博弈论及其应用 第4 章 协调与谈判 《博弈论及其应用》 （汪贤裕）

第四章 协调与谈判 主要内容 §4.1 协调博弈 　§4.2 相关均衡 　§4.3 纳什谈判解 　§4.4 初始参考点和其它谈判解 　§4.5 威胁

§4.1 协调博弈 §4.1.1 多重纳什均衡 §4.1.2 协调博弈

§4.1.1 多重纳什均衡 ※ 多重纳什均衡 ※ 多重纳什均衡的一些选择标准

当一个博弈中存在有不止一个纳什均衡时，称为一个多重纳什均衡博弈问题。 两个基本问题： 一 、选择标准 二 、如何保证局中人的策略选择能保证所选策略能实现纳什均衡

多重纳什均衡的一些选择标准 1. 帕累托占优纳什均衡 2. 风险占优纳什均衡 3. 聚点均衡

帕累托占优纳什均衡 则称 为博弈G的帕累托占优纳什均衡。 例4.1.1 战争与和平博弈 纳什均衡：（战争，战争）、（和平，和平）和一个混合策略纳什均衡 。 　　 帕累托占优纳什均衡: (和平，和平）

风险占优纳什均衡 例4.1.2 价格竞争博弈： 纳什均衡点：（高价，高价）、（低价，低价）和一个混合策略纳什 均衡点 。 均衡点 。 经过比较，（高价，高价）是一个帕累托占优纳什均衡。但是纳什均 衡（低价，低价）对商家更有吸引力。

风险占优纳什均衡(续) 纳什均衡：（高价，高价）和（低价，低价）是两个纯策略纳什均衡点，（高价，高价）是帕累托占优纳什均衡。但此时商家一定会出“低价”策略，而避免出“高价”策略的风险。在这个博弈中，我们称（低价，低价）为该博弈的“风险占优纳什均衡”。 风险占优纳什均衡难以给一个准确的定义，它取决于局中人的风险态度，历史情况，外来影响等多种因素，只能具体情况具体分析。

聚点均衡 在多重均衡的博弈中，有一致意向选择的均衡为“聚点均衡”，它取决于该博弈之外的特定环境。 夫妻爱好问题 纯策略纳什均衡分别是（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。不存在上述的帕累托占优纳什均衡，也不存在风险占优纳什均衡，其均衡选择依赖于该博弈之外的特定环境。如果丈夫工作劳累，妻子温柔体贴，他们会选择（足球，足球）；如果该周末正好是妻子的生日，他们会选择（芭蕾，芭蕾）

例4.1.3 约会博弈 现有两个人约定第二天就一项重要事宜进行商讨，但未给出具体时间。一旦约会成功，两人都会有收益，约会不能见面会误事，收益为负效应。假设第一人在时刻到达，而第二个人在时刻到达。显然当 时，是纳什均衡点，这种纳什均衡点有无穷多个。 在多重均衡的博弈中，聚点均衡只能 具体问题具体分析

§4.1.2 协调博弈 ※ 多重均衡的博弈的两个难题 ※ 协调博弈的分类 ※ 纯粹协调博弈的特征 ※ 博弈论专家对实现协调有一些共同的看法

多重均衡的博弈的两个难题 第一个难题 第二个难题 当理性的局中人面临着多种策略可以达到均衡时，如何使所有局中人在策略选择上实现纳什均衡的一致性，即使每个局中人的选择结果而组成的策略组合是一个纳什均衡。 第二个难题 在多重均衡中，存在有社会最优的帕累托占优纳什均衡，如何使所有的局中人选择策略，使得组成的策略组合是一个帕累托占优纳什均衡。

协调博弈的分类 协调博弈的分类:纯粹协调博弈和非纯粹协调博弈 纯粹协调博弈：局中人对不同的均衡有相同的 偏好。（例4.1.2） 非纯粹协调博弈：局中人对不同的均衡有不同的 偏好。（夫妻爱好博弈）

纯粹协调博弈的特征 例4.1.4 Cooper的协调博弈 设有两个局中人A和B，两人从事同一种生产。局中人努力的 情况为 。假设人均消费量为 情况为 。假设人均消费量为 　每个人的得益为 　得益矩阵： （1，1）是风险占优均衡，（2，2）是帕累托占优纳什均衡。

纯粹协调博弈的特征 策略的互补性：有一个局中人选择了帕累托占优纳什均衡中的策略，能增加另一方选择帕累托占优纳什均衡中策略的边际收益。这种具有正反馈的特征称之为策略的互补性。 对纯粹协调博弈，（下面简称协调博弈）的研究大多采用实验博弈的方法进行

纯粹协调博弈的特征 CG（Cooperation Game）的得益矩阵： 纯策略纳什均衡{1，1}和{2，2}，其中{1，1}是风险占优均衡，{2，2}是帕累托占优纳什均衡 库珀（Cooper）实验 选择了11个人，每人均与其余人进行上述得益矩阵下的两次博弈，其博弈顺序不是公共的知识。若每次博弈完后，则按上面得益矩阵计分。当实验全部结束后，参与人按所得的分数进行奖励。

纯粹协调博弈的特征 实验结果表明，自然协调成功的情况不存在——风险占优在该博弈中的指导作用要好于帕累托占优。 类似的2人协调博弈实验:取所取得局中人的得益函数为 其中:　为局中人的策略，取值为自然数序列 这些实验都与库珀对CG-2×2的博弈实验有类似结论

纯粹协调博弈的特征 例4.1.6 CG-3×3协调博弈：CG的意义同例4.5，3×3是指一个2人3策略的非合作博弈。 得益矩阵： 库珀通过改变参数x和y的取值，实验局中人对这些参数的理解和对均衡的影响。三个最典型的实验： 情形1：（x，y）=（1000，0） 情形2：（x，y）=（700，1000） 这两种情况下，策略组合{1，1}和{2，2}都是纯策略纳什均衡，且{1，1}是风险占优均衡，{2，2}是帕累托占优纳什均衡。

纯粹协调博弈的特征 实验的结果： （1）博弈的结果基本上都是纳什均衡； （2）在情形1中，多数结果是{1，1}风险占优均衡；在情形2中，多数 结果是{2，2}帕累托占优纳什均衡。 情形3：（x，y）=（700，650）。 {3，3}仍然是次优的策略组合。对策略{3}，局中人的最优反应是策略{1}。但实验结果表现为均衡{2，2}结果。库珀得到“没有出现完全和这些结果一致的解释”。这里的“这些结果”是指上面提出的，寻求次优策略的最优反映导致了均衡结果的选择。

博弈论专家对实现协调有一些共同的看法 1. 博弈前的交流。 1. 博弈前的交流。 假定在博弈前，局中人可以向对方传递信息，但这一信息并不约束局中人在博弈中对策略的选择。这类博弈通常称为廉价商议（cheap talk）博弈。

博弈论专家对实现协调有一些共同的看法 2. 外部建议 2. 外部建议 假设在博弈前，存在一个局中人之外的建议者，他对局中人的策略选择给出建议。范·海克（Van Huyck）等人对下面三个博弈进行了外部建议的实验。 　　 　 　　（a） （b） 　　　 　（c） 表4.17（a）：收到外部建议之前—40%在纯策略纳什均衡上协调成功 给出外部建议时—协调成功的概率是95%

博弈论专家对实现协调有一些共同的看法 表4.1.7（b）：1未收到外部建议之前—98%的博弈实验结果是纳什均衡（1，1） 2外部建议选取均衡{3，3}时 —17%的局中人接受了建议 3外部建议选取{2，2}时—有75%的局中人接受了建议 结果表明——当建议不符合局中人利益时，局中人并不接受建议 表4.1.7（c）：1未收到外部建议之前—70%的博弈实验结果是纳什均衡（2，2） 2外部建议者给出一个{1，1}均衡（或{3，3}均衡）建议时—实验 博弈的结果与建议相符的只有16% 结果表明——若外部建议不是帕累托占优纳什均衡时，建议无效

博弈论专家对实现协调有一些共同的看法 范·海克对CG-2×2协调博弈进行了实验—— 3. 外部选择： 假定在协调博弈之前增加一个对博弈之外的选择，再进行协调博弈，会增加协调成功的可能性。 库珀对CG-2×2协调博弈（即例4.1.5）实验—— 77%的博弈结果是{2，2}帕累托占优纳什均衡，只有2%的博弈结果是{1，1}风险占优均衡。 范·海克对CG-2×2协调博弈进行了实验—— 几乎所有的结果都是{2，2}帕累托占优纳什均衡。

§4.2 相关均衡 ※ 相关均衡 ※ 事前沟通的两个例子 ※ 相关均衡是一种机制设计的思想

相关均衡 纳什均衡的异议：纳什均衡没有考虑均衡的效率（静态博弈的纳什均衡中）例如，在例4.1.6，CG-3×3协调博弈中，无论（x，y）取什么样的数对， {1，1}和{2，2}都是纯策略纳什均衡点，而博弈中效率最高的结果（600，600）是策略组合{3，3}的结果。 如何实现效率最高的策略组合？ 相关均衡

事前沟通的两个例子 1 夫妻爱好博弈—— 纯策略纳什均衡：（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。 静态博弈中——策略选择结果未必是纳什均衡。 一个约定 抛一硬币，若正面向上，在博弈中，双方都选择{足球}策略；若反面向上，在博弈中，双方都选择{芭蕾}策略。根据博弈前双方的约定，保证了博弈的结果是一个纯策略纳什均衡。

事前沟通的两个例子 2 广告博弈 纳什均衡： 告的商家独自承担成本，但另一个商家则坐享 广告带来的好处。两商家分别是1和2，策略集 2 广告博弈　 设有两个商家出售同一种商品。为了促进商品的销售，可以进行广告宣传，但做广告需要成本。假设两个商家都做广告，肯定双方都有收益；都不做广告，则双方都无收益；若有一个商家做广告，而另一家不做，则做广 告的商家独自承担成本，但另一个商家则坐享 广告带来的好处。两商家分别是1和2，策略集 都是 {做广告，不做广告}，收益情况如右图 纳什均衡： 　{做广告，不做广告}，{不做广告，做广告}和 。 　前两个是纯策略纳什均衡。混合策略纳什均衡的结果是

约定2：选择一个博弈的局外人，按下面三步确立每个商家的策略选择： 事前沟通的两个例子 博弈的约定： 约定1 ：抛一枚硬币，若正面向上，采用（做广告，不做广告）策略组合；若反面向上，采用（不做广告，做广告）策略组合。由于抛硬币时出现正面和反面的概率都是一样的，则每个商家得到的期望收益为： 约定2：选择一个博弈的局外人，按下面三步确立每个商家的策略选择：

事前沟通的两个例子 第一步，局外人在{A,B,C}中随机地任取一个字母，然后进入下一步； 进入第三步； 第三步，若商家1得到通知，则选择{不做广告}，否则选择{做广告}，若商家2得到 通知，则选择{不做广告}，否则选择{做广告}。 约定的结果： （1）局外人选取A，则有策略组合{不做广告，做广告}，导致一个纳什均衡的出现； （2）局外人选取B，则有策略组合{做广告，不做广告}，导致一个纳什均衡的出现； （3）局外人选取C，则有策略组合{做广告，做广告}，导致一个次优策略组合出现；

事前沟通的两个例子 由第一步的选取是等可能的，则选取A，B和C的概率分别是 ，因而商家的期望收益为： 。 广告博弈中的博弈前约定满足下面两个要求： 1. 约定是公平合理的，双方都愿意接受； 2. 在约定的要求下，没有人愿意单独的违背约定，否则可能导致自己得益的损失。 上面两个条件的约定实际上是博弈中局中人策略选择的理性规定，称之为博弈的相关均衡。

事前沟通的两个例子 例4.2.1中两种约定的比较—— 1 根据博弈的得益结构情况看：第一种约定比第二种约定的结果要好些 2 将得益结构作如下变化： 约定2要比约定1好。（提示： ）

相关均衡是一种机制设计的思想 博弈的相关均衡的确立是一种机制设计的思想，这种机制设计满足纳什均衡的思想，这种机制设计必须使博弈的局中人对博弈有足够的理解和相互的信任，因为约定是没有法律效力的。 适用于相关均衡的博弈分析必须是局中人的收益情况是对称的，这才能保证约定的公平合理。

§4.3 纳什谈判解 ※ 纳什谈判解的实质 ※ 二人谈判问题 ※ 谈判过程 ※ 纳什公理体系 ※ 纳什谈判解的定义 ※ 纳什谈判解的三个定理 §4.3 纳什谈判解 ※ 纳什谈判解的实质 ※ 二人谈判问题 ※ 谈判过程 ※ 纳什公理体系 ※ 纳什谈判解的定义 ※ 纳什谈判解的三个定理 ※ 三个定理的说明 ※ 例题4.3.1 ※ 例题4.3.2

纳什谈判解的实质 1 纳什谈判解又称为纳什讨价还价解 2 纳什谈判解(1950,纳什)——从非合作博弈向合作博弈的演变 这里的合作博弈具有非线性的可转移支付。如何使局中人能得到的收益达到公平合理，纳什给出了纳什公理体系，并推导出纳什解的结果。

二人谈判问题 　　设有一个二人有限策略的完全信息静态博弈，即双矩阵博弈。局中人1取混合策略 ，局中人2取混合策略集 ，局中人1和2的支付矩阵分别是A和B，即 。当局中人1取策略 局中人2取策略 　 时，局中人1和2的得益 分别为: 　 记两人所得为 ，并考虑到可用抽彩方式决定两人的收益，且抽彩结果是线性的，则两个局中人的得益 是 中一个有界闭凸子集，记 并称为结果集或可达集。即任何 表示两个局中人可以共同行动，分别获得收益 。一般地讲，在可达集 的帕累托边界上，一个局中人得到的多一些，另一个局中人得到的就少一些。那么一个局中人能同意让对方得到多少呢？给对方少一些所得，对方是否会接受呢？这构成了两个局中人的谈判问题。

谈判过程 初始参考点，设为 （共同知识） （4.3.1） （4.3.2） 初始参考点，设为 （共同知识）　　　　　　　　　　　 （4.3.1） （4.3.2） 显然由（4.3.1）和（4.3.2）式确立的 是可以达到博弈结果集的，即 。 局中人注意到 往往是 的一个内点，他们想以 为谈判的初始点，在 中寻找比 更高的收益，并且是双方都能接受的，记为 ，并称 为纳什谈判解。则谈判过程可以抽象地记为： 　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.3.3）

纳什公理体系 公理1 （个体合理性） ； 公理2 （可行性） ； 公理3 （帕累托最优性） 若 ，且 ，则 公理1 （个体合理性） ； 公理2 （可行性） ； 公理3 （帕累托最优性） 若 ，且 ，则 公理4 （无关方案的独立性） 若 ， 　　　　　　　　　　　　　 则 公理5 （线性变换的无关性） 若 ，且 ，则 。 公理6（对称性）如果对任意 ，都有 ， 　　　　　　　　若 ，则

纳什谈判解的定义 定义4.3.1 满足上述纳什公理体系下的称为 纳什谈判解（Nash bargaining solution）。

纳什谈判解的三个定理 定理4.3.1 若 是有界的闭凸集， 为谈判初始点。若有 满足 ，则下面的规划有唯一的最优解： （4.3.4） 定理4.3.1 若 是有界的闭凸集， 为谈判初始点。若有 满足 ，则下面的规划有唯一的最优解： 　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4.3.4） 定理4.3.2 若 是定理4.3.1条件下的最优解，令函数 （4.3.5） 则 有 。 定理4.3.3 设2人谈判问题的结果集 为凸集， 是初始参考点，则存在唯一满足公理1到公理6的函数 。 证明过程：定理4.3.1见 定理4.3.2见 定理4.3.3 见

定理4.3.1的证明 最优解的存在性。由于 显然是有界的闭集，因此连续函数在此集合上必有最优值和最优解。 最优解的存在性。由于 显然是有界的闭集，因此连续函数在此集合上必有最优值和最优解。 最优解的唯一性。反证法。设有 和 都是最优解且 　 ，不妨假定 　 设　　　　　　　　　　 　　　由于 是凸集， 。于是 　显然， 。这与 和 都是最大值点矛盾。故 的最大值点是惟一的。

定理4.3.2的证明 采用反证法。 设存在有 ，使得 。令 （4.3.6） 因为 是凸集，因此 。此时 （4.3.7） 由假设，有 设存在有 ，使得 。令 （4.3.6） 因为 是凸集，因此 。此时 （4.3.7） 由假设，有 （4.3.8） 在（4.3.7）式中当 ，最后一项可以忽略。并由（4.3.8）式有 。 （4.3.9） 但是这与 是 的最大值点矛盾。故　 有

定理4.3.3的证明 令 是定理3.4.1所得的最优解。下面证明满足公理1到公理6。 显然， 满足公理1和2。又因为如果 且 令 是定理3.4.1所得的最优解。下面证明满足公理1到公理6。 显然， 满足公理1和2。又因为如果　 且 ，那么 。因此，它满足公理3。它同时满足公理4，这是因为如果它是 在 上的最大值点，它一定也是 　上的最大值点。令　 ， 。此时 （4.3.10） 因此，当 是 的最大值点时， 亦是 的最大值点。所以 满足公理5。最后，它也满足公理6。因为，如果 是对称的，并且 ，我们易知 ： ，而 　　 是 　　 　唯一的最大值点，因此 ，也就是说 。

定理4.3.3的证明（续） 验证满足 纳什公理体系的解的唯一性—— 如上定理4.3.1所得的最优解，考虑如下集合 （4.3.11） 验证满足 　　　纳什公理体系的解的唯一性—— 　　 　　　　　如上定理4.3.1所得的最优解，考虑如下集合 （4.3.11） 因为　　　　为定理4.3.1的最优解，由定理4.3.2， 。 考虑从 到 的一个线性变换： （4.3.12） 由于 　，即 也即： 由定理4.3.1假设可知， ，从而 　　于是，

定理4.3.3的证明（续） 此时，由（4.3.12）式有 。又因为 是对称的，根据公理6可知，讨价还价解一定在 线上。根据公理3 ，它即为点 此时，由（4.3.12）式有 　。又因为 是对称的，根据公理6可知，讨价还价解一定在 　线上。根据公理3 ，它即为点 　 　　　根据上述线性变换的反变换，由公理5可知， 一定是 　的解。因为 ，根据公理4， 也是　　　　　　的解。而这个问题的最优解是唯一的，所以 是 　　　唯一最优解。 当定理4.3.1的条件不成立时，有两种情况： 　　在第一种情况里，取 。此时从公理1至公理3可以看出不存在其它的解，且满足从公理1到公理6也只有这样的唯一解 。 在第二种情况里，取 。此时从公理1至公理3可以看出不存在其它的解，且满足从公理1到公理6也只有这样的唯一解 。

三个定理的说明 对定理4.3.2进行分析：根据该定理，对 有 。若取等号，即有： （4.3.13） 上式右端是一个常数，因此上式 定理4.3.3表明，满足纳什公理体系的谈判解 是存在的，并且由定理4.3.1可知，它即是 函数在 中求最大值时的最优解。满足纳什公理体系（公理1—公理6）的纳什谈判解也简称为谈判解，有的教材也称为纳什解。 对定理4.3.2进行分析：根据该定理，对 有 。若取等号，即有： （4.3.13） 上式右端是一个常数，因此上式 是 上的一条直线，对于任意 中的 点 都在该直线的左下方。

三个定理的说明 当结果集 的边界是光滑的，该直线是 的切线，且切点在点 。再从（4.3.13）式看，该直线的斜率为： 当结果集 的边界是光滑的，该直线是 的切线，且切点在点 。再从（4.3.13）式看，该直线的斜率为： 而连接 和 直线斜率为 ，正好是上式的相反数 同时， 反映了在谈判过程中， 两个局中人可以接受的效用转换率。 当两个局中人在谈判中的效用转换率为1：1时，（ ）问题变得更简单。例如，两人谈判 问题的结果集在直线 的左下方。

三个定理的说明 若初始参考点为 ，则纳什谈判解为 若初始参考点为 ，则纳什谈判解为 　根据公理3，讨价还价问题 的解 一定在　的子集 上。因为 是凸的，因此 是这些 的点：不存在一个 ，使得 并且 。我们称 为 帕累托最优边界。 图4.3.3 图4.3.4

三个定理的说明 定理4.3.2给出了初始参考点和纳什谈判解点之间特殊的关系。初始参考点与纳什谈判解的连线的斜率与过该谈判点的 的支撑线的斜率互为相反数。如果 的帕累托最优边界是光滑的，那么这条支撑线其实就是过谈判点 的切线。如图4.3.3所示，若T是初始参考点，P是纳什谈判解，则TP的斜率与过P点 的切线的斜率互为相反数。在TP上任意一点U作为初始谈判点，其纳什谈判解仍是P点。

三个定理的说明 对于双矩阵博弈来说， 是一个封闭的有限的多边形，其帕累托最优边界 为折线ABCD，如图4.3.4所示。若 的斜率等于BC斜率的相反数，则对 上任一点U，作为初始谈判点，那么它们的纳什谈判解都是 。对于像过C点在 上，左右“切线”的斜率不相等的点，则若初始谈判点在 （斜率等于过C点在 上左“切线”的斜率的相反数）上， 在 （斜率等于过C点在 上右“切线”的斜率的相反数）上或在它们与 所围的区域之内，对应的纳什谈判解仍是C点。

例题4.3.1 例4.3.1 设有一雇员为公司老板打工，若雇员打工后可为公司一年盈利10万元，而雇员不打工，则无盈利，那么对这10万元盈利应如何分配？ 假设雇员本人总共有资产价值10万元，若能分到盈利 ，他所增加的效用为 ，令 ， 为大于0的一个常数。很容易验证： 　　 ，表明雇员是穷人，具有风险规避的特点。公司老板是富有的，如他能分到盈利 ，他所增加的效用为 。

例题4.3.1 公司老板和雇员对盈利10万元分配进行谈判，谈判的初始参考点为 ，即公司老板不雇工，对老板和雇员的增加效用均为0，且 。则有 公司老板和雇员对盈利10万元分配进行谈判，谈判的初始参考点为 ，即公司老板不雇工，对老板和雇员的增加效用均为0，且 。则有 （4.3.15） 则结果集 为下图所示，其中 的右上曲线（即帕累托最优边界 ）为 。

例题4.3.1 具有风险规避的雇员在谈判中并无优势。 经计算， 万元。即公司老板分配得 万元，而雇员分得 万元。 利用定理4.3.1，计算 在 上的极大值，可以得到 满足下式 经计算， 万元。即公司老板分配得 万元，而雇员分得 万元。 具有风险规避的雇员在谈判中并无优势。

例题4.3.2 若两个局中人能通过契约进行合作，那么对合作的收益应如何分配，即纳什谈判解是什么？ 先求纳什均衡以将其作为谈判初始参考点。 例4.3.2 考虑下面的双矩阵博弈 若两个局中人能通过契约进行合作，那么对合作的收益应如何分配，即纳什谈判解是什么？ 先求纳什均衡以将其作为谈判初始参考点。 唯一的纳什均衡为： 纳什均衡结果为 可达集 为 中（6，1），（1，3），（2，4）和（4，1）四个结果点围成的凸集 ，见下图。

例题4.3.2 帕累托边界：（2，4）和（6，1）两点连成的线段。很容易求得该直线方程为： 纳什谈判解的求解： 方法1 根据定理4.3.1求解： 　由于纳什谈判解具有 中的帕累托最优性，因此纳什谈判解 一定在（4.3.16）表示的直线上。由（4.3.16）可以得： 　　　　　　代入（4.3.17）式 得出 ，代回到 ，得到 。

例题4.3.2 于是纳什谈判解为： 方法2 根据定理3.4.2，可达集 在点 切线的斜率与连接 和 两点的直线的斜率互为相反数。 方法2 根据定理3.4.2，可达集 在点 切线的斜率与连接 和 两点的直线的斜率互为相反数。 可达集 在 点的切线即为（4.3.16）表示的直线，斜率为 。 连接和两点直线斜率为： 则 （4.3.18）

例题4.3.2 将上式化简，有： 再由纳什谈判解具有帕累托最优性，即 在直线（4.3.16）上，则纳什谈判解是下面方程组的解： 再由纳什谈判解具有帕累托最优性，即 在直线（4.3.16）上，则纳什谈判解是下面方程组的解： （4.3.19） 求解可得纳什谈判解为： （4.3.20）

§4.4 初始参考点和其它谈判解 　　　　§4.4.1 初始参考点 　　　　§4.4.2 其它谈判解

§4.4.1 初始参考点 ※ 几个初始参考点的介绍 ※ 例4.4.1 利用不同初始参考点求解纳什谈判解

几个初始参考点的介绍 谈判问题的初始参考点： 1. 保守收益点。即用（4.3.1）式和（4.3.2）式求 ； 1. 保守收益点。即用（4.3.1）式和（4.3.2）式求 ； 2. 纳什均衡结果。即在例4.3.2中，先取纳什均衡，然后采用纳什均衡结果去求 。 在例4.3.1中，采取的是保守收益点方法确定 。 3 其它几种求初始参考点方法。

几个初始参考点的介绍 设结果集或可达集 是一个有界凸集。 是一个事先给出的初始参考点，结合下图先给出一些记号： （4.4.1） 设结果集或可达集 是一个有界凸集。 是一个事先给出的初始参考点，结合下图先给出一些记号： （4.4.1） （4.4.2） （4.4.3） （4.4.4） （4.4.5） （4.4.6） 图4.4.1

几个初始参考点的介绍 定义4.4.1 设 是平面 上的凸集， 称为 的理想点。 定义4.4.2 设 是平面 上的凸集， 称为 的最小期望点。 定义4.4.1 设 是平面 上的凸集， 称为 的理想点。 定义4.4.2 设 是平面 上的凸集， 称为 的最小期望点。 定义4.4.3 设 是平面 上的凸集，点 称为 的最小妥协点。 定义4.4.4 设 是平面 上的凸集，由 ， 和 所围成矩形称为含 的最小矩形。其对角线交点称最小矩阵的中心。

几个初始参考点的介绍 纳什谈判解初始参考点除了前面介绍的1和2之外还可以有 下列的选取法： 3. 采用 的最小期望点作为新的初始参考点； 　纳什谈判解初始参考点除了前面介绍的1和2之外还可以有 下列的选取法： 3. 采用 的最小期望点作为新的初始参考点； 4. 采用 的最小妥协点作为新的初始参考点； 5. 包含 的最小矩形的中心作为新的初始参考点。

例4.4.1 例4.4.1 设有一凸集，由曲线 和 围成。记(1) 为初始参考点， 为纳什谈判解；（2） 为最小期望点， 为以 为初始参考点所得的纳什谈判解；（3） 为最小妥协点， 为以 为初始参考点所得的纳什谈判解；（4） 为含 的最小矩阵的中心， 为以 为初始参考点所得的纳什谈判解。 经计算有： 。 则得到不同的纳什谈判解： 　　　分别如右图所示。

§4.4.2 其它谈判解 ※ R-K-S谈判解 ※ R-K-S谈判解的公理体系 ※ 定理4.4.4 谈判解的唯一性定理 ※ 例题求解

R-K-S谈判解 R-K-S谈判解（ Raiffa-Kalai-Smorodinsky bargaining solution ）,它由 Raiffa（1957）提出，而由 Kalai和 Smorodinsky对该模型进行公理化。 设两人谈判问题的可达集H为凸集， 为初始参考点， 是H的理想点。作一条连接 和 的直线，该直线与可达集H的边界相交交点 称为R-K-S谈判解 设2人谈判解的可达集H是 一个凸集， 为谈判的 初始参考点，两个局中人可 接受的R-K-S谈判解结果为 ， 令 。

R-K-S谈判解的公理体系 公理1（个体合理性） ； 公理2（可行性） ； 公理3（帕累托最优性）若有 ，且 ，则一定有： ； 公理1（个体合理性） ； 公理2（可行性） ； 公理3（帕累托最优性）若有 ，且 ，则一定有： ； 公理5（线性变换的无关性）设D是由线性变换从H得到，即 如果 ，则一定有： 公理6（对称性）若 ，必有 ，则当 ，则有： 。 公理7（单调性）若 ，则

定义4.4.5 满足上述 Kalai和 Smorodinsky提出公理体系下的 ，称为R-K-S谈判解。

定理4.4.4 谈判解的唯一性定理 设二人谈判问题的结果集H为凸集， 为谈判的初始参考点，则存在唯一满足上述公理体系的R-K-S谈判解 。 在R-K-S谈判解中，两个人的收益效用转换称为可自由配置（free disposal） 。

例题求解 我们对例4.4.1进行R-K-S谈判解的计算。在此，我们仍取 若局中人1是公司老板，其收益为 ，增加的效用 。局中人2为雇员，其收益为 ，在原有10万元的基础上，其增加的效用为 （其中 取1）。他们对10万元盈利进行分配。同前面分析一样，二人可达集H如上图所示，其H的右上曲线函数为： 。

例题求解 其中后一个是连接初始参考点（0，0）和理想点 的直线方程。经求解可得 。即两人谈判的可分配数为： （万元）， （万元） 该谈判问题的理想点 。R-K-S谈判解可以对下面方程组求解得到： 其中后一个是连接初始参考点（0，0）和理想点 的直线方程。经求解可得 。即两人谈判的可分配数为： （万元）， （万元）

例题求解 对例4.4.2进行R-K-S谈判解计算； 该博弈的结果集H为 中（6，1），（1，3），（2，4）和（4，1）4个结果所围成的凸集，初始参考点仍取为纳什均衡结果点： 图4.4.5 凸集H的中帕累托边界直线为： 而连接初始参考点 和理想点 的直线为： ，因此R-K-S谈判解为下列方程组的解： 经求解：

§4.5 威胁 ※ 例4.5.1 对纳什谈判解的质疑 ※ 有效威胁的两个条件 ※ 纳什建议进行讨价还价的三个步骤 §4.5 威胁 ※ 例4.5.1 对纳什谈判解的质疑 ※ 有效威胁的两个条件 ※ 纳什建议进行讨价还价的三个步骤 ※ 含威胁的纳什讨价还价解求解思路 ※ 定理4.5.1 均衡威胁策略的存在性定理 ※ 定理4.5.2 纳什仲裁值 的唯一性定理 ※ 例4.5.2均衡威胁策略和纳什仲裁值求解例题

例4.5.1 对纳什谈判解的质疑 一个工厂的工人有两种选择，要么工作，要么不工作。如果工作，他将得到能够维持他生存的薪水，同时老板能够得到10美元。用（0，10）来表示此时工人与老板各自得到的效用。如果他不工作，他将会挨饿，同时老板没有利润，用（-500，0）来表示此时工人与老板各自得到的效用。当然，如果老板愿意的话，他会分一点利润给工人。假定效用是线性转移的， 是 平面第一象限中包括了所有 的点。明显地， ，纳什谈判解为 。然而，纳什谈判解忽视了第二个参与人即老板比他的对手（工人）处于更有利的地位。事实上，工人不能阻止老板获得10美元的利润，虽然他可能采用不工作来作为威胁，但是以不工作来作为威胁并不可信，因此他只有继续工作以领取能维持他生存的薪水。 毫无疑问，上例的提出确实表明了纳什谈判解的不足。因此如何对具有威胁的考虑，来修正纳什的解法是我们在本节需要考虑的问题。

有效威胁的两个条件 满足以下两个条件，威胁才算是有效的： 第一、它必须是可信的； 第二、它能够改善威胁者（对被威胁者）的地位。

纳什建议进行讨价还价的三个步骤 1．参与人1宣布一个威胁策略； 2．参与人2在没有考虑到的情况下，宣布一个威胁策略； 3．参与人1和2 开始讨价还价谈判。如果他们能够达成一致，则收益按照一致的意见分配（此时不再考虑威胁）。如果不能达成一致，则各自使用他们的威胁策略 和 。两个参与人的支付由这种方式决定。

含威胁的纳什讨价还价解求解思路 讨论2人双矩阵非合作博弈—— 在一个2人双矩阵非合作博弈中，局中人1和局中人2的收益矩阵分别为 和 。若局中人1采用威胁策略： 局中人2采用威胁策略 ，则威胁值 和 可作为纳什谈判过程中的初始参考点 和 。于是含威胁的纳什讨价还价解 为最大化 的解： （4.5.1） ， ， 对（4.5.1）式的 是最优解，则称 为均衡威胁策略，称 为初始点，称 为纳什仲裁值。 均衡威胁策略是否存在？

定理4.5.1 均衡威胁策略的存在性定理 任何一个双矩阵博弈中，至少存在着一个均衡威胁策略 。 定理4.5.1 均衡威胁策略的存在性定理 任何一个双矩阵博弈中，至少存在着一个均衡威胁策略 。 两个参与人在选择威胁策略时，他们要达到的目的是冲突的。这是因为，他们的谈判点是在 点上，而 为 帕累托最优边界，这就决定了他们的收益是相互冲突的。

定理4.5.2 纳什仲裁值的唯一性定理 如果 和 都是均衡威胁策略，那么 和 也是。而且纳什仲裁值对 和 是相同的。

例4.5.2 求下面双矩阵博弈中的均衡威胁策略和纳什仲裁值 在双矩阵博弈中， ，其 　　 在双矩阵博弈中， ，其 中 ，分别是双矩阵中的四个点（如图4.5.1所示）。不难得出，混合策略的纳什均衡为（（0.5，0.5），　　　　　对应的纳什均衡结果为 。由于的帕累托最优边界为 ， 再根据上一节的解法可知， 　纳什谈判解为 。

例4.5.2 均衡威胁策略和纳什仲裁值的讨论—— 最优威胁策略的求解。考虑到： 进行矩阵博弈分析，其纳什均衡点为 ，博弈的值为 进行矩阵博弈分析，其纳什均衡点为 ，博弈的值为 -2。即 为均衡威胁策略，而 。在可转移效用情况下以及两个局中人的最优收益为 。采用（4.5.2）和（4.5.3）式有： 即纳什仲裁值为 。

例4.5.2 若采用R-K-S谈判解计算： 理想点为 。连接（1，4）和（4，1）是可达集的帕累托边界，其直线方程为 。连接 和理想点（4，4）的直线方程为 。求解： 有威胁的情况下的R-K-S谈判解 。