5-4 力學能守恆 本節主題 一、重力作用下的力學能守恆 二、力學能守恆的應用 範例1 力學能守恆、鉛直上拋 5-4 力學能守恆 本節主題 一、重力作用下的力學能守恆 二、力學能守恆的應用 範例1 力學能守恆、鉛直上拋 範例2 力學能守恆、動能與位能轉換 範例3 力學能守恆、動能
重力作用下的力學能守恆（1） 1.情境：高樓失火，慌亂中一隻貓不慎失足墜樓。在下墜的過程中，貓離地面愈近，速率愈快。 2.分析： (1)忽略重力以外的作用力，以地面為重力位能的零位面，貓下墜過程可視為自由落體。
重力作用下的力學能守恆（2） (2)在下墜過程中，任取 A、B 兩位置，由 A → B 的過程中： 由功能定理：重力作功 W重力=ΔK=K2－K1=末動能－初動能 且重力作功 W重力=－ΔU=U1－U2=初位能－末位能
重力作用下的力學能守恆（3） ∴W重力=ΔK=－ΔU =K2－K1=U1－U2 ΔK＋ΔU =ΔE K2＋U2=K1＋U1=E=定值 3.定義：力學能（mechanical energy）為動能和重力位能之和，即 。 E=K+U
重力作用下的力學能守恆（4） 4.力學能守恆律（law of conservation of mechanical energy）： 僅受重力作用的物體，在任一時刻（位置）的力學能恆保持定值 數學式：(1) 。 (2) 。 E=K+U=定值 ΔE = ΔK＋ΔU = 0 （總力學能變化量為0）
重力作用下的力學能守恆（5） 5.討論： (1)動能與位能的轉換： 由ΔE = ΔK＋ΔU = 0 ΔK=－ΔU 文字描述：動能變化量=重力位能變化量的負值 換言之：動能增加（減少）量=重力位能減少（增加）量 推論：僅受重力作用時，動能與重力位能可以「等量轉換」。
重力作用下的力學能守恆（6） (2)函數圖：僅受重力作用、由高度 h 處落下的自由落體（以地面為受重力位能的零位面） E=K+U=定值 U=mgh K=E－U=E－mgh 能量 離地高度(h)
重力作用下的力學能守恆（7） 6.運動體若受到重力以外的力作用時 （例如：摩擦力、空氣阻力、⋯⋯等）， 則力學能守恆律將 不成立 。 回主題
力學能守恆律的應用（1） 1.單擺的擺動： 想像一個實驗：繩索下端繫一球，上端固定在天花板上。某位同學靜止站立，抓住球自靠近鼻子處鬆開雙手，使球由靜止開始向右擺動，如下圖所示。當球向左擺回時，此球是否會撞擊到同學？
力學能守恆律的應用（2） (1)忽略空氣阻力，球擺動過程中，僅受重力作功（繩上張力不作功），則滿足力學能守恆律。故： A、B 處等高，且 A、B 處的速率均為零。 O 處有最大速率（最大動能）。 球擺回時，不會撞到同學。
力學能守恆律的應用（3） (2)考慮空氣阻力時，球擺動過程中，空氣阻力持續作負功，則力學能守恆不成立。故： A 處將高於 B 處，且 A、B 處的速率均為零。 O 處有最大速率，但向左擺回通過 O 處時的速率較向右擺時為小。 球擺回時的最高點較 A 處為低，故不會撞到同學。
力學能守恆律的應用（4） (3)若釋放時同學稍用力推球，且不計空氣阻力，則釋放瞬間，球將具有一初速，球擺動過程中仍滿足力學能守恆。故： B 處將高於 A 處，A 處速度不為零，B 處的速率為零。 O 處有最大速率。 球向左擺回時的最高點將高於 A 處，故會撞到同學。
力學能守恆律的應用（5） 2.鉛直面上的彎曲軌道： 如右圖所示之鉛直面彎曲軌道，將一小鋼珠自 A 處釋放，使小鋼珠沿軌道下滑。
(1)若不計軌道的摩擦力及空氣阻力，鋼珠運動過程中，僅受重力作功（軌道對鋼珠的正向力不作功），則滿足力學能守恆律。故： 若在 A 處，鋼珠由靜止釋放，則鋼珠可通過 C 點到達右端與 A 點等高的 E處。且在 E 處的速率為零。
若在 A 處，鋼珠以一初速釋放，則鋼珠可達右端與 A 點等高的 E 處，且在 E 處的速率與 A 處釋放時相同，故鋼珠可通過 E 處而上升至更高的位置。 整個過程，D 處有最大速率。
(2)若考慮軌道對鋼珠的摩擦力，且鋼珠在 A 處由靜止釋放，則在鋼珠運動過程中，摩擦力持續作負功，故力學能守恆不成立。故鋼珠將無法到達與 A 點等高的 E 處，甚至有可能無法通過 C 點。 回主題
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