6.3 泰勒公式 一、泰勒公式 二、几个初等函数的麦克劳林展开式
一、泰勒公式 在 处可导, 就有 当 充分小时, 可以由一次多项式 近似地代替, 其误差为 . 在许多情况下, 是不够的, 而要考虑用较高次 误差仅为 的多项式来逼近 f , 使得误差更小,
问题: 是否存在一个 n次多项式 使得 答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x) 有什么关系？
设 则 即 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶 导数所确定的.
(1) 称为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式.
定理 1 设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则 即
证 设 只需证 因为由（2）式，
则当 连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到
在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形 式变为 此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.
(4) 其中,
而
或 (5)
称为拉格朗日型余项.
带有拉格朗日型余项的泰勒公式与麦克劳林公式分别是:
称为柯西余项.
带有柯西余项的麦克劳林公式是
二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中
拉格朗日型余项是
类似可得 拉格朗日型余项是
已知 类似可得 拉格朗日型余项是
柯西型余项是
拉格朗日型余项是
展开式就是我们熟知的二项式公式:
注 各种类型的泰勒公式的余项各有什么作用？ 泰勒公式的余项有两种:一种是定性的,例如佩亚诺型余项; 另一种是定量的,例如拉格朗日型余项,柯西型余项等.
例2 求 在点 的泰勒公式. 解
例3 计算 e 的值,使其误差不超过 解 由于 于是 其误差不超过 .
例4 计算极限 解 由泰勒公式可得 从而有
例5 求极限