*第七章 状态变量分析法 7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立 7.2 连续时间系统状态方程的s域分析法 7.3 离散系统状态方程与输出方程的建立 7.4 离散系统状态方程的z域分析法 7.5 系统的可控制性与可观测性

7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立 7.1.1由系统的直接形式信号流图建立状态方程 描述单输入单输出n阶连续系统输入f(t)与输出y(t)关系的微分方程为 (7.1-1)

算子方程为 (7.1-2) 对应的n阶连续系统的转移算子函数为 (7.1-3) 对应的系统函数为 (7.1-4)

图 7.1-1 式(7.1-2)的信号流图表示

1. 由系统的直接（微分方程）形式信号流图建立状态方程的一般方法 （1）从右向左按顺序在积分器p-1的输出端建立状态变量xi， p-1的输入端为 由于xi顺序相差90°，因此这种状态变量也称其为相位状态变量。  （2）列出积分器输入节点 与状态变量xi和输入f(t)的关系， 并用矩阵表示。  （3） 列出输出信号y(t)与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用矩阵方程表示。

用上述方法对图7. 1-1的系统流图，讨论状态方程与输出方程的建立。先由n个积分器，如图7 用上述方法对图7.1-1的系统流图，讨论状态方程与输出方程的建立。先由n个积分器，如图7.1-1所示，列出n个状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)（图中省略了状态变量中的自变量符号(t)）， 然后再列积分器输入节点的方程: (7.1-5)

输出为 (7.1-6)

将式(7.1-5) 、 (7.1-6)分别写成矩阵形式 (7.1-7)

或 (7.1-8)

式(7. 1-7)表示了状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)与输入f(t)之间的关系，是图7. 1-1 系统的状态方程。式(7 式(7.1-7)表示了状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)与输入f(t)之间的关系，是图7.1-1 系统的状态方程。式(7.1-8)表示了输出y(t)与状态变量x1、x2、, xn之间的关系，是图7.1-1系统的输出方程。 式(7.1-7)与式(7.1-8)还可用矢量矩阵表示为 (7.1-9)

式中 (7.1-10)

式(7. 1-9)是图7. 1-1的状态方程的一般形式，A、B、C、D是状态方程的系数矩阵。当式(7 式(7.1-9)是图7.1-1的状态方程的一般形式，A、B、C、D是状态方程的系数矩阵。当式(7.1-1)中的输入情况不同时，A与B矩阵相同，而C与D矩阵会有变化，尤其是b0=0，可使C的元素计算大大简化。例如 (7.1-11) 式(7.1-11)是式(7.1-1)除bn=1之外，其余bk(k=0~n-1)为零的特例，它的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为 C=［1 0 … 0 0］， D=0 (7.1-12)

若式(7.1-1)中分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m<n，则 (7.1-13) 其对应的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为 C=［bn bn-1 … bn-m 0 … 0］， D=0 (7.1-14)

由以上的方法，当n阶连续系统的微分方程给定，无需绘出系统的信号流图，利用式(7. 1-7) , (7. 1-8)或式(7 由以上的方法，当n阶连续系统的微分方程给定，无需绘出系统的信号流图，利用式(7.1-7) , (7.1-8)或式(7.1-13) 、 (7.1-14) 可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m<n（b0=0），可令

于是得到状态方程与输出方程为 (7.1-15)

特别的转移算子为 的二阶系统， 其基本信号流图及状态变量如图7.1-2所示， 其状态方程与输出方程为

图 7.1-2 二阶系统的信号流图

在图7.1-1中，状态变量的序号是从右往左排序的，如果如图7.1-3所示从左往右排，不难推出其状态方程与输出方程的矩阵形式为 (7.1-16a)

(7.1-16b)

将式(7.1-16a) 、 (7.1-16b)分别写成矩阵形式 (7.1-17a)

(7.1-17b)

图 7.1-3 式(7.1-2)状态变量排序不同的流图

由式(7.1-17a)、(7.1-17b)可见，相同的系统函数与信号流图， 状态变量的选择不是惟一的，当状态变量不同时，对应的状态方程与输出方程不同。式(7.1-17a)与式(7.1-17b)式也可简化为

式中 (7.1-18)

图 7.1-4 单输入单输出系统状态变量分析法

式(7.1-9)是用矩阵矢量表示状态方程与输出方程的一般形式，即 式中的系数矩阵的一般形式为 (7.1-19)

式(7.1-9)、(7.1-19)是单输入单输出系统的状态表示与参数矩阵，其中的A是n×n的方阵，B是n维列矩阵，C是n维行矩阵，d是单个常数。  更一般地，若n阶连续系统有m个输入信号f1 ,f2 , … ,fm，L个输出信号y1 ,y2 , … ,yL，则状态方程与输出方程分别用矩阵矢量表示为 式中

A、B、C、D都是常数矩阵，称为参数矩阵。

. 2. 参数矩阵的物理意义 本书主要分析单输入单输出的情况，由图7.1-4可以讨论A、 B、C、D的物理意义，图中x、x是状态变量。  A矩阵是由状态矢量x到状态矢量x所有反馈支路增益组成的矩阵，其中aij表示由第j个状态变量节点xj到第i个状态变量xi的支路增益。  B矩阵是由输入f(t)到状态矢量x所有支路增益组成的矩阵， 其中bi表示由输入节点到第i个状态变量的xi支路增益。 .

C矩阵是由状态矢量x到输出节点所有支路增益组成的矩阵， 其中ci表示由状态变量xi(t)到输出节点所有的支路增益。 D矩阵是输入输出之间的支路增益，在单输入单输出时， D=d, 表示输入节点直通输出节点的支路增益。  若网络中两节点之间没有支路，则其支路增益为零；而自己到自己的节点反馈支路增益为1。  状态方程与输出方程利用四个参数矩阵描述了系统内部的结构。系统内部结构确定了，由信号流图就可以求出系统的状态方程与输出方程。  对简单的信号流图，可利用参数矩阵的物理意义直接写出状态方程与输出方程，或四个参数方程。

例7.1-1 已知某系统的系统函数H(s)为 建立其系统的状态方程与输出方程。 解 上式的H(s)可以改写为 系统的信号流图及状态变量（从左至右排）如图7.1-5所示。

图 7.1-5 例7.1-1系统的信号流图

根据信号流图及式(7.1-13)、 (7.1-14)可直接写出状态方程与输出方程 输出为

将上式分别写成矩阵形式

上例的系统函数 ，与状态方程互换的MATLAB程序与结果如下：   ［A B C D］=tf2ss(b,a)

答案 A = 1.2500 -0.7500 0.1250 1.0000 0 0 0 1.0000 0 B = 1 0 C = 6 5 -1 D = 8 结果与例7.1-1相同。

7.1.2 由系统的级联或并联形式信号流图建立状态方程 例7.1-2 已知某系统的传输函数 求其级联与并联形式的状态方程。 解（1） 级联

输出为 将上式分别写成矩阵形式

图7.1-6 例7.1-2级联形式的系统流图

　　由式(7.1-21)可见，级联形式（均为单极点）的A矩阵是三角阵，其对角元素为系统的特征根。  　　由直接形式系统函数求系统级联形式的状态方程与输出方程， 要将直接形式系统函数转变为级联形式的系统函数，画出系统级联形式的信号流图，对状态变量排序，再列出状态方程，…，这种方法工作量不小。利用MATLAB程序我们可以方便地将直接型系统函数H(s)转变为级联形式的系统函数，再转变为级联形式的状态方程。

例7.1-2 的系统级联形式的状态方程的MATLAB程序与结果如下 ［z p k］=tf2zp(b,a) %直接形式转换为零、 极点增益形式 ［A B C D］=zp2ss(z p k) %零、 极点增益形式转换为状态变量形式

答案 z = 0  -2 p = -4.0000 -3.0000 -1.0000 k = 1

A = -1.0000 0 0 1.0000 -7.0000 -3.4641 0 3.4641 0 B =  1 0 C = 1.0000 -5.0000 -3.4641 D = 0

图 7.1-7 例7.1-2二阶节级联形式的系统流图

（2） 并联 图 7.1-8 例7.1-2并联形式的系统流图

从图中可以看出 输出为

将上式分别写成矩阵形式 (7.1-22)

7.1.3 由电路建立状态方程 由电路建立状态方程，首先应选定状态变量，一般选电路中独立的电容两端电压与独立的电感电流为状态变量。状态变量的个数与系统的阶数相同，等于独立动态元件的个数。状态变量确定后，利用KVL或KCL列出电路方程，经化简整理写出电路的状态方程。  例7.1-3 电路如图7.1-9所示，列写电路的状态方程，若输出为电感电压vL(t)与回路电流i(t)，求其输出方程。

图 7.1-9 例7.1-3系统电路图

解 选电容两端电压与电感电流为状态变量，即 x1(t)=vC(t), x2(t)=iL(t)=i(t) 由KVL列出电路方程为 vC(t)+vL(t)+Ri(t)=f(t) 代入参数并用状态变量表示

电路的状态方程为 选电感电压vL(t)为输出y1(t)，回路电流i(t)为输出y2(t)，输出与状态变量、输入的关系为 输出方程的矩阵形式为

例7.1-4 电路及状态变量如图7.1-10所示，列写电路的状态方程，若输出为电压v2(t)与回路电流i2(t)，求其输出方程。 图 7.1-10 例7.1-4系统电路图

解 选定电容两端电压与电感电流为状态变量，有

根据KVL列电路的网孔方程为 将上式电压、电流关系用状态变量表示并整理得到

写成矩阵形式 令输出电压v2(t)=y1(t)与电流i2(t)=y2(t)，且

写成矩阵形式 上述方法对简单电路适用，当电路结构复杂时，可利用网络拓扑分析及借助计算机辅助设计（CAD）技术进行计算。

7.2 连续时间系统状态方程的s域分析法 7.2.1 由s域分析法求解状态方程 (7.2-1) 对方程两边取拉氏变换 (7.2-2)

式中, x(0-)为初始条件，是系统的状态空间中t=0-时的一个点。 整理式(7.2-2) 得到 (7.2-3)

式中, I为n×n的单位对角矩阵 由式(7.2-3)可得到响应的时域表示 (7.2-4)

定义Φ(s)=(sI-A)-1, 代入上式，则式(7.2-4)可写为 (7.2-5) 由式(7.2-5)可以看到计算Φ(s)是求解状态变量及响应过程中的重要环节，Φ(s)是由系统的A参数矩阵决定的，也称为系统的状态转移（特征、过渡）矩阵。Φ(s)的拉氏反变换对应的是矩阵指数函数， 即 (7.2-6)

例 7.2-1 已知系统的状态方程与输出方程为 其中, 输入f(t)=u(t)，初始条件 ，试求矩阵指数函数eAt、状态变量x(t)与输出y(t)。

解 参数矩阵分别为 其行列式det与伴随矩阵adj分别为

状态变量 零输入响应

零状态响应

全响应

Yzs(s)=［C(sI-A)-1B+d］F(s)=H(s)F(s) (7.2-7) 7.2.2 参数矩阵与系统函数 当连续系统为单输入单输出时由式(7.2-5)可得到连续系统的系统函数。因为 Yzs(s)=［C(sI-A)-1B+d］F(s)=H(s)F(s) (7.2-7) 比较式(7.2-6)两边 (7.2-8) 如果已知四个参数矩阵，按照式(7.2-8)可以求出系统函数H(s)。

例7.2-2 已知某二阶系统的四个参数矩阵如下，求该系统的系统函数H(s)。 解

从例7.2-2 已知某系统的四个参数矩阵如下， 求系统函数H(s)。 由四个参数矩阵求出系统直接形式的系统函数H(s)的MATLAB程序及结果为 A=［-4 0 0;0 -3 0;0 0 -1］; B=［8/3 -3/2 -1/6］; C=［1 1 1］; D=0; ［num,den］=ss2tf(A,B,C,D)

答案 num = 0 1.0000 2.0000 -0.0000 den = 1 8 19 12 结果与例7.1-2相同。

A(s)=det(sI-A) (7.2-9) 7.2.3 参数矩阵与系统的特性 7.2.3 参数矩阵与系统的特性 下面先讨论A矩阵的特征值与H(s)的极点的关系。由A矩阵的物理意义可知, 它是反馈环路的系数矩阵，正是这些反馈环路的作用，产生了系统的极点，所以极点只与A矩阵有关。设系统函数H(s)=B(s)/A(s)，极点为分母多项式A(s)=0的解。由式(7.1-17)可以得到系统函数H(s)的极点与A矩阵的关系为 A(s)=det(sI-A) (7.2-9) 式中，A(s)被称为A矩阵的特征多项式，其根为A矩阵的特征值。 而A矩阵的特征值就是H(s)的极点。由稳定系统定义可知，A矩阵的所有特征值的实部小于零，系统稳定，否则不稳定。

例7.2-3 已知某系统的A矩阵 , 判断系统是否稳定。 解 特征方程为 特征根（极点）为p1=-1, p2=-2。由于p1、p2实部均小于零，因此该系统稳定。  A矩阵是N×N的矩阵，当N较大时，由det(zI-A)求出A(s)，再求特征根也不容易。而利用MATLAB程序可以很方便地由A矩阵求出A(s)的特征根，即系统的极点。

例7.2-4 已知某系统的A参数矩阵为 判断系统是否稳定。 解 系统极点的MATLAB程序及结果为  A=［-1 0 0;1 -4 0;1 -4 -3］;% A矩阵 eig(A)% [WTHZ]A[WTBZ]矩阵的特征根 ans = -3 -4 -1  系统三个极点的实部均小于零， 是稳定系统。

7.3 离散系统状态方程与输出方程的建立 7.3.1 由流图建立状态方程与输出方程 7.3.1 由流图建立状态方程与输出方程 描述一般N阶离散系统输入x(n)与输出y(n)关系的差分方程为 (7.3-1) 对应的N阶离散系统的系统函数为 (7.3-2)

图 7.3-1 式(7.3-2)的信号流图表示

先给出离散系统由流图建立状态方程与输出方程的一般方法。 （1）从左到右按顺序在z-1支路输出端建立状态变量wi(n)，z-1支路输入端为wi(n+1)。 （2）列出延时支路输入节点wi(n+1)与状态变量wi(n)和输入x(n)的关系，并用矩阵方程表示。  （3）列出输出信号y(n)与状态变量wi(n)和输入x(n)的关系， 并用矩阵方程表示。

用上述方法对图7. 3-1的系统流图来讨论状态方程与输出方程的建立。先由N个延时支路，如图7 用上述方法对图7.3-1的系统流图来讨论状态方程与输出方程的建立。先由N个延时支路，如图7.3-1所示建立N个状态变量w1(n)、w2(n)、… , wN(n)，然后再列延时支路输入节点的方程 (7.3-3)

输出为 (7.3-4)

将式(7.3-3) 、 (7.3-4)分别写成矩阵形式 (7.3-5) (7.3-6)

或 y(n)=［b1-a1b0 b2-a2b0 … bN-aNb0］［w1(n) w2(n) …wN(n)］Ｔ+b0x(n) 式(7.3-5)表示了状态变量w1(n)、w2(n)、… , wN(n)与输入x(n)之间的关系，是图7.3-1系统的状态方程。式(7.3-6)表示了输出y(n)与状态变量w1(n)、w2(n)、…, wN(n)之间的关系，是图7.3-1系统的输出方程。状态方程的左边是n+1时刻的状态变量值，它由输入信号、系统参数以及n时刻的状况变量值确定，因此，状态方程可由递推的方法求解。

图 7.3-2 式(7.3-2)状态变量排序不同的流图

在图7.3-1中，状态变量的序号是从左往右排序的，如果图7.3-2是从右往左排，不难推出其状态方程与输出方程的矩阵形式为

或 由此可见，相同的系统函数与信号流图， 由于不同的状态变量排序，就会有不同的状态方程与输出方程。

特别的，若M=N=2时，二阶系统基本信号流图及状态变量如图7.3-3所示，其状态方程与输出方程为 或

图 7.3-3 二阶系统基本信号流图

例7.3-1某单输入单输出系统及状态变量如图7.3-4所示，要求建立其状态方程与输出方程。 图 7.3-4 例7.3-1系统流图

解 图中具有两个延时支路，因此建立两个状态变量w1(n)、w2(n)如图7.3-4所示，列出延时支路输入节点方程为 输出信号y(n)的方程

写成矩阵方程 当系统是N阶（有N个单位延时支路）单输入单输出的情况时，一般状态变量分析法可以用图7.3-5来表示。

图 7.3-5 单输入单输出系统状态变量分析法

状态方程与输出方程用矩阵矢量表示为 (7.3-9) (7.3-10) 式中, w(n)=［w1(n) w2(n) … wN(n)］T

式(7.3-9)、(7.3-10)中的A是N×N的方阵，B是N维列矩阵，C是N维行矩阵，d是单个常数。

更一般的N阶离散系统（有N个单位延时支路），有M个输入信号x1(n) , x2(n) , … , xM(n)，L个输出信号y1(n) , y2(n) , … , yL(n)， 则状态方程与输出方程分别为 (7.3-11) (7.3-12) 式中

式中，A、B、C、D都是常数矩阵，称为参数矩阵。

7.3.2 参数矩阵的物理意义 在这里主要分析单输入单输出的情况， 由图7.3-5可以讨论A、 B、C、D的物理意义，图中w(n+1)、w(n)是状态变量。  A矩阵是状态矢量w(n)到状态矢量w(n+1)所有反馈支路增益组成的矩阵，其中aij表示由第j个状态变量节点wj到第i个状态变量wi(n+1)的支路增益。  B矩阵是由输入x(n)到状态矢量w(n+1)所有支路增益组成的矩阵，其中bi表示由输入节点到第i个状态变量wi(n+1)的支路增益。 C矩阵是状态矢量w(n)到输出节点所有支路增益组成的矩阵， 其中ci表示由状态变量wi(n)到输出节点所有的支路增益。

D矩阵是输入输出之间的支路增益，在单输入单输出时D=d, 表示输入节点到输出节点的支路增益。  特别是网络中两节点之间没有支路，其支路增益为零；而自己到自己的节点反馈支路增益为1。  状态方程与输出方程利用四个参数矩阵描述了系统内部结构。系统内部结构确定了，由信号流图就可以求出系统的状态方程与输出方程。  对简单的信号流图，可利用参数矩阵的物理意义直接写出状态方程与输出方程，或四个参数方程。

例7.3-2 已知某系统的系统函数H(z)为 要求建立其系统的状态方程与输出方程。  解 由例7.3-2可以将H(z)转换为传递函数形式

图 7.3-6 例7.3-2系统流图

根据流图及式(7.3-5)、 (7.3-6)写出状态方程与输出方程

由系统函数求系统的状态方程与输出方程，要将系统函数变为直接形式， 画出系统的流图，对状态变量排序，再列出状态方程……其工作量不小。利用MATLAB程序我们可以方便地将IIR直接型系统函数H(z)、级联型系统函数H(z)与状态方程互换。

例7.3-2的系统函数 ， 与状态方程互换的MATLAB程序与结果如下： ［A B C D］=tf2ss(b,a)

答案 A = 1.2500 -0.7500 0.1250 1.0000 0 0 0 1.0000 0 B = 1 0 C = 6 5 -1 D = 8

例7.3-2的系统函数 ， 与状态方程互换的MATLAB程序与结果如下： sos =［8 -1.5196 0 1 -0.25 0;1 -0.31 1.3161 1 -1 0.5］; ［A B C D］=sos2ss(sos)

答案 A = 1.2500 -0.7500 0.1250 1.0000 0 0 0 1.0000 0 B = 1 0 C = 6.0004 4.9999 -0.9999 D = 8

受有限精度运算影响， 变换结果与例7.3-2相比C阵有误差。 利用参数矩阵的物理意义，可以直接列写系统结构简单的参数矩阵，得到其状态方程。尤其FIR系统函数是全零点（除原点处，系统无极点）形式，其直接结构的系统函数为 (7.3-13)

状态变量按照从左至右的顺序排列。因为FIR系统无反馈支路，所以四个参数矩阵的一般规律为 (1) A阵除了ai,i-1=1外，其余为零；  (2) B阵除了b1=1外，其余为零；  (3) C阵为［h(1) h(2) … h(N)］；  (4) D阵为h(0)。

例7.3-3已知FIR滤波器的系统函数H(z)为 H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3  画出H(z)的信号流图并根据流图写出状态方程与输出方程。 图 7.3-7 例7.3-3系统流图

在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)、w3(n)，由参数矩阵的一般规律，可直接写出状态方程与输出方程为

7.4 离散系统状态方程的z域分析法 7.4.1 由z域分析法求解状态方程 离散系统为单输入单输出时，系统的状态方程与输出方程为 (7.4-1) 对方程两边取z变换 (7.4-2)

式中, w(0)为初始条件 整理式(7.4-2) 得到 (7.4-3) 式中, I为N×N的单位对角矩阵

由式(7.4-3)可得到响应的时域表示 (7.4-4) 定义系统的状态特征(转移)矩阵为 (7.4-5) 则Φ(z)的Z反变换对应的是矩阵指数函数，即 (7.4-6) 或 (7.4-7)

例 7.4-1 已知离散系统的状态方程与输出方程为 其中, 输入x(n)=u(n)，初始条件 ，试求状态变量w(n)与输出y(n)。

解 参数矩阵分别为 其行列式det与伴随矩阵adj分别为

状态变量 因为w(0)=0，所以

7.4.2 参数矩阵与系统函数 单输入单输出离散系统的状态方程与输出方程为 w(n+1)=Aw(n)+Bx(n) y(n)=Cw(n)+dx(n) 对上两式作Z变换(设系统为零状态)有 zW(z)=AW(z)+BX(z) (7.4-8) Y(z)=CW(z)+dX(z) (7.4-9) 式中 W(z)=［W1(z) W2(z) … WN(z)］T  Wi(z)=Z［wi(n)］，X(z)=Z［x(n)］，Y(z)=Z［y(n)］

由式(7.4-8)解得 W(z)=［zI-A］-1BX (z) 代入式(7.4-9)，得输出的Z变换为 Y(z)=C［zI-A］-1BX(z)+dX(z) (7.4-10) 由式(7.4-10)推出系统函数 (7.4-11) 式中，I是N×N阶单位矩阵。

例7.4-2 已知某二阶系统的四个参数矩阵如下，求该系统的系统函数H(z)。 解

在例7.3-2中已知某系统的四个参数矩阵 C=［6 5 -1］，d=8，求系统函数H(z)。由四个参数矩阵求出系统直接形式的系统函数H(z)的MATLAB程序及结果为 A=［1.25 -0.75 0.125;1 0 0;0 1 0］; B=［1 0 0］′; C=［6 5 -1］; D=8; ［num,den］=ss2tf(A,B,C,D)

答案 num = 8.0000 -4.0000 11.0000 -2.0000 den = 1.0000 -1.2500 0.7500 -0.1250 结果与例7.3-2相同。

由四个参数矩阵求出系统级联形式的系统函数H(z)的MATLAB程序及结果为 C=［6 5 -1］; D=8; sos=ss2sos(A,B,C,D)

答案 sos = 8.0000 -1.5196 0 1.0000 -0.2500 0 1.0000 -0.3100 1.3161 1.0000 -1.0000 0.5000   结果与例7.3-2相同。

7.4.3 参数矩阵与系统的特性 下面先讨论A矩阵的特征值与H(z)的极点的关系。由A矩阵的物理意义可知它是反馈环路的系数矩阵，正是这些反馈环路的作用，产生了系统的极点。所以极点只与A矩阵有关。设系统函数H(z)=B(z)/A(z)，极点为分母多项式A(z)=0的解。由式(7.4-11)可以得到系统函数H(z)极点与A矩阵的关系为 (7.4-12) 式中，A(z)称为A矩阵的特征多项式，其根为A矩阵的特征值。 而A矩阵的特征值就是H(z)的极点。由稳定系统定义可知，A矩阵的所有特征值的模小于1，系统因果稳定，否则因果不稳定。

z2-3z+2=0 z1=1, z2=2 (即为极点） 例7.4-3 已知某系统的 , 判断系统是否稳定。 解 特征方程为 特征根 例7.4-3 已知某系统的 , 判断系统是否稳定。 解 特征方程为 z2-3z+2=0 特征根 z1=1, z2=2 (即为极点） 可见，由于z1=1，z2>1，所以该系统不稳定。

A矩阵是N×N的矩阵，当N较大时，由det［zI-A］求出A(z)， 再求特征值也不容易。而利用MATLAB程序可以很方便地由A矩阵求出A(z)的特征根，即系统的极点。 已知某系统的A参数矩阵为 ，求系统极点（矩阵的特征值）的MATLAB程序及结果为

A=［1.25 -0.75 0.125;1 0 0;0 1 0］;% A矩阵 eig(A)% A矩阵的特征根 ans = 0.5000 + 0.5000i 0.5000 - 0.5000i 0.2500  可知系统在单位圆内有一对共轭极点和一个单极点，是稳定系统。

7.5 系统的可控制性与可观测性 例7.5-1 已知某系统的并联流图及状态变量如图7.5-1所示。 试求系统的状态方程与输出方程，并讨论激励f(t)对各状态变量的控制情况，以及由输出观测各状态变量的情况。 解 系统的状态方程与输出方程为

将上式分别写成矩阵形式

四个参数矩阵分别为

图7.5-1 例7.5-1系统流图

7.5.1 系统的可控性及其判别法 可控性定义：若给定系统的任意初始状态， 通过输入量（控制矢量）的作用，能在有限时间之内将系统所有状态引向（转移至）状态空间的原点（零状态），则该系统是完全可控的，如果只能使部分状态变量做到，则该系统是不完全可控的。 除了当A矩阵是对角矩阵时，可检查B矩阵是否有零元素。下面给出更一般的单输入可控阵满秩判别法。  设n阶LTI系统的状态方程为

rankM=n rankM=n 式中, A是n×n阶矩阵，B是n×1阶矩阵，该系统完全可控的充要条件是可控性判别矩阵M满秩， 即 (7.5-1) 其中 (7.5-2) 式(7.5-1)、 (7.5-2)不仅对连续系统适用，对离散系统也适用。 即n阶单输入LTI离散系统的状态方程为w(n+1)=Aw(n)+Bx，则该系统完全可控的充要条件是可控性判别矩阵M满秩，即 rankM=n 其中

例7.5-2 判断下列给定系统的可控性。 (1) (2)

(3) 解 (1) rankM1=2, 系统是完全可控的。

(2) rankM2=1, 系统不是完全可控的。 (3) rankM3=2, 系统是完全可控的。

利用MATLAB可方便地计算系统的可控性， 计算本题各系统可控性的MATLAB程序与结果如下。  A1=［0 1;-2 -4］;%例7.5-2(1)的A矩阵 B1=［0 1］′; %例7.5-2(1)的B矩阵 Co1=ctrb(A1,B1) %例7.5-2(1)的可控性 A2=［2 2;0 -2］; %例7.5-2(2)的A矩阵 B2=［1 0］′; %例7.5-2(2)的B矩阵 Co2=ctrb(A2,B2) %例7.5-2(2)的可控性 A3=［0 1;-1 0］; %例7.5-2(3)的A矩阵 B3=［1 2］′; %例7.5-2(3)的B矩阵 Co3=ctrb(A3,B3) %例7.5-2(3)的可控性

答案 Co1 = 0 1 1 -4 Co2 = 1 2 0 0 Co3 = 2 -1

7.5.2 系统的可观性及其判别法 可观性定义：若给定系统的控制后，能在有限时间之内由系统输出惟一确定系统的所有初始状态，则该系统是完全可观的，如果只能确定部分初始状态， 则该系统是不完全可观的。 除了当A矩阵是对角矩阵时，可检查C矩阵是否有零元素。下面给出单输入单输出系统更一般的可观性满秩判别法。 设n阶LTI系统的输出方程为

rankN=n 该系统是完全可观的充要条件是可观性判别矩阵N满秩， 即 (7.5-3) 其中 C CA N= (7.5-4a) … 或 N=(C|CA|CA2| ….|CAn-1)T

例7.5-3 判断下列给定系统的可观性。

解 (1) rankN=2，系统是完全可观的。

(2) rankN=1，系统是不完全可观的。 rankN=2，系统是完全可观的。

利用MATLAB可方便地计算系统的可观性，计算本题各系统可观性的MATLAB程序与结果如下: C1=［0 1］; Ob1= obsv (A1,C1) A2=［2 2;0 -2］; C2=［0 1］; Ob2= obsv (A2,C2) A3=［0 1;-1 0］; C3=［0 1］; Ob3= obsv (A3,C3)

答案 Ob1 = 0 1 -2 -4 Ob2 = 0 1 0 -2 Ob3 = -1 0

H(s)=C(sI-A)-1B+d 7.5.3 系统函数与系统的可控、 可观性 7.5.3 系统函数与系统的可控、 可观性 系统传递函数H(s)是系统分析中的重要概念，在单输入单输出情况下它与状态参数矩阵的关系为 H(s)=C(sI-A)-1B+d 要讨论系统的可控、可观性，由前分析可知最直观的是A参数矩阵为对角阵，此时B阵的零元素对应不可控的状态变量， C阵的零元素对应不可观的状态变量。但一般所给定的A参数矩阵未必是对角阵，所以这时有规范化的问题。由7.1节知道相同的传递函数，由于所设置的状态变量不同，其参数矩阵也就不同。因此一个系统可有若干不同的状态方程和输出方程，或者说系统传递函数H(s)在线性变换下保持不变， 即

(7.5-5) 例7.5-4 已知某系统的状态方程和输出方程为 y(t)=x1-x2+x3

（1） 讨论系统的可控、可观性；（2） 求该系统的系统传递函数；( 3） 讨论不可控与不可观的状态变量情况。  解（1） 将上式分别写成矩阵形式

代入式(7.5-2)， 得 M的第二行与第三行相同，rankM=2≠3，所以系统是不完全可控的。

代入式(7.5-4)， 得   N的第二列乘以-1后与第三列相同，rankN=2≠3，所以系统是不完全可观的。计算本题系统可控性与可观性的MATLAB程序与结果如下。  a=［-1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3］; b=［1 0 0］′; c=［1 -1 1］; co=ctrb(a,b) ob=obsv(a,c)

答案 co = 1 -1 1 0 1 -5 ob = 1 -1 1 -1 3 -3 1 -9 9

（2） 该系统的系统传递函数

本题由参数方程计算系统函数的MATLAB程序与结果如下。  C=［1 -1 1］; D=0; ［num,den］=ss2tf(A,B,C,D)

答案 num = 0 1.0000 7.0000 12.0000 den = 1 8 19 12

（3） 要讨论系统的不可控与不可观的状态变量情况，须先将原状态方程矩阵变换为规范化矩阵即对角矩阵。由特征矢量求出其对角化的变换矩阵为 设新的状态变量为w，则系统的对角化方程为

图 7.5-2 例7.5-4系统流图

对角化后的系统函数为

通过以上分析可见，当系统具有不可控、不可观的状态变量时，则系统传递函数的零、极点会有相互抵消现象，这表明仅用系统传递函数描述一个系统有时并不全面。

本题系统函数对角化的MATLAB程序与结果如下：  A=［-1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3］; %系统的A矩阵 ［P1,A1］=eig(A) %变换逆矩阵与对角化的A矩阵 答案 P1 = 0 0 0.9045 0 0.7071 0.3015 1.0000 0.7071 0.3015 A1 =-3 0 0 0 -4 0 0 0 -1

P1的逆阵运算为 inv(P1) ans = -0.0000 -1.0000 1.0000 -0.4714 1.4142 0 1.1055 0 0

解题时为方便，将P1(变换逆阵)取整为［0 0 3;0 1 1;1 1 1］， 所对应的P(变换阵)计算程序与结果为 inv(P1) % P1的逆阵 ans = 0 -1.0000 1.0000 -0.3333 1.0000 0 0.3333 0 0

验算 P1=［0,0,3;0,1,1;1,1,1］; A=［-1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3］; inv(P1)*A*P1 ans = -3 0 0 0 -4 0 0 0 -1