第2章多面正投影本章教学目的与要求机械制图仝基斌 1、掌握正投影法原理和三视图的形成; 2、掌握点的投影规律；

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第2章多面正投影本章教学目的与要求机械制图仝基斌 1、掌握正投影法原理和三视图的形成; 2、掌握点的投影规律；第2章多面正投影本章教学目的与要求 1、掌握正投影法原理和三视图的形成; 2、掌握点的投影规律；熟悉点的投影与该点坐标间关系；（重点）熟悉两点的相对位置及重影点；（难点） 3、熟练掌握各种空间位置直线的投影特征；（重点） * 掌握一般位置直线求实长（直角三角形法）；（难点）熟练掌握直线上的点和直线的关系；熟练掌握两直线的相对位置：平行、相交、交叉；（难点） 4、熟悉平面的投影表示法和各种位置平面的投影特征；（重点）熟练掌握平面上如何取点和线；（重点）熟练掌握平行、相交、*垂直问题的有关基本作图问题；（难点） *5、掌握换面法中的四个基本问题； * 6、综合运用所学投影原理知识，灵活解题（难点）下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

第一节投影法和物体三视图的形成一、投影法的概念中心投影法动画演示机械制图仝基斌第一节投影法和物体三视图的形成一、投影法的概念物体在光线照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们根据这种自然现象加以抽象研究，总结其中规律，提出投影的方法。下图是投影法产生的原理图。点S称为投射中心，平面P称为投影面，直线SAa称为投射线。这种产生图像的方法称为投影法。投影原理图中心投影法动画演示回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

二、投影法分类机械制图仝基斌 1．中心投影法（应用在建筑制图上） 2．平行投影法：斜投影法和正投影法斜投影法：平行投射线与投影面相倾斜，称为斜投影法，投影称为斜投影。正投影法：平行投射线与投影面相垂直，称为正投影法，投影称为正投影投影法。（应用在机械制图上）斜投影法动画正投影法动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

3.正投影的基本特性（1）实形性当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，投影反映实形（或实长）。（1）实形性当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，投影反映实形（或实长）。（2）积聚性当物体上的平面（或柱面、直线）与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为直线（或曲线、点）。（3）类似性当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影的面积变小了（或长度缩短），但投影的形状仍与原来的形状类似。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

三、物体的三视图 1. 三面投影体系的建立（V⊥H⊥W) 机械制图仝基斌三个投影面把空间分成八个分角，分别称为Ⅰ（我国机械制图用第一分角）、 Ⅱ、Ⅲ（英、美等国家采用第三分角）、Ⅳ分角…… 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2. 三视图的形成机械制图仝基斌动画在绘制机械图样时，将机件向投影面进行正投影所得的图形称为视图。 2. 三视图的形成在绘制机械图样时，将机件向投影面进行正投影所得的图形称为视图。正投影面（V） →正面投影→主视图（常反映机件形体主要特征）水平投影面（H） →水平投影 →俯视图侧投影面（W） → 侧面投影→左视图。动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2.三视图的对应关系 (1)三视图的度量关系（三等关系）机械制图仝基斌主、俯视图——长对正；主、左视图——高平齐；俯、左视图——宽相等。三视图投影规律是画图和读图必须遵循的最基本的投影规律 (2)三视图的方位关系远离主视图是物体的前面注意： ①一般说来，前后方向容易搞错； ②在量取宽相等时，切忌把俯视图的宽度方向尺寸量到左视图的高度方向上去。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

第二节点的投影任何立体都可以看作是点的集合。点是基本几何要素，研究点的投影性质和规律是掌握其他几何要素投影的基础。第二节点的投影任何立体都可以看作是点的集合。点是基本几何要素，研究点的投影性质和规律是掌握其他几何要素投影的基础。如左图所示，过空间点A向投影面作投射线（即垂线）， A 点在投影面上的投影为a。反之，若已知投影a，不能唯一确定点A的空间位置。确定一个空间点至少需要两个投影。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

一、点的两面投影 V面投影，标记a′称正面投影 A 点与ox轴交点ax 分析： ox ⊥ Aa、 ox ⊥ a′ax、 ox ⊥ a ax H面投影，标记a ，称正面投影分析： ox ⊥ Aa、 ox ⊥ a′ax、 ox ⊥ a ax 投影平面展开连线得 a a′ ⊥ ox A a′= a ax a′ax = A a 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

点在两投影面体系中的投影规律（1）点的投影连线垂直于投影轴，即a a′⊥OX。（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相邻投影面的距离，即aax＝A a′、a′ax＝Aa。思考：点A到哪个投影面距离近回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

二、点在三投影面体系中的投影 1. 三投影面体系的建立点三面投影动画演示点三面投影展开动画演示 A （空间点）到 W面投影，标记 a“ , 称侧面投影得 a ‘a“ ⊥ oz 展开W、H OY轴一分为二OYh、 OYw 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2.点在三投影面体系中的投影规律：（1）点的投影连线 ⊥相应的投影轴。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ （2）空间点到投影面的距离=该点在另外两投影面的投影到相应投影轴的距离。 az a″= a a x=A a′(宽y相等）作图要求：作图线用细实线，点用黑点标出。 YH 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例一】已知点A的正面投影a′和水平投影a，求A的侧面投影a″。此可作出其侧面投影。作图：过a作OYH的垂线与45º辅助线相交，过交点作OYW的垂线与过a′的水平线相交，交点即为 a″。 z a″ a′ o x 动画演示 Yw a Yh 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

三、点的投影与直角坐标的关系机械制图仝基斌 1.点A（xA、yA、zA）的投影与坐标关系： xA＝aZ a′＝aYHa＝a″A（点到W面的距离） yA＝＝aXa＝aZa″＝a′A（点到V面的距离） zA＝aX a′＝aYW a″＝aA（点到H面的距离）点的投影坐标表示：a′（x,o,z)、 a″ （o,y,z) 、a （x,y,o) 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2. 特殊位置点：投影面上点的投影特性： 1）点的一个投影与空间点本身重合；机械制图仝基斌 2）点的另两个投影在相应的坐标轴上；投影轴上的点的投影特性：1）点的两个投影与空间点本身重合； 2）点的另一个投影在原点；回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

z a′ a″ b′ c′ o b″ x a c b 【例二】已知点A的坐标（20，0，10），点B的坐标求作各点的三面投影图。分析：由于yA＝0，则点A在V面上，而zB＝0，点B在H面上，又由于yC=0， zC=0，点COX轴上。作图：（见下图） z a′ a″ b′ c′ o b″ (c″) x Yw a c b YH 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

三、两点的相对位置机械制图仝基斌 1.空间方位的约定：x坐标增大的方向为向左的方向；y坐标增大的方向为向前的方向； z坐标增大的方向为向上的方向 2.点的相对位置的判别：x坐标→判别左右的方向；y坐标→判别前后的方向 z坐标→判别前后的方向两点的相对位置动画演示回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例三】已知点A的三面投影，并知B点在A点的左边5mm,下边10mm，后边 5mm，求B点的三面投影 z a′ a″ b″ b′ o x yw b a yh 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

四、重影点机械制图仝基斌当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，因而在由相同两坐标确定的投影面上具有重合的投影，则这两投影称为对该投影面的重影点。重影点要判别可见性：由两点不同的坐标的大小判别，坐标大的可见，反之不可见。不可见点加括号。重影点动画演示回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

第三节直线的投影（复习两点的投影引入直线投影的概念）机械制图仝基斌一、概述一般位置直线（∠投影面，不反映实长）第三节直线的投影（复习两点的投影引入直线投影的概念）一、概述一般位置直线（∠投影面，不反映实长） 1.直线的分类投影面平行线（∥投影面、反映实长）特殊位置直线投影面垂直线（⊥投影面、积聚为一点） 2.直线的投影特性 :直线的投影一般仍为直线（特殊为点）；直线的投影可连接线段两个端点的同面投影来确定；直线的投影有类似性、真实性、积聚性等三个特性回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

3.直线与投影面夹角的约定与水平投影面的倾角用α表示正面投影面的倾角用β表示侧面投影面的倾角用γ表示机械制图仝基斌退回总目录回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

二、特殊位置直线正平线 (∥ V面； ∠H、W面）水平线 (∥ H面； ∠V、W面）侧平线 (∥ W面； ∠V、H面） 1．投影面平行线：( ∥一个投影面而， ∠另外两个投影面 ) 正平线 (∥ V面； ∠H、W面）水平线 (∥ H面； ∠V、W面）侧平线 (∥ W面； ∠V、H面）正平线动画演示水平线动画演示侧平线动画演示回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

下表是正平线、水平线和侧平线的投影图及其投影特性机械制图仝基斌名称正平线（AB∥V面）水平线（AB∥H面）侧平线（AB∥W面）投影图投影特性（1）a′b′反映实长，反映角α、γ。（2）ab∥OX， a″b″∥OZ 均小于实长。（1） ab反映实长，反映角β、γ。（2） a′b′∥OX a″b″∥OYH 均小于实长。（1） a″b″反映实长，反映角α、β （2） a′b′∥OZ ab∥OYW 均小于实长回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

投影面平行线的投影特性如下： 1） ∥投影面上的投影，反映实长；夹角分别反映直线对另两投影面的真实倾角。反映实长；夹角分别反映直线对另两投影面的真实倾角。 2）另外两个投影面上的投影∥相应的投影轴，长度缩短。投影面平行线实例动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2．投影面垂直线 ( ⊥一个投影面而， ∥另外两个投影面 ) 正垂线 (⊥ V面； ∥ H、W面）铅垂线 (⊥ H面；∥ V、W面）侧垂线 (⊥ W面； ∥V、H面）正垂线铅垂线侧垂线回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

正垂线、铅垂线和侧垂线的投影及其投影特性机械制图仝基斌名称正垂线（AB⊥V面）铅垂线（AB⊥H面）侧垂线（AB⊥W面）（2） a′b′⊥OX， a″b″⊥OYW， a′b′、a″b″ 均反映实长。 1）a′b′积聚为一点 2） ab⊥OX， a″b″⊥OZ，ab,a″b″均反映实长 1） a″b″积聚为一点 2） a′b′⊥OZ， ab⊥OYH，ab、 a′b′均反映实长回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

投影面垂直线的投影特性如下：（1） ⊥投影面上的投影，积聚成一点。（2）另外两个投影面上的投影，⊥相应的投影轴，且反映实长。投影面垂直线实例动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

三、一般位置直线（与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线） 1. 一般位置直线的投影特性为：（1）三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于实长；（2）与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。回章节目录一般位置直线动画演示上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

*2 . 直角三角形法求直线实长及对投影面的倾角（1）求AB的实长和对投影面的倾角α 机械制图仝基斌回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

|zA-zB| |zA-zB|  |zA-zB |  AB AB |zA-zB|  ab 机械制图仝基斌 1．求直线的实长及对水平投影面的夹角角 |zA-zB| |zA-zB|   |zA-zB | AB  AB ab |zA-zB| 2018/12/30 机械制图仝基斌

b AB   |yA-yB| a X b |yA-yB| a |yA-yB| AB |yA-yB|  ab 机械制图仝基斌 2．求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 a X a b b AB  |yA-yB|  |yA-yB| |yA-yB| AB  ab |yA-yB| 2018/12/30 机械制图仝基斌

|xA-xB| b  B b a  b A a a |xA-xB| 机械制图仝基斌 3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角 |xA-xB|  A B b b a b a a  |xA-xB| 2018/12/30 机械制图仝基斌

a a 规律：用一般位置线的一个投影及对该面的坐标差为二直角边求作其实长和倾角的方法俗称为直角三角形法。【例四】：已知线段的实长AB,求它的水平投影ab。（思考：已知 β=30°，求它的水平投影ab） 30° a a 两解 a 两解 a 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

四、属于直线上的点（线上找点）机械制图仝基斌直线上点的投影动画 1. 从属性：点在线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之, 点的各个投影在线的同面投影上, 则该点一定在直线上。利用这一特性可在线上找点或判断已知点是否在线上。 2. 定比性：点分线段长度比等于其投影分线段投影长度之比。 (定比定则 AC：CB＝ac：cb＝a′c′：c′b′＝a″c″：c″b″ 利用这一特性在不作出侧面投影的情况下，在线上找点或判断已知点是否在线上。直线上点的投影动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

[例题五] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c 。 2018/12/30 机械制图仝基斌

[例题六] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。 2018/12/30 机械制图仝基斌

（变化：已知m、 m′判断点M是否在 AB上）回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

c′ c 小结：（1）特殊位置线投影，能熟练画出（2）直角三角形法求实长及α、β角的灵活应用（3）定比定则和直角三角形法的综合应用 *【思考题】已知AB的投影，试定出属于AB的点C 的投影，使BC实长等于已知长度L。 BC实长L c′ c 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

五、两直线的相对位置机械制图仝基斌空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交（亦称共面直线）交叉（亦称异面直线）交叉（亦称异面直线） 1．两直线平行若空间两直线平行，则三个面同面投影必定互相平行。反之，若直线同面投影都（三面）互相平行，则两直线在空间必定互相平行。回章节目录两直线平行动画上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例七】判断两侧平线AB、CD的相对位置（如下图）注意：1)对于一般位置直线，有两组同面投影相互平行，即可判断空间两直线相互平行。 2)若直线为投影面的平行线，则要根据直线所平行的投影面上投影是否平行来断定它们在空间是否平行。(即画出第三面投影判断) 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例八】判断两侧平线AB、CD的相对位置（如下图） 1 ′ 1″(2″) 2′ AB、CD交叉回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2．相交两直线：机械制图仝基斌空间两直线若相交，它们的同面投影必定相交，且交点必定符合点的投影规律。相交两直线动画注意：1) 对两一般位置线，若两组同面投影都相交，且两投影交点符合点的投影规律，则空间两直线相交。 2) 若两直线有一直线为投影面平行面时，则两组同面投影中必须包括直线所平行的投影面上的投影。 (即画出第三面投影判断) 回章节目录相交两直线动画上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例九】判断两直线AB、CD的相对位置 Z c″ b″ 1′ a″ d″ yw yH 机械制图仝基斌 c′1′ 1′d′ 方法一：求第三投影方法二：定比定则（如右下图） Z c″ b″ 1′ a″ d″ yw c′1′ yH 1′d′ 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

3．交叉两直线：既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。（1）交叉两直线在同一投影面上的交点为对该投影面的一对重影点，可从另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原则来判别它们的可见性。重影点 Ⅰ Ⅱ 重影点回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

机械制图仝基斌（2）交叉两直线的投影可能会有一组或二组是互相平行，但决不会三组同面投影都互相平行，（3）交叉两直线的投影也可能是相交的，但各个投影的交点一定不符合同一点的投影规律。 2′ 1′ 1″(2″) 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

f′ e′ f 【例十】已知直线AB、CD的两面投影和点E的水平投影 e，求作直线EF与CD平行，并与AB相交于点F。机械制图仝基斌回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

四、一边平行于投影面的直角投影（直角投影定理）空间垂直相交的两直线，若其中一直线为投影面平行线，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。也称为直角投影定理。反之，相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直线为该投影面的平行线，则这两直线是空间互相垂直的两直线。此投影特性也适用于交叉垂直的两直线。如上图当CB直线不动，水平线AB平行上移时，ab与cb仍互相垂直。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

[例十一]过点C作线段CD与线段AB垂直相交。思考：上题改为求点C到线段AB的距离，如何作图。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例十二】求AB、CD两直线的公垂线 k′ e′ k (e) 机械制图仝基斌则公垂线的水平投影必垂直于cd（直角投影定理）,侧面投影平行OX轴。作图：由直线AB的水平投影ab向cd作垂线交于k，由此求出k′；由k′向a′b′ 作垂线交于e′，e′k′和ek即为公垂线EK的两投影，且ek=EK为两交叉直线AB、CD的距离。 k′ e′ k (e) 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

*【思考题】求A点到CD的距离。 AB实长坐标差 b′ b 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

第四节平面的投影机械制图仝基斌一、平面的表示法 1．用几何元素表示平面由初等几何学可知，下列几何元素组都可以决定平面在空间的位置。第四节平面的投影一、平面的表示法 1．用几何元素表示平面由初等几何学可知，下列几何元素组都可以决定平面在空间的位置。 1）不在同一直线上的三点； 2）一直线和该直线外一点； 3）相交两直线； 4）平行两直线； 5）任意平面图形。 (五种可相互转化) 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

平面P与H面的交线称为水平迹线，以PH表示；与V面的交线称为 2．用迹线表示平面：迹线即平面与投影面的交线平面P与H面的交线称为水平迹线，以PH表示；与V面的交线称为正面迹线，以PV表示；与W面的交线称为侧面迹线，以PW表示回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

二、平面对投影面的各种相对位置机械制图仝基斌分类：投影面垂直面（⊥一投影面，∠另两投影面）特殊位置平面投影面平行面（∥一投影面， ⊥另两投影面）一般位置平面（ ∠三个投影面）约定：平面与投影面H、V、W的两面角，分别用α、β、γ表示。 1．投影面垂直面（⊥一投影面，∠另两投影面）铅垂面（ ⊥ H面，∠ V、 W面）分类正垂面（ ⊥V面，∠ H、 W面）侧垂面（⊥ W面，∠ H、 V面）回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

以铅垂面为例分析其投影特性为：机械制图仝基斌（1） ⊥投影面上的投影，积聚成直线；（积聚性）积聚性投影与投影轴夹角，分别反映面对另两投影面的倾角。（2）在另外两投影面上的投影均为类似形。（类似性）铅垂面动画铅垂面的投影图注：类似形的投影特性：边数不变，各顶点符合投影规律；原来边平行，仍平行；成比例，仍成比例；直线边对应直线边，曲线边对应曲线边。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

正垂面的投影正垂面投影图正垂面投影动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

侧垂面的投影侧垂面投影动画侧垂面投影图回章节目录投影面垂直面投影实例动画上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2．投影面平行面水平面（ ∥ H面， ⊥ V、 W面）分类正平面（ ∥ V面，⊥ H、 W面）（∥一投影面， ⊥另两投影面）水平面（ ∥ H面， ⊥ V、 W面）分类正平面（ ∥ V面，⊥ H、 W面）侧平面（ ∥ W面， ⊥ H、 V面）以水平面为例分析其投影特性为：（1）在平行的投影面上的投影，反映实形。（实形性）（2）在另外两投影面上的投影，积聚成直线，（积聚性）分别平行于相应的投影轴。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

水平面的投影水平面投影图回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

正平面的投影正平面投影图回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

侧平面的投影侧平面投影图投影面平行面投影实例动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

3．一般位置平面（∠三个投影面）机械制图仝基斌一般位置面的三个投影△abc、△a′b′c′、△a″b″c″均为类似形。 3．一般位置平面（∠三个投影面）一般位置面的三个投影△abc、△a′b′c′、△a″b″c″均为类似形。其投影特性为：三个投影均是类似形，而且面积比实际小；投影图上不直接反映平面对投影面的倾角。回章节目录一般位置平面投影实例动画上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

三、平面上取点和线机械制图仝基斌 1．几何条件：（1）若点位于面内直线上，则点在该面内。（2）直线过平面上的两点，线必在该平面内（3）线过面上一点且平行面内另一直线，则线在该面内。 2．求取方法：①求点，先找线；②作线，先找点。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

3．面上取线 3′ 2′ 1′ 2 3 1 ①一般位置面上作水平线（用水平面与△ABC相交，交线无数条) (条件：过 A点作水平线 ②一般位置面上作正平线交线无数条）　　　（条件：作正平线距V面 25mm） *③作含直线的垂直面或平行面（迹线表示） 3′ 2′ 1′ 2 3 1 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例十三】判别点M是否在面△ABC内，并作出△ABC面上点N的正投影。 1′ 2′ n′ 2 1 机械制图仝基斌分析：判别点是否在面上和求平面上点的投影，利用点在面上，点定在面内一条线上这一投影特性。作图：注意：判断点是否在面内，不能只看点的投影是否在面的投影轮廓线内，一定要用几何条件和投影特性来判断。 1′ 2′ n′ 2 1 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

e′ d′ d e 【例十四】已知△ABC平面的两面投影，作出平面上水平线AD和正平线CE的两面投影。机械制图仝基斌分析：由于水平线的正面投影投影平行 O X轴，故可先求AD的正面投影，而正平线的水平投影平行OX 轴，故可先求CE 的水平投影。作图： e′ d′ d e 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例十五】完成平面图形ABCDE的正面投影。正面投影和水平投影，面的空间位置已确定， E、D两点应在△ABC 面上，故利用点在面上的原理作出点的投影即可。作图： 2′ 1′ 1 2 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

第五节直线与平面及两平面的相对位置（平行、相交、垂直相交）第五节直线与平面及两平面的相对位置（平行、相交、垂直相交）一、平行问题 1．直线与平面平行几何条件：若线平行某面内一直线，则线与该面平行两平行线各组同面投影均平行（利用它来解题）回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2．平面与平面平行机械制图仝基斌几何条件：（1）一对相交直线对应地平行，则这两个平面互相平行。 (两一般位置面相互平行) （2）两特殊位置面相互平行，有积聚性的那组同面投影平行回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例十六】判断AB与△CDE是否平行。 g′ f′ f g （不平行）机械制图仝基斌分析：在正投影面内作e′f ′ ∥a′b′ ，检验ef 与 ab是否平行。 g′ f′ f g （不平行）回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

b′ a′ f′ a b f 【例十七】试过点K作水平线AB平行于△CDE平面。机械制图仝基斌分析：在△CDE面内作水平线EF，过k点作 ef ∥ ab ，过k′点作e′f′∥a′b′ 。 b′ a′ f′ a b f 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例十八】试判断两平面是否平行。（平行）机械制图仝基斌分析：在两平面内分别作水平线、正平线，检验是否相互平行。 n′ m′ h′ g′ h g n m （平行）回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

二、相交问题机械制图仝基斌（只研究面或线为特殊位置时的交点）线与面、面与面不平行，一定相交。线与面的交点是线与面的共有点；面与面的交线是两面的共有线。求取方法：交点的一个投影位于面或线有积聚性的投影交点，另一投影用线上点的投影特性求得。线与面相交动画面与面相交动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

1．直线与平面相交机械制图仝基斌（1）线与特殊位置面相交（交点是共有点）（求交点并判别可见性）判别可见性方法：目测法、重影点法可见性判别：k′b′是可见的，应画成粗实线；a′k′在 e′f′g′h′ 内的部分不可见的，画成虚线。 k′ 1′(2′) (2) k 1 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

（2）投影面垂直线与一般位置平面相交机械制图仝基斌 d ′ d (k′) m′ (1′) 2′ Ⅰ Ⅱ k m 1 (2) 1 (2) 分析：AB是正垂线，其正面投影有积聚性，交点K是直线AB上的一个点，所以K点的正面投影k′和a′（b′）重影，又因交点K也在三角形平面上，故可利用平面上取点的方法，作出交点K的水平投影k。 (k′) m′ (1′) d ′ 2′ Ⅰ Ⅱ k m 1 (2) 1 (2) d 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

机械制图仝基斌 2．平面与平面相交（交线是共有线）求交线的方法：求出交线上任意两点连接而得，也可求出其中一点，然后由交线的方向确定。交线是可见与不可见的分界线。（1）两特殊位置平面相交【例十九】求铅垂面△ABC与铅垂面△DEF的交线MN，并判别正面投影的可见性。分析：这两三角形都是铅垂面，所以交线为铅垂线，且交线的水平投影积聚为一点，是abc和def的交点，定出积聚成一点的mn；由 mn 引投影连线，在两个三角形的正面投影相重合范围内作m′n′，就得到交线 MN的两面投影。（重影点法判别可见性） m′ n′ m (n) 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

（2）特殊位置平面与一般位置平面相交机械制图仝基斌分析：平面图形与垂直与投影面的平面相交，可作出前者的任意两直线与后者的【例二十】求正垂面DEFG与一般位置平面△ABC的交线MN，并判别可见性。分析：平面图形与垂直与投影面的平面相交，可作出前者的任意两直线与后者的交点，然后连接成交线；并可在投影图中直接判断投影重合处的可见性。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

机械制图仝基斌小结： *【思考题】已知a、a′试作直线AB与OX轴成45°并相交。 1）面上取点和线的方法要记牢：①求点，先找线；②作线，先找点。 2）线与面及两面间平行、相交的几何条件要记牢并会应用解题。 3）线与面、面与相交求交点、交线的方法要会，并会判别可见性。 *【思考题】已知a、a′试作直线AB与OX轴成45°并相交。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

*三、垂直问题机械制图仝基斌 1.直线与平面垂直分析：线⊥面，⊥面内所有线，⊥两条相交直线（取正平线、水平线）投影特性：线⊥面，则线的正面投影⊥面内正平线的正面投影，水平投影⊥面内水平线的水平投影。（直角投影定则）直线垂直于铅垂面回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例二十一】过点A向面BCDE作垂线，作出垂足F及点A到面BCDE 的距离。分析：过A点向面只能作一条垂线，由于平面BCDE是正垂面， AF应为正平线且 a′f′⊥b′c′d′e′。作图：作a′f′⊥b′c′d′e′，又根据af//OX及f′，求出F的水平投影;a′f′ 即为点A到平面BCDE的真实距离。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例二十二】过点K向面B DF作垂线(或法线）。 n′ 2′ 1′ 1 2 n 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例二十三】已知A、B两点，求到两点等距离轨迹。（空间分析：轨迹是AB线的中垂面） c′ c 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例二十四】已知△ABC⊥ △DEF,两点，试补全△DEF 的正面投影。 1′ 1 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2 .平面与平面垂直机械制图仝基斌几何条件：（1）直线垂直一面，包含该线的所有面均与该面垂直。（将面、面垂直问题又归结为线、面垂直问题，作图用线、面垂直的特性去作。即：两面垂直，在第一面上取一点向第二面作垂线，则垂线必位于第一面上）（2）两个投影面垂直面互相垂直：两个面有积聚性的投影相互垂直。回章节目录两个垂直面互相垂直动画上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

*第六节换面法机械制图仝基斌问题提出：在求解空间几何元素的定位和度量问题时，如线和面处于特殊位置 *第六节换面法问题提出：在求解空间几何元素的定位和度量问题时，如线和面处于特殊位置（平行或垂直于投影面），则可利用其投影的特殊性质可比较容易地解决问题。如下图所示，在这些图中，能直接反映出实长、实形或真实夹角的大小。因此，要解决一般位置几何元素的定位和度量问题，可设法使它们由一般位置变为特殊位置，使之转化为有利于解题位置。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

一、换面法定义机械制图仝基斌保持空间几何元素位置不变，而改变投影面的位置，使空间几何元素相对于新的投影面处于有利于解题位置，这种变换方法称为变换投影面法。下图所示：一铅垂面在V／H体系中不反映实形，现作一与H面垂直的新投影面V1平行于铅垂面，组成新的投影面体系V1／H，再将该向V1面投影，这时铅垂面在V1面上的投影反映该平面的实形。（思考：新投影面是否可以随意选）回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

二、新投影面的选择原则：新投影面的选择应符合以下两个条件：（1）新投影面必须处于有利于解题位置。 V/H→V1/H(或V/H1) → V1/V2 (交替变换) （一次变换V面）（二次变换H面）新投影面的选择应符合以下两个条件：（1）新投影面必须处于有利于解题位置。（2）新投影面必须垂直于原来投影面体系中保留的一个投影面，形成一个新的投影面体系。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

三、换面法的基本规律动画演示机械制图仝基斌 1．点的一次变换投影规律如下： 1）点的新投影和被保留的原投影的连线，垂直于新投影轴。 2）点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原来投影轴的距离。作图方法：不变投影向新轴作垂线，量距离等于替代点的距离。（思考：点的换面新投影面是否可以随意选）（变换H面在黑板上作图）动画演示回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2 ．点的二次变换 1）一次变换，以V1面代替V面，组成新体系V1／H 。）（V/H→V1/H → V1/H2）（ V1⊥H2 ） 1）一次变换，以V1面代替V面，组成新体系V1／H 。） 2）二次变换应变换前一次还未被替换的投影面，即以H2面来代替H面组成第二个新体系V1／H2 。这时a1′a2⊥X2 轴，a2ax2=aax1。由此作出新投影a2 ） 3）二次变换投影面时，也可先变换H面，再变换V面。动画演示回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

四、换面法中的四个基本问题 →垂直线（二次变换）一般面→垂直面（一次变换） →平行面（二次变换）机械制图仝基斌一般线→平行线（一次变换） →垂直线（二次变换）一般面→垂直面（一次变换） →平行面（二次变换）回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

1．将一般位置直线变换成投影面平行线（一次变换）机械制图仝基斌 (1)求实长，对H倾角α（变换V面）目的：求实长，对H倾角α（变换V面）、对V面倾角β（变换H面） (1)求实长，对H倾角α（变换V面） (2)求线对V面倾角β，要用新投影面H1平行于线，作图时X1轴//a′b′。回章节目录一般位置直线变换成平行线动画上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

2．将一般位置直线变换成投影面垂直线（二次变换）二次投影变换：第一次将一般位置线变换成投影面平行线，第二次将投影面平行线变换成投影面垂直线。如上图示，直线AB为一般位置直线，如先变换V面，使V1面//AB，则AB在V1/H体系中为V1面的平行线，再变换H面，作H2面⊥AB，则AB在V1/H2体系中为H2面垂直线。一般位置直线变换成垂直线动画回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

3．将一般位置平面变换成投影面垂直面（一次变换）机械制图仝基斌如下左图示的一般位置面△ABC变换为投影面垂直面，新投影面应当变换成垂直线只须一次变换，所以可先在△ABC取一平行线，然后作V1面或H1面与该水平线垂直。换H面：求倾角β 换V面：求倾角α 回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

4．将一般位置平面变换成投影面平行面（二次变换）机械制图仝基斌一般位置平面变换成平行面动画两次投影变换：第一次将一般位置平面变换成投影面垂直面，第二次再将投影面垂直面变换成投影面平行面。如下图示，先以H1面替换H 面，将△ABC变换成垂直H1面的垂直面，再以V2面替换V面，使其平行于△ABC。回章节目录一般位置平面变换成平行面动画上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

五、换面法的应用举例机械制图仝基斌【例二十五】求点C到水平线AB的距离分析：作一新投影面V1 与AB垂直，则该垂线必与新投影面平行，新投影反映实长。作图：作X1⊥ab（ab 反映AB的实长），并分别求出直线AB和点 C在V1面上的投影 a1′、 b1′、c1′，则c1′a1′ （b1′）即为所求的距离。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例二十六】过点A作直线与直线BC相交，交角相交为 60°。该题有几解？分析：点和线定一面，只要将这个面经两次变换为平行面，就可反映实形，直接求解，并将作图结果返回原投影面体系。因面ABC上，过点A可作两条线与线BC交成600角，所以有两解。回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

【例二十七】过点A作一直线与两直线　　　　　　　BC、DE相交。分析回章节目录上一页下一页 2018/12/30 机械制图仝基斌

小结：机械制图仝基斌（1）换面法中的四个基本问题要记牢；一般线→平行线（一次变换） →垂直线（二次变换）一般线→平行线（一次变换） →垂直线（二次变换）一般面→垂直面（一次变换） →平行面（二次变换）（2）换面法综合性问题分类；（求轨迹、求距离、求夹角、求贯穿点）【思考题】　　1、试述用换面法把一般位置线变为投影面平行线和垂直线的步骤？　　2、试述用换面法把一般位置面变为投影面垂直面和平行面的步骤？　　3、试述用换面法求一般位置线实长及β角，是换H 面还是换V面？回章节目录上一页下一章 2018/12/30 机械制图仝基斌