第十一章 线性动态电路 暂态过程复频域分析 1 拉普拉斯变换 2 拉普拉斯变换的基本性质 3 拉普拉斯逆变换

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1 第十一章 线性动态电路 暂态过程复频域分析 1 拉普拉斯变换 2 拉普拉斯变换的基本性质 3 拉普拉斯逆变换
4 复频域中的电路定律与电路模型 5 用拉普拉斯变换分析线性动态电路的暂态过程 6 网络函数

2 定义：设函数f(t)在 t >0及 t=0 的某个邻域内有定义，而且积分
(s是复参量) 在复平面 s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为 (11.1) 式(11.1)称为函数的拉普拉斯变换(Laplace transform) ，简称拉氏变换。记作 F(s) 称为 f (t) 的拉氏变换或称为象函数(image function)。 其中复参量 s= +j 。在电路中t代表时间，s便具有时间的倒量纲，也即频率的量纲，因此称为复频率(complex frequency)。F(s) 的单位是相应 f (t) 的单位乘以时间 t 的单位。

3 例：求单位阶跃函数 的拉氏变换 【解】 由拉氏变换的定义得：

4 例： 求函数 的拉氏变换 【解】 由拉氏变换的定义得：

5 例： 求冲激函数 的拉氏变换 【解】 由拉氏变换的定义得：

6 表11.1常用函数的拉普拉斯变换对 原函数 f(t)(t0) 象函数 F(s) (n为正整数)

7 【证明】 1．线性性质 若 ，a、b为任意常数，则
该式表明原函数线性组合的拉氏变换等于各原函数拉氏变换的同一线性组合。象函数的拉氏反变换亦有相同的线性性质。 若 ，a、b为任意常数，则 【证明】

8 (1)求 的象函数F(s)。 (2)求 的象函数F(s) 。

9 2．微分性质 若 ，则 该性质表明一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换后乘以复参量s，再减去0-时刻的起始值。 推论：设 ，则
若 ，则 推论：设 ，则 使用该性质可将关于f(t)的微分方程转化为关于F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要作用。

10 【证明】 由定义出发，随后用分部积分，可得
同理，用 取代上述的 ，可得 继续下去，即得所证．

11 用微分性质求 的象函数F(s) 。

12 3．积分性质 【证明】设 ，则 由微分定理，有 即 由 可得 一般地对应n重积分，我们有 若 ，则
该性质表明一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参量s。 若 ，则 【证明】设 ，则 由微分定理，有 即 由 可得 一般地对应n重积分，我们有

13 求 的象函数F(s) 。 因为 所以

14 4．延迟性质 若 ，则 其中 表示把 延迟至 。 根据上述性质可以方便地求出矩形脉冲的象函数。一个高度为A，宽度为t0的矩形脉冲可表示为
其中 表示把 延迟至 。 若 ，则 根据上述性质可以方便地求出矩形脉冲的象函数。一个高度为A，宽度为t0的矩形脉冲可表示为 根据延迟性质得矩形脉冲的象函数为

15 5．位移性质 该性质表明：一个函数乘以指数函数eat的拉氏变换等于其象函数作位移a。 若 ，则

16 6．初值定理 若 ，且 存在，则 证明 根据微分性质可得 在上式中

17 于是可得 当s→∞时，上式成为 式中 故得

18 7．终值定理 若 ，且 的所有极点都在平面的左半平面 ，则 证明 根据微分规则可得 等式左端可化简为

19 因此 即

20 8．卷积定理 该定理表明：原函数卷积的象函数等于相应象函数的乘积；象函数乘积的原函数等于原函数的卷积。 若 ，则

21 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换(inverse Laplace transform)，
计算逆变换的一般公式是 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式 式中F1(s)和F2(s)都是实系数的多项式，且无公因式。

22 1．n>m 情况 (1) F2(s)=0只有单根 这时F(s)可以展开成下列简单的部分分式之和： (11.17)
式中p1、 p2 、… pn为方程F2(s)=0的n个不同的根，它们可以是实数也可以是复数。由于s pk时|F(s)|，故这些根称为F(s)的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一个常数Ak，用(spk)乘上式的两边各项得 ： (11.18)

23 两边取s pk时的极限，等式右边只剩下Ak ，其余全为零。于是得
(11.19) (11.20) 将Ak代入式(11.17)后，两边取拉普拉斯逆变换并利用线性性质得 (11.21)

24 已知 ，求它的原函数 f (t)。 令 ，求得其根为 。 因此F(s)可以展开成 ∴

25 对于单复根情况，仍可按式(11.21)求反变换，只是要作复数运算。由于F2(s)的系数为实数，F(s)的复数极点均以共轭复数形式出现，且对应待定系数也是共扼关系。利用这一特点便可减化计算。设象函数为
(11.22) 令 ， ，则 ， ，对式(11.22)取逆变换得 (11.23)

26 已知 ，求它的原函数f(t)。 的根为 F(s)的展开式 ∴

27 (2) F2(s)=0含有重根 (11.24) 为简便起见，设F2(s)=0含有一个m次重根，其余为单根，则F2(s)可以表示为： 此时F (s)的部分分式展开式为 (11.25) 其中单根对应的待定系数 与前面的计算相同。下面讨论重根对应的待定系数，把上式两边各乘以 ，得 (11.26)

28 令s pn ，则上式右边除Bm项外，其余各项均变为零。而左边为0/0的不定式，取极限得
为了求出 Bm1，把(11.26)的两边对 s 求一次导数，然后令s pn ，则右边除Bm1项以外，其各项均变为零。故得 仿此可得一般公式为 (11.27)

29 求出各系数后，从表11.1可查到 的逆变换为 对式(11.25)右边的每一项取逆变换，得F2(s)=0含有重根时的原函数为 (11.28)

30 已知 ，求它的原函数 f(t) 。 F2(s)存在两个单根和一个2重根， 其展开式为： ∴

31 2．nm 情况 此时把 F1(s) 和 F2(s) 均按降幂排列，用分母多项式 F2(s) 去除分子多项式F1(s) ，把象函数 F(s) 化成一个 s 的多项式与一个分式之和的形式。这个分式的分子最高次幂低于分母最高次幂，仍可用式(11.21)求其原函数。而 s 的多项式的原函数为冲激函数及其导数的代数和。

32 已知 ，求它的原函数 f (t)。 用分母多项式去除分子多项式得 ∴ ∴

33 1．复频域中的基尔霍夫定律 根据拉普拉斯变换的线性性质 基尔霍夫定律方程的时域形式为 基氏定律的复频域形式
在集中参数电路中，流出(入)节点的各支路电流象函数的代数和为零。 在集中参数电路中，沿任一回路各支路电压象函数的代数和为零。 根据拉普拉斯变换的定义可知，电流、电压象函数的单位分别为安秒(As) 即库仑和伏秒(Vs)即韦伯。

34 2．复频域中元件电压与电流关系及元件的复频域模型
(1)电阻元件 拉氏变换 线性性质

35 (2)电容元件 运算容抗 附加电压源 由拉氏变换 微分特性得

36 (3) 电感元件 附加电压源 运算感抗 由拉氏变换 微分特性得

37 (4) 互感元件

38 复频域中电路元件方程的特点 将电感、电容和互感等元件的微、积分方程简化成为复频域里的线性代数方程。

39 3．复频域电路模型 运算阻抗与运算导纳 运算电路 t>0 复频域电路模型 KVL 零状态 运算阻抗 运算导纳

40 原理： 针对直流电路提出的各种分析方法、定理和公式均可推广用于复频域中的运算电路。 具体地说： 只须将以前方程和公式中的电阻推广为运算阻抗，将电导推广为运算导纳，将恒定电压、电流推广为电压、电流象函数，将附加电源与独立电源同样对待，就可用计算直流电路的方法计算运算电路。

41 步骤： 1．由换路前的电路求出全部电容uC(0-)的和全部电感的iL(0-)，并将激励的时域函数变换成象函数。 2．根据换路后的电路画出运算电路。其中uC(0-)和iL(0-) 的作用用附加电源表示，参数（R、L、C）用复频域阻抗表示，已知的和待求的电压电流均用象函数表示。 3．将求解直流电路的方法（等效化简或列电路方程）推广用于运算电路，求出响应的象函数。 4．利用部分分式展开法或积分变换表将响应的象函数变换为原函数。

42 ∴ 电路如图(a)所示，uS=20e-t(t) V，电路为零状态。求t 0时uO的变化规律。 (b) (a) 电源的象函数为
其节点电压方程为： ∴

43 电路如图(a)所示，t<0时处于稳态，t=0时开关断开。已知US=30V，R1=25  ，R2=75  ，L=0
电路如图(a)所示，t<0时处于稳态，t=0时开关断开。已知US=30V，R1=25  ，R2=75  ，L=0.5H，C= 510-3F。求t>0时的全响应uL和uC。 图11.7 例题11.9

44 t<0时，电感相当于短路，电容相当 于开路，因此初始值： 复频域电路模型 注意：必须包括附加电压源的电压。

45 求UL(s)的部分分式展开式： 同理求得UC(s)的部分分式展开式为

46 所以待求响应的时间函数为 ： 复频域电路模型 在图(b)所示的复频域电路模型中，如果令附加电源为零，仅由US(s)作用产生的响应便是零状态响应；反之，如果US(s) =0，则仅由附加电源作用产生的响应便是零输入响应。

47 电路如图(a)所示，已知R1=9  ，R2=1  ，C1= 1F，C2= 4F ，外加电压uS=10(t) V ，电路为零状态。求电流i和电压uO。
图11.8 例题11.10

48 ∴ 电路是零状态，故运算电路中无附加电源。外加阶跃电压的象函数为 从电源看进去的等效复频域阻抗为 电流i的象函数为
（C表示电荷的单位即库仑） ∴

49 电流uO的象函数为 ∴ 在图 (b)中画出了uO随时间变化的曲线。图中，uO(0-)=0，uO(0+)=2V，故电容上的电压发生了“强迫跃变”，这是冲激电流 8C(t) 给 C2 充电的结果。但在计算过程中并不考虑是否发生跃变，原因是复频域分析法用的是0-时刻而不是0+时刻的初始值。因此，在处理“跃变”问题时，复频域法要比时域分析法有一定的优越性。

50 电路如图(a)所示，已知iS=1C(t) ，求冲激响应uC。
图11.9 例题11.11 电路为零状态，运算电路如图(b)所示，其中 对其列写节点电压方程：

51 求解得电压象函数 令分母多项式为零，即 得其极点为 ： 它们是一对共轭复数。故 UC(s) 的部分分式展开式为 ∴

52 电路为零状态，其复频域模型中不含附加电源，列节点电压方程：
电路如图所示，已知R=1  ，L=1H，C= 0.2F ，g=1s ，uS=6(t) V ， iS=4C(t) 。求t>0时的零状态响应uL和uC。 图11.10 例题11.12 电路为零状态，其复频域模型中不含附加电源，列节点电压方程： (1)

53 其中电源的象函数为： 将已知条件代入式(1)，得 联立解得 ∴

54 电路如图(a)所示，已知R1=1 ，R2=0.5 ，uS ，iS为阶跃函数。当a、b端接R3=3 电阻时，全响应 i=(2+2e-50t)(t)A。现将a、b端改接L=0.25H的零状态电感，求此时的电压 uab 。 先求出复频域戴维南等效电路。由题给全响应知当a、b端接R3=3电阻的时间常数为 i I(s) 根据电路可得 所以 将电压源和电流源置零，如图(b)所示，

55 ∴ 得a、b端等效运算阻抗为 I(s) 由已知电流i得 I(s) a、b端开路电压为 戴维南等效电路如图 (c)所示。
当a、b端接L=0.25H的零状态电感时，电感电压象函数为： ∴

56 一、网络函数（network function）
(11.41) 定义：零状态响应的象函数 Y(s) 与激励的象函数 X(s) 之比称为(复频域中的)网络函数，用符号表示 H(s) ，即 注：当电路为零状态时，在复频域电路中无附加电源，Y(s) 与外加 X(s) 成正比。

57 与单位冲激特性的关系：根据单位冲激特性的定义及齐性原理，当激励x(t)=K(t) 时，零状态响应为y(t)=Kh(t)，则
因此，网络函数就是网络单位冲激特性的象函数；反之，网络函数的原函数就是网络的单位冲激特性，即 (11.42) 网络函数H(s)和单位冲激特性h(t)都反映网络的固有性质。

58 若已知网络函数和外加激励的象函数，则零状态响应象函数为
式中 ，N 、P、D、Q都是 s 的多项式。 (11.43) 用部分分式展开求Y(s)的原函数时，F2(s)=D(s)Q(s)=0的根将包括D(s)=0及Q(s)=0的根。响应中与Q(s)=0的根对应的那些项与外加激励的函数形式相同，属于强制分量；而与D(s)=0的根(即网络函数的极点)对应的那些项的性质由网络的结构与参数决定，属于自由分量。因此，网络函数极点的性质决定了网络暂态过程的特性。

59 电路如图所示，已知R=0.5，L=1H，C=1F，a=0.25 。
定义网络函数 ，求H(s)及其单位冲激特性h(t) 求当 时的响应 。 图11.13 例题11.14

60 (1) 列回路电流方程： 图11.13 例题11.14 代数整理得 ∴

61 (2) 当 时 ∴

62 二、网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系
如前所述，网络函数与单位冲激特性构成拉普拉斯变换对，单位冲激特性的性质取决于网络函数的极点性质，即取决于极点在复平面上的位置。要点：由极点在复平面上的分布来判断暂态特性。 其中极点p1、p2、…pn称为网络函数的自然频率，它只与网络结构与参数有关。 (11.44) 分析一阶极点情况：若网络函数仅含一阶极点，且n>m，则网络函数可展开成 网络的单位冲激特性为 可见它与极点位置有关 。 (11.45)

63 网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系

64 网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系概括如下：
位于左半平面时，收敛 位于右半平面时，发散 pk 位于实轴上时，响应非振荡 位于虚轴上时，临界稳定 否则，均为振荡 pk 所有极点位于左半平面，暂态过程稳定 若有一个以上极点位于右半平面，暂态过程不稳定 H(s)

65 三、复频域网络函数与复数网络函数的关系 s=j H(s) H(j) j =s

66 设图所示二端口网络为线性无独立源网络。 已知当 时，零状态响应 V。 求 时的正弦电压 。 若已知 ，求单位冲激特性h(t)。 + + ui uo _ _ 图 例题11.15

67 (1)电路的复频域网络函数为 ： 它的复数形式的网络函数为 ： 所以当 时，正弦响应为 ： ∴

68 (2) 将已知H(j)写成 ： 所以对应的复频域形式的网络函数为 ： 部分分式展开得 ： ∴