第 5 章数值积分 §1 插值型求积公式 §2 复化求积公式 §3 龙贝格 (Romberg) 求积方法 §4§4 数值微分数值微分.

第 5 章数值积分 §1 插值型求积公式 §2 复化求积公式 §3 龙贝格 (Romberg) 求积方法 §4§4 数值微分数值微分

第 5 章数值积分 1.1 牛顿 ― 柯特斯 (Newton―Cotes) 公式在一元函数的积分学中, 我们已经熟知, 若函数 f(x) 在区间［ a, b ］上连续且其原 ? 函数为 F(x), 则可用牛顿 ― 莱布尼兹公式 (5―1)

第 5 章数值积分来求定积分。公式 (5―1) 虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,? 但它并不能完全解决定积分的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种 ? 情况 : (1) 被积函数 f(x) 的原函数 F(x) 不易找到。许多很简单的函 ? 数, 例如等, 其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。

第 5 章数值积分 (2) 被积函数 f(x) 没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表 ? 示, 无法求出原函数。 (3) 尽管 f(x) 的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。例如定 ? 积分的被积函数的原函数就比较复杂, 从数值计算角度来 ? 看, 计算量太大。

第 5 章数值积分如图 5.1, 若用 ? 左矩形近似地代替曲边梯形, 则得到左矩形公式同样可得到右矩形公式 (5―2) (5―3)

第 5 章数值积分图 5.1

第 5 章数值积分如图 5.2, 若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面积, 则得到计算定积分 ? 的梯形公式 (5―4) 如图 5.3, 若用抛物线代替曲线 f(x), 则可得到抛物线公式 (? 或辛普生公式 ) (5―5)

第 5 章数值积分图 5.2 图 5.3

第 5 章数值积分 1.1 牛顿 ― 柯特斯 (Newton―Cotes) 公式建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又有足够精度的函数 φ(x),? 用 φ(x) 代替被积函数 f(x), 于是有现用第四章介绍的插值多项式 Pn(x) 来代替被积函数 f(x), 即有取基点为等距, 即 a=x 0 ＜ x 1 ＜ … ＜ x n =b

第 5 章数值积分利用拉格朗日插值多项式 (5―6) 其中 (5―7)

第 5 章数值积分这里 y i =f(x i ), 对式 (5―6) 两边积分得

第 5 章数值积分为牛顿 ― 柯特斯求积公式,R n (f) 为牛顿 ― 柯特斯求积公式的余项。令 x=x 0 +sh, 0≤s≤n (5―8) (5―9) (5―10) 我们称

第 5 章数值积分 (5―11)

第 5 章数值积分称 C (n) i 为柯特斯求积系数。很显然, 当 n=1 时, 可算得此时式 (5―10) 为 (5―12)

第 5 章数值积分这是梯形公式。当 n=2 时, 可得于是 (5―13)

第 5 章数值积分这是抛物线公式。当 n=3 时,

第 5 章数值积分代入 (5―10) 式得到求积公式 (5―14) 类似地可分别求出 n=4,5, … 时的柯特斯系数, 从而建立相应的求积公式。具体结果见表 5―1 。从表中可以看出, 当 n≤7 时, 柯特斯系数为正 ; 从 n≥8 开始, 柯特斯系数有正有负。因此, 当 n≥8 时, 误差有可能传播扩大, 牛顿 ― 柯特斯求积公式不宜采用。

第 5 章数值积分柯特斯系数 C (n) i 仅与 n 和 i 有关, 与被积函数 f(x) 无关, 且满足 (5―15) 事实上, 式 (5―10) 对 f(x)=1 是准确成立的。

第 5 章数值积分例 1 试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分解利用梯形公式利用抛物线公式

第 5 章数值积分原积分的准确值

第 5 章数值积分表 5―1

第 5 章数值积分 1.2 误差估计现对牛顿 ― 柯特斯求积公式所产生的误差作一个分析。由式 (5―9), 牛顿 ― 柯特斯求积公式的余项为易知, 牛顿 ― 柯特斯求积公式 (5―10) 对任何不高于 n 次的多项式是准确成立的。这是因为 f (n+1) (ξ)≡0 故 R n (f)≡0

第 5 章数值积分一般说来, 若某个求积公式对于次数不高于 m 的多项式都准确成立 ( 即 Rn(f)≡0), 而对于某一次数为 m+1 的多项式并不准确成立 ( 即 Rn(f)0), 则称这一求积公式的代数精确度为 m 。牛顿 ― 柯特斯求积公式的代数精确度至少为 n 。通常在基点个数相等的情况下, 代数精确度愈高, 求积公式就愈精确。定理 1 ( 梯形公式的误差 ) 设 f(x) 在区间［ a, b ］上具有连续的二阶导数, 则梯形求积公式的误差为

第 5 章数值积分由于 ω 1 (x)=(x-a)(x-b) 证由式 (5―9) 知, 梯形公式的余项为 (5―16)

第 5 章数值积分在区间 (a, b) 内不变号,f″(ξ) 是 x 的函数且在［ a,b ］上连续, 故根据积分第二中值定理参见有关《数学分析》教材中 “ 一元函数积分学第二中值定理 ” 。知, 存在某一 η ∈ (a, b) 使

第 5 章数值积分定理 2 ( 抛物线公式的误差 ) 设 f(x) 在［ a, b ］上有连续的四阶导数, 则抛物线公式的误差为 (5―17) 证由式 (5―9) 知

第 5 章数值积分 §2 复合求积公式 2.1 复合梯形公式对于定积分 (5―1), 将积分区间［ a, b ］分成 n 个相等的子区间［ x i,x i+1 ］, 这里步长在每一个子区间［ x i,x i+1 ］上使用梯形公式, 则

第 5 章数值积分相加后得 (5―18) (5―19) 若 f″(x) 在［ a,b ］上连续, 由连续函数的介值定理, 存在某一 ξ ∈ (a,b) 使得

第 5 章数值积分因而于是得到复合梯形公式 (5―21) 其余项为

第 5 章数值积分例 2 若用复合梯形公式计算积分问积分区间要等分多少才能保证有五位有效数字解由余项 (5―21) 式则当 0 ＜ x ＜ 1 时, 有因为又故

第 5 章数值积分由于原积分的准确值具有一位整数, 因此要使近似积分值有五位有效数字, 只需取 n 满足两边取对数得整理后得到

第 5 章数值积分 2.2 复合抛物线公式类似复合梯形公式的做法, 把区间［ a,b ］分成 n 个相等的子区间［ x 2i,x 2i+2 ］ (i=0,1, …,n-1), 设每个子区间上的中点为 x 2i+1 (i=0,1, …,n-1), 且在每一个子区间［ x 2i,x 2i+2 ］上利用抛物线公式得 (5―22)

第 5 章数值积分相加后得 (5―23)

第 5 章数值积分若 f (4) (x) 在［ a, b ］上连续, 则从而得到复合抛物线公式 (5―24)

第 5 章数值积分其余项为 (5―25) 复合抛物线公式的计算框图见 5.4 。例 3 根据给出的函数的数据表 5―2, 分别用复合梯形公式和复合抛物线公式计算

第 5 章数值积分表 5―2

第 5 章数值积分解用复合梯形公式, 这里

第 5 章数值积分用复合抛物线公式可得而 I 的准确值为 0.946 083 1 …, 可见用复合抛物线公式比用复合梯形公式精确。

第 5 章数值积分 2.3 变步长公式前面介绍的复合梯形公式和复合抛物线公式的步长都是预先确定的。它的主要缺点是事先很难估计出 n 的大小 ( 或步长 h 的大小 ), 使结果达到预先给定的精度。在实际计算中, 我们常常借助于计算机来完成积分步长 h 的自动选择, 即采用变步长求积公式。具体地讲, 就是将步长逐次折半, 反复利用复合求积公式, 直到满足精度要求为止。

第 5 章数值积分下面介绍变步长复合抛物线公式 ( 变步长复合梯形公式留给读者作为练习 ) 。逐次将区间［ a,b ］分成 2 1,2 2, …,2 m 等分, 并按复合抛物线公式逐次计算积分得到 S 1,S 2, …,S m, 而 (5―26) 其中再把每个子区间分成两半, 用

第 5 章数值积分作步长, 按复合抛物线公式计算出积分的近似值 S 2m 。对于相邻两次的积分近似值 S m 、 S 2m, 考察当｜ S 2m ｜＜ 1 当｜ S 2m ｜ ≥1 (5―27) 设预先给定的精度为 ε, 若｜ d ｜＜ ε 则以 S2m 作为所要求的积分近似值, 否则继续将区间分半, 利用复合抛物线公式求积分, 直到满足预给的精度为止。

第 5 章数值积分 §3 龙贝格 (Romberg) 积分方法我们已经知道, 当被积函数 f(x) 在区间［ a,b ］上连续时, 要使得复合梯形公式或复合抛物线公式比较精确地代替定积分可将分点 ( 即基点 ) 加密, 也就是将区间［ a,b ］细分, 然后利用复合梯形公式或复合抛物线公式求积。

第 5 章数值积分若用 T m 表示把［ a,b ］作 m 等分并按复合梯形公式求积的结果, 将每一小段再对分, 令新的小段的长 h′=h/2, 则 T 2m 与 T m 之间有如下关系 : (5―28) 其中

第 5 章数值积分另外, 若用 S m 表示把［ a,b ］分成 m( 偶数 ) 个小段按复合抛物线公式计算的结果, 那么只要把 S m 中的 m 改为 2m,h 改为 h′ 就有从 T m 的定义可得到关系式 (5―29)

第 5 章数值积分我们再举一个计算上半单位圆面积的例子 ( 它的准确面积为 π/2) 。现用内接正多边形的逼近方法来计算。如图 5.6, 图 (a) 、图 (b) 是用同样的内接正多边形计算上半单位圆的面积。图 (a) 是用梯形方法计算其面积, 图 (b) 是用三角形方法计算其面积。

第 5 章数值积分设正多边形边数为 n=2k, 则由图 (b) 利用三角形公式算得面积为同理

第 5 章数值积分如果组合一下, 就会得到更精确的结果, 即同理

第 5 章数值积分再以类似方法组合得这样继续下去, 其值越来越接近上半单位圆面积 π/2 。这种方法可以用到计算定积分

第 5 章数值积分为了推广公式 (5―29) 和上述计算上半单位圆面积的组合方法, 我们引进龙贝格求积算法。龙贝格求积算法本来是利用所谓外推法构造出的一种计算积分的方法。为了避免从外推引入而带来理论上的麻烦, 我们将直接从构造一个 T 数表开始。首先将［ a,b ］依次作 2 0,2 1,2 2, … 等分, 记

第 5 章数值积分按复合梯形公式 (5―20) 算得的值相应地记为 T (k) 0 (k=0,1,2, … ); 把按式 (5―29) 算得的 S 2m 依次记为 T (k) 1 (k=0,1,2, 崐 … ), 而这每一个 S 2m 又理解为由 T 2m 与 T m 的线性组合得到的改进值, 即我们可按照类似的方法继续进行改进, 也即由 S 2m 与 S m 的线性组合得到改进值, 依次记为 T (k) 2 (k=0,1,2, … ), 即

第 5 章数值积分这样就可构造出一个数表 (5-30)

第 5 章数值积分其中除第 0 列 ( 即最左一列 ) 的 T(k)0 是按复合梯形公式计算外, 其余各列都按下述规则 ( 对 m) (5―31) 递推地计算出来。箭头表示计算流程。其计算步骤为 : (1) 将区间［ a,b ］等分为 2 0, 用梯形公式计算 T (0) 0, 即

第 5 章数值积分 (2) 将区间［ a,b ］等分为 2 1, 用梯形公式算出 T (1) 0, 即再由 T (0) 0,T (1) 0 根据公式 (5―31) 算出 T (0) 1, 即若｜ T (0) 1 -T (0) 0 ｜＜ ε, (ε 为预给的精度 ) 则停止计算 ; 否则继续往下计算 ;

第 5 章数值积分 (3) 依次分别算出 T (2) 0,T (1) 1,T (0) 2, …, 这一行地往下推算, 每一行算完, 就得验证 T (0) m (m=1,2, … ) 是否满足预给的精度, 即若则停止计算 ; 否则继续进行下一行。为了便于在计算机上实现, 可运用下列公式编制程序 :

第 5 章数值积分

图 5.7

第 5 章数值积分例 4 计算积分精确到 10 -4 。解

第 5 章数值积分

于是由于实际上

第 5 章数值积分 §4 数值微分 9.1 用插值法求数值微分用插值多项式 P n (x) 近似地表示函数 f(x), 即 f(x)≈P n (x) 于是有 f(k)(x)≈P (k) n (x) 其余项相应地为 R (k) n (x) 。

第 5 章数值积分设插值基点为等距分布, 由牛顿前差插值多项式其中由于

第 5 章数值积分于是

第 5 章数值积分即因为

第 5 章数值积分而当 x=x i 时,s=i, 此时 (4―59) (4―60) 特别当 x=x 0 时,s=0, 则 (4―61)

第 5 章数值积分 1. 两点公式 (n=1) 于是在区间［ x 0,x 2 ］上有 (4―62)

第 5 章数值积分 2. 三点公式 (n=2) 于是在区间［ x 0,x 2 ］上有

第 5 章数值积分 9.2 用三次样条函数求数值微分设 s(x) 是 f(x) 在各区间［ x k,x k+1 ］上的三次样条插值函数, 则在区间［ x k, x k+1 ］上可通过三次样条函数来求 f(x) 的数值微分。 1. 一阶数值微分公式 (4―65)

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