第二节 拉氏变换解线性微分方程 一、拉氏变换的定义 二、常用函数的拉氏变换 三、 拉氏变换的定理 四、拉氏反变换

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1 第二节 拉氏变换解线性微分方程 一、拉氏变换的定义 二、常用函数的拉氏变换 三、 拉氏变换的定理 四、拉氏反变换
第二章　自动控制系统的数学模型 第二节 拉氏变换解线性微分方程 一、拉氏变换的定义 二、常用函数的拉氏变换 三、 拉氏变换的定理 四、拉氏反变换 五、用拉氏变换解线性微分方程 上一目录

2 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。
第一节 控制系统的微分方程 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路： 时域t 复数域s 拉氏变换 线性微分方程 代数方程 求解 拉氏反变换 微分方程的解 代数方程的解

3 (3) ∫ f(t)e <∞ 一、拉氏变换的定义 如果有一函数满足下列条件： (1) t <0 时 f(t)=0
第一节 控制系统的微分方程 一、拉氏变换的定义 如果有一函数满足下列条件： (1) t <0 时 f(t)=0 (2) t≥0 时 f(t)是分段连续的 (3) ∫ f(t)e <∞ -st ∞ f(t)的拉氏变换为： f(t)e-stdt F(s)= ∞ ∫ 记作 F(s)=L[f(t)] 拉氏反变换为： f(t)=L-1[F(s)]

4 二、常用函数的拉氏变换 1. 单位阶跃函数I(t) t t = s 1 I(t)e-stdt F(s)= ∫ 2. 单位脉冲函数δ(t) δ
第一节 控制系统的微分方程 二、常用函数的拉氏变换 1. 单位阶跃函数I(t) f(t) t f(t) t = s 1 I(t)e-stdt F(s)= ∞ ∫ 1 2. 单位脉冲函数δ(t) δ (t)e-stdt F(s)= ∞ ∫ =1 f(t) t t f(t) 3. 单位斜坡函数t = s2 1 te-stdt F(s)= ∞ ∫ 4. 正弦函数sinωt = s2+ ω ω2 ωte-stdt F(s)= ∞ ∫ sin

5 5. 余弦函数cosωt = s2+ s ω2 ωte-stdt F(s)= ∫ cos t 6. 指数函数e-at = 1 s+a
第一节 控制系统的微分方程 5. 余弦函数cosωt = s2+ s ω2 ωte-stdt F(s)= ∞ ∫ cos f(t) t 6. 指数函数e-at 1 = 1 s+a e-ate-stdt F(s)= ∞ ∫ t2 1 2 7. 抛物函数 f(t) t 1 2 t2e-stdt F(s)= ∞ ∫ = s3 1

6 例 求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换．
第一节 控制系统的微分方程 三、拉氏变换的定理 1. 线性定理 L[af1(t)+bf2(t)] =aF1(s)+bF2(s) 例 求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换． 2j e sin ωt ω t = j -j -e 解： L[sin 2j 1 s-j [ - ] s+j ωt]= ω = s2 +ω2 ω 2. 微分定理 L[ df(t) dt ] =sF(s)-f(0) L[ d2f(t) dt2 ] =s2F(s)-sf(0)-f'(0)

7 例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换． d[t] dt =I(t) L[t]= s2 1 解： 已知
第一节 控制系统的微分方程 例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换． d[t] dt =I(t) L[t]= s2 1 解： 已知 L[I(t)]= L( d[t] dt ) =s s2 1 -0 = 1 s 3. 积分定理 = 1 s F(s)+ f-1(0) L[ ∫ f(t)dt] 4. 延迟定理 L[ f(t- τ )] - =e F(s) τ s 例 求f(t)= t- τ的拉氏变换。 f(t) t t t- τ F(s)=L[t]e - τ s = s2 1 e - τ s 解： τ

8 5. 位移定理 L[e-atf(t)]=F(s+a) 例 求f(t)=e sinωt的拉氏变换． ω 解： F(s)= (s+a)2+ ω2
第一节 控制系统的微分方程 5. 位移定理 L[e-atf(t)]=F(s+a) 例 求f(t)=e sinωt的拉氏变换． -at F(s)= (s+a)2+ ω ω2 解： 6. 初值定理 Lim f(t)=lim sF(s) s→∞ t→0 7. 终值定理 Lim f(t)=lim sF(s) t→∞ s→0

9 课堂练习题： 求下列函数的拉氏变换 f(t)=e-4t cos12t f(t)=t2+3t+2 2-2(1,4) 作业习题：
第一节 控制系统的微分方程 课堂练习题： 求下列函数的拉氏变换 cos12t f(t)=e-4t f(t)=t2+3t+2 作业习题： 2-2(1,4)

10 b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm a0 sn+a1sn-1+···+an-1s+an
第一节 控制系统的微分方程 四、拉氏反变换 求解过程 象函数的一般表达式： F(s)= b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm a0 sn+a1sn-1+···+an-1s+an K(s-z1)(s-z2)···(s-zm) (s-p1)(s-p2)···(s-pn) = 零点 因式分解 极点 = s-p1 A1 + s-p2 A2 +···+ s-pn An 转换为 待定系数 p1t f(t)=A1e p2t +A2e pnt Ane +···+ 则 部分分式法求拉氏反变换

11 部分分式法待定系数的确定 1. 不相等实数极点 A(s) (s-p1)(s-p2)···(s-pn) F(s)= 分解为 F(s) =
第一节 控制系统的微分方程 部分分式法待定系数的确定 1. 不相等实数极点 A(s) (s-p1)(s-p2)···(s-pn) F(s)= 分解为 F(s) = s-p1 A1 + s-p2 A2 +···+ s-pn An (s-p1 ) ( ) (s-p1 ) s=p1 s=p1 s-p1 A1 + s-p2 A2 +···+ s-pn An (s-p1 ) =[ ] s=p1 A1=F(s)(s-p1) s-=p1 则 同理 A2=F(s)(s-p2) s=p2 ┇ An=F(s)(s-pn) s=pn

12 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 例 求拉氏反变换． (s+1)(s+3) F(s)= s2+5s+5 解： =1+ + s+1
第一节 控制系统的微分方程 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 例 求拉氏反变换． (s+1)(s+3) F(s)= s2+5s+5 解： =1+ + s+1 A1 s+3 A2 (s+1)(s+3) =1+ s+2 s=-1 A1= (s+1)(s+3) (s+2) (s+1) 2 1 = s=-3 A2= (s+1)(s+3) (s+2) (s+3) 2 1 = 2 1 f(t)= e-t+ δ (t)+ e-3t

13 2. 复数极点 p1 ,p2 共轭 复数极点 A(s) (s-p1)(s -p2)···(s-pn) F(s)= F(s)
第一节 控制系统的微分方程 2. 复数极点 p1 ,p2 共轭 复数极点 A(s) (s-p1)(s -p2)···(s-pn) F(s)= F(s) (s-p1 )(s-p2 ) 分解为 s=p1 = (s-p1 )(s-p2 ) A1 s+A2 + s-p3 A3 +···+ s-pn An [ ] (s-p1)(s-p2) s=p1 F(s)(s-p1)(s-p2) =(A1s+A2) s=p1 得 复数方程可求得待定系数A1 ,A2 。

14 s(s2+9) F(s)= s+1 例 求拉氏反变换． A1s+A2 + s (s2+9) F(s)= A3 -s/9+1 + s
第一节 控制系统的微分方程 s(s2+9) F(s)= s+1 例 求拉氏反变换． A1s+A2 + s (s2+9) F(s)= A3 -s/9+1 + s (s2+9) = 1/9 解： =A1s+A2 s=j3 F(s)(s2+9) s s+1 =A1s+A2 s=j3 j3 j3+1 =j3A1+A2 1 9 A3= 1 9 A1= - j3+1=-9A1+j3A2 A2=1 s/9 - s (s2+9) F(s)= 1/9 1 + 1 3 9 - f(t)= sin3t cos3t+

15 第一节 控制系统的微分方程 课堂练习题： 求下列函数的拉氏反变换 F(s)= s(s+1) 1 F(s)= s(s2+4) s+6

16 (s-p1)r(s-pr+1)···(s-pn) F(s)= 有r个重 极点
第一节 控制系统的微分方程 3. 重极点 A(s) (s-p1)r(s-pr+1)···(s-pn) F(s)= 有r个重 　极点 分解为 = (s-p1 )r A1 + s-pr+1 Ar+1 +···+ s-pn An (s-p1 )r-1 A2 s-p1 Ar dr-1[F(s)(s-p1 )r] Ar= s=p1 1 ( (r-1)! dsr-1 ) 下面举例说明

17 (s+2) F(s)= s(s+1)2(s+3) 例 求拉氏反变换． 解： F(s)= + s+1 A1 s+3 A2 (s+1)2 s
第一节 控制系统的微分方程 (s+2) F(s)= s(s+1)2(s+3) 例 求拉氏反变换． 解： F(s)= + s+1 A1 s+3 A2 (s+1)2 s A3 A4 分解为 按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得： -1 2 A1= 2 3 A3= 1 12 A4= -3 4 A2= d2-1[F(s)(s-p1 )2] A2= s=p1 1 ( (2-1)! ds2-1 ) 将各待定系数代入上式得： + - 4 3 f(t)= e -t 2 -3t 12 1 d[ = s=-1 ds ] (s+2) s(s+3) -3 4 = 2-3(1,2) 作业习题：

18 s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20 s 20 s +5s+30 =
第一节 控制系统的微分方程 五．用拉氏变换解线性微分方程 +2c (t)=r(t) +3 d2c(t) dt2 dc(t) dt 例 求微分方程的解 r(t)=201(t) c(0)=5 c'(0)=15 解： (1) 将微分方程拉氏变换 s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20 s 20 s +5s+30 = C(s)(s2+3s+2) s(s2+3s+2) C(s)= 5s2+30s+20 s(s+1)(s+2) = 5s2+30s+20 (2) 解代数方程 -10e c(t)=10+5e -t -2t (3) 求拉氏反变换 s + C(s)= s+1 A1 s+2 A2 A3 s + = s+1 10 s+2 5 -10

19 s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s) R(s)=1
第一节 控制系统的微分方程 例 已知系统微分方程，求系统的输出响应。 +2c(t)=r(t) +2 d2c(t) dt2 dc(t) dt c(0)=c'(0)=0 r(t)=δ(t) 解： 将方程两边求拉氏变换得： s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s) R(s)=1 C(s)= s2+2s+2 1 = (s+1)2+1 1 c(t)=e-tsint t c(t) 输出响应曲线 c(t) r(t)

20 课堂练习题： 解下列微分方程 c(0)=c'(0)=0 +3c(t)=I(t) +4 d2c(t) dt2 dc(t) dt 作业习题：
第一节 控制系统的微分方程 课堂练习题： 解下列微分方程 c(0)=c'(0)=0 +3c(t)=I(t) +4 d2c(t) dt2 dc(t) dt 作业习题： 2-4(1) 返回