn+an-1 s n-1+…+a1s+a0  则D(s)方程式的根全部位于s左半平面的充分必要条件是D(s)多项式的全部系数ai大于零、 无缺项、 罗斯阵列中第一列数字符号相同。

“罗斯阵列”排写如下

其中， 罗斯阵列前两行由D(s)多项式的系数构成。 第一行由最高次项系数an及逐次递减二阶的系数得到。 其余排在第二行。 第三行以后的系数按以下规律计算：

依次类推， 直至最后一行只剩下一项不为零， 共得n+1行。 即n阶系统， 罗斯阵列就有n+1行。  如果第一列an、 a n-1、 b n-1、 c n-1、 d n-1、 en-1、 …各元素数字有符号不相同， 则符号改变的次数就是方程具有正实部根的数目。  例； 用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根。  D(s)=2s4+s3+12s2+8s+2 解 全部系数大于零， 无缺项； n=4， 排出n+1=5行。

罗斯阵列为：  　　　　第一列数字两次改变符号（从1→-4； -4→8.5）， 所以有两个正实部的根， 为不稳定系统。

4.10 双边拉氏变换 1. 定义 先讨论e-σt作用。 当σ一定时， 若t>0时e-σt为收敛因子， 则t<0时e-σt为发散因子， 有  但是， 如果有函数在σ（σ1<σ<σ2）给定的范围内, 使得

则函数的双边拉氏变换存在， 并记为 或

2. 双边拉氏变换的收敛区 双边拉氏变换收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围， 或是使f(t)的双边拉氏变换存在的σ取值范围。  我们通过实例讨论双边拉氏变换存在的条件， 即双边拉氏变换的收敛区。 

例: 已知函数f(t)=u(t)+etu(-t)， 试确定f(t)双边拉氏变换的收敛区。 解 将积分分为两项 ① ② 对第①项， 只有1-σ>0， 即1>σ时积分收敛； 收敛区如下图 (a)所示。

图 　　　　①、 ②收敛区

对第②项， 只有σ>0时积分收敛， 收敛区如图 (b)所示， 两项的公共收敛区为0<σ<1。 因此只有当0<σ<1时， ， 双边拉氏变换存在， f(t)波形与收敛区如下图（c）所示。 其双边拉氏变换为

图 (c) f(t)与收敛区

通常， 双边拉氏变换有两个收敛边界， 一个取决于t>0的函数， 是左边界， 用σ1表示； 另一个取决于t<0的函数， 是右边界， 以σ2表示。 若σ1<σ2时， 则t>0与t<0的变换有公共收敛区, 双边拉氏变换存在。 因此， 双边拉氏变换的收敛区是s平面上σ1<σ<σ2的带状区， 如下图所示。 若σ1≥σ2时， t>0与t<0函数的拉氏变换没有公共收敛区， 双边拉氏变换不存在。 

　 双边拉氏变换收敛区示意图

例： 已知 ， 求所有可能的f(t)。  解 FB(s)可能的收敛区有(a) 0<σ<1； (b) σ>1； (c) σ<0三种情况， 对应的f(t)为  0<σ<1 f1(t)=u(t)+etu(-t) σ>1 f(t)=(1-et)u(t) σ<0 f3(t)=(et-1)u(-t)

4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 本章开始, 是由傅氏变换引出了拉氏变换的概念, 现在借助下图， 重新回顾双边拉氏变换、 单边拉氏变换、 傅氏变换的关系。

　　 拉氏变换与傅氏变换的关系

由图可见拉氏变换与傅氏变换的联系与区别： 傅氏变换是σ=0的双边拉氏变换， 或虚轴上的双边拉氏变换， 是双边拉氏变换的特例； 单边拉氏变换是t<0， f(t)=0时的双边拉氏变换， 或是f(t)u(t)e-σt的傅氏变换；双边拉氏变换是傅氏变换在s平面上的推广，是复平面上的傅氏变换。  在实际应用中， 信号通常都具有因果性， 所以除特别说明外， 本书的拉氏变换一般是指单边拉氏变换。 