第一章

第五章 雙變量隨機變數 第一章

本章綜覽 介紹同時有兩個隨機變數存在時的機率性質 雙變量離散隨機變數的機率分配函數的特性 雙變量連續隨機變數的機率分配函數的特性 條件分配與條件動差

簡介 在真實世界中，可能必須面對兩個甚至更多個隨機變數，而這些變數之間可能互相影響。因此，不能只針對個別變數加以分析，而必須適當地刻劃變數間的聯合行為，再據此探討變數的個別行為及變數之間的關係。 兩個隨機變數合併起來也稱作雙變量隨機變數(bivariate random variable) 。

離散隨機變數的聯合分配 若 X 和 Y 為離散隨機變數，其實現值分別為 a1, a2,…, 和 b1, b2,…。X 和 Y 的聯合機率密度函數 (joint probability function) 又稱之為雙變量機率函數 (bivariate probability function)，其函數值為 f X,Y (ai, bj ) = P({X = ai 且 Y = bj}), i, j = 1, 2, . . . 例 5.1：X = 1,2,3 分別代表所得高低的顧客，Y =1,2,3,4 分別代表想投資的標的。則兩者的聯合隨機行為可 用下表的聯合機率加以描述。

離散隨機變數的累積機率函數 兩個隨機變數 X 和 Y 的聯合累積分配函數稱為雙變量累積分配函數(Bivariate cumulative distribution function)。這個函數由二維的實數平面 R2 映射到 [0,1]，其函數值為： FX,Y(a,b) = P({X  a 且 Y  b }) 當 X 和 Y 具有離散的聯合分配 (discrete joint distribution)時，其雙變量累積分配函數值為 雙變量累積分配函數來自機率的加總，此函數會隨著 ai (或 bj) 的增加而呈現非遞減的特性。

離散隨機變數的累積機率函數 可藉著雙變量累積分配函數相減以算出雙變量機率函數。因此，雙變量累積分配函數也代表這兩個隨機變數的聯合隨機機制。 例 5.2：可以利用例 5.1 中的聯合機率表來求得聯合累積機率。 FX,Y(2,2) = P({X  2 且 Y  2 }) = 0.4。 FX,Y(2,3) = P({X  2 且 Y  3 }) = 0.6。 FX,Y(3,2) = P({X  3 且 Y  2 }) = 0.5。

離散隨機變數的邊際分配 雙變量累積分配函數描述的是兩個隨機變數的聯合隨機行為，而邊際分配則是這兩個隨機變數中任一個變數的個別隨機行為。 X 和 Y 具有離散的聯合分配，X 的邊際機率函數為 而 X 為其他值時，fx 為 0。 Y 的邊際機率函數 fY 為 而 Y 為其他值時，fY 為 0。

離散隨機變數的邊際分配 聯合機率函數可以決定邊際機率函數。邊際機率函數和前一章討論的機率函數其實並無不同，它代表個別隨機變數的隨機機制，但無法描述變數之間的關係。 根據邊際機率函數也可以計算邊際累積分配函數 (marginal cumulative distribution function) ，其函數值為 Fx(r) 就是不限制變數 Y 可能產生的數值之下， 的機率

離散隨機變數的邊際分配 -- 實例 例 5.3：根據例 5.1 中的資料，可以求算其邊際機率如下： 除了在特殊情況下，聯合機率通常不能由邊際機率決定。

離散隨機變數的邊際分配 -- 實例 對所有的實數 a 和 b，若 則 X 和 Y 是獨立的；否則它們是相依的。 隨機變數若相互獨立，則其聯合機率可由個別變數的邊際機率所決定。但在一般情況下，聯合機率並無法由邊際機率決定。

離散隨機變數的動差 若隨機變數 X 和 Y 具有離散的聯合分配，其實現值分別為 a1, a2,…和 b1, b2…,則 X 的期望值 (均數、第一階動差) 為 令X 和 Y 代表兩個隨機變數。則對任意實數 a 和 b， E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)。 X 和 Y 的變異數 (第二階中央動差) 為 var(X) = E(X2) – [E(X)]2, var(Y) = E(Y2) – [E(Y)]2

離散隨機變數的動差 例 5.6：由例 5.3, E(X) = 1  0.1 + 2  0.5 + 3  0.4 = 2.3。 var(X) = 5.7  (2.3)2 = 0.41。 E(Y) = 1  0.4 + 2  0.1 + 3  0.3 + 4  0.2 = 2.3。 E(Y2) = 1  0.4 +22  0.1 +32  0.3 + 42  0.2 = 6.7。 var(Y) = 6.7  (2.3)2 = 1.41。

共變異數 對於離散隨機變數 X 和 Y，E(XY) 稱為 X 和 Y 的交叉動差(cross moment): 交叉動差會受隨機變數位置改變的影響。 共變異數是利用隨機變數與均數之間的差距來計算交差動差，一般以 cov(X,Y ) 表示，其公式如下： cov(X,Y ) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] 共變異數描述的是兩隨機變數和其均數之差距的共同變動。 當共變異數為正值，這些差距平均而言呈同方向變動。 當共變異數為負值，這些差距平均而言呈反方向變動。

共變異數的性質 a、b、c、d 為常數 cov(X,Y ) = cov(Y,X ) cov(X,X ) = var(X ) cov(X,c ) = 0 cov(aX+c, bY+d) = (ab) cov(X,Y)) cov(aX,bY) = ab  cov(X,Y ) var(aX±bY ) = a2 var(X ) + b2 var(Y ) ± 2ab cov(X,Y )

相關係數 共變異數固然可以表現隨機變數共同變動的方向與強弱程度，但是其本身會受到比例變動 (如衡量單位變動) 的影響，所以不適合作為比較的基礎。另一種衡量兩個變數之間共同變動的指標稱作相關係數(correlation coefficient)。 一般以corr(‧,‧) 表示。 相關係數就是兩個標準化後的隨機變數之間的共變異數。 令 X 和 Y 為兩個隨機變數，其變異數分別為 x2 和 Y2 來表示。則

相關係數 相關係數的絕對值不受比例 (衡量單位) 變動的影響。

相關係數的性質與實例 令 X 與 Y 為兩個隨機變數，則 。 當 corr(X,Y)=1 時，X 與 Y 稱為完全相關(perfect correlated)。 當 corr(X,Y)=0 時， X 與 Y 稱為不相關(uncorrelated)。 若相關係數為正時，隨機變數為正相關(positively correlated) 。 若相關係數為負時，隨機變數為負相關(negatively correlated)。 相關係數事實上是衡量兩隨機變數之間的線性關聯度，當 |corr(X,Y)| 越接近 1 時，X 和 Y 之間的線性關聯度就越強，而 |corr(X,Y)| 越接近 0 時，兩者的線性關聯度越弱。 兩變數具有相關性不保證變數間存有因果關係。

相關係數的實例 例 5.13：根據例 5.1 的數據，其中 cov(X,Y) = 0.41，var(X ) = 0.41，var(Y ) = 1.41。所以 這顯示 X 與 Y 具有某種程度的正相關性。

連續隨機變數的聯合分配 兩連續隨機變數 X 和 Y 的聯合累積分配函數 FX,Y 的累積分配函數 FX,Y之值為 如果為連續函數，且除了在有限多個點之外均為可微(twice differentiable)，則 X 和 Y 具有連續的聯合分配(continuous joint distribution)。 令 則 稱為聯合機率密度函數 (joint probability density function)，或雙變量機率密度函數 (bivariate probability density function)。

連續隨機變數的聯合分配 聯合機率密度函數必有以下兩個性質： 連續的雙變量累積分配函數則可由 fX,Y 的雙重積分得到: 當 X 和 Y 具有連續的聯合分配時，R2 中任何單獨一點的機率均為 0。R2 中任何一維曲線 (one dimensional curve) 的機率也是 0。

連續隨機變數的邊際分配 若隨機變數 X 和 Y 具有連續的聯合分配，X 的邊際機率密度函數 (marginal probability density function) 可由聯合機率密度函數對 Y 積分而得: 邊際累積分配函數可由邊際機率密度函數的積分得到。 邊際機率密度函數和邊際累積分配函數都可描述隨機變數的個別行為，但無法刻劃變數之間的關係。

連續隨機變數的邊際分配 -- 實例 例 5.17：設機率密度函數為 fX,Y(a,b)=0.25, 0  a  2, 0  b  2, fX,Y(a,b)=0, a,b 為其他值。 則

連續隨機變數的邊際分配 -- 實例 連續隨機變數的聯合機率密度函數通常無法由邊際機率密度函數所決定。 對所有的實數 a 和 b，若 則說 X 和 Y 是獨立的；否則它們是相依的。 隨機變數若相互獨立，則其聯合機率可由個別變數的邊際機率所決定。若 X 和 Y 為相依的，只有聯合機率密度函數才能刻劃兩個變數共同的隨機行為。

連續隨機變數的動差 隨機變數 X , Y 若具有連續的聯合分配，其均數分別為： X 和 Y 的變異數為

連續隨機變數的動差 X 和 Y 的交叉動差為 cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y), corr(X,Y) = cov(X,Y)/σX σ y. 其中 σX 和 σ y 為 X 和 Y 的標準差。 在離散隨機變數中有關各種動差的性質在此依然成立。

條件分配與條件機率函數 從兩個隨機變數的聯合分配中，不僅可以得到個別變數的邊際分配，尚可推導出各變數的條件分配(conditional distribution)。 當隨機變數 X 和 Y 具有離散的聯合累積分配函數，條件機率函數 (conditional probability function) 為聯合機率佔邊際機率的比重:

條件機率密度函數 當 X 和 Y 具有連續的聯合累積分配函數，在 Y=b 的條件之下，X 的條件機率密度函數 (conditional probability density function) 可表為: 兩隨機變數 X 和 Y 相互獨立的充分且必要條件也就是條件機率函數等於邊際機率函數: 對任何實數 a, b

條件動差 -- 條件均數 類似於非條件動差，也可以根據條件機率 (密度) 函數來定義各階的條件動差。 若隨機變數 X 和 Y 具有離散的聯合分配，則在已知 Y=bj 時，X 的條件均數為: 若隨機變數 X 和 Y 具有連續的聯合分配，則在已知 Y=b 的條件下，X 的條件均數為:

條件動差 -- 條件均數 在給定隨機變數 Y 的條件下，X 的條件期望值就取決於 Y 的實現值 bj (或 b)，故E(X|Y) 為 Y 的函數： E(X|Y) = h(Y)。換言之， E(X|Y) 為隨機變數而非常數。

條件動差 -- 例5.24 在例 5.22 中，可以得到在 Y = 1 的條件下，X 的條件機率，進而求出當 Y = 1 時，X 的條件均數： E(X|Y=1) = 1 × 0.25 + 2 × 0.5 + 3 × 0.25 = 2 同理， E(X|Y=2) = 2, E(X|Y=3) = 7/3, E(X|Y=4) = 3, 這個例子說明隨著 Y 的不同，X 的條件期望值也就不同，也再一次表示：E(X|Y) 是以 Y 為函數的隨機變數，而非常數。

條件動差 -- 重複期望值定理 重複期望值定理 (law of iterated expectation): 令 X 和 Y 為兩個隨機變數，則 E[E(X |Y)] = E(X). 條件均數的期望值必等於非條件均數。 同樣的結論也適用於連續隨機變數。 E(XY |Y ) = E(X |Y )Y；對 Y 的任何函數 ， E(X (Y )|Y ) = E(X |Y ) (Y )。 令 X 和 Y 為兩個隨機變數。對任意的實數 a 和 b ， E(aX+b|Y) = aE(X|Y)+b 令 X 和 Y 為兩個隨機變數，φ(Y) 為 Y 的函數。則 E(X|Y)是所有 Y 的函數中使均方誤最小的函數。且 X – E(X|Y) 的差距和 Y 的任何函數均不相關。

條件動差 -- 條件變異數 在給定隨機變數 Y 的條件之下，X 的條件變異數為： var(X |Y ) = E[(X – E(X|Y ))2|Y ]. 也可表示為： var(X |Y ) = E(X2 |Y ) – [E(X |Y )]2. 令 X 和 Y 為兩個隨機變數。對任意的實數 a 和 b，var(ax+b|Y) = var(ax|Y) = a2var(X|Y)

條件動差 -- 條件變異數 一個隨機變數的變異數可以分解成兩部分：條件變異數的期望值和條件期望值的變異數；又稱作變異數分析 (analysis of variance) 的分解方式。