第2章 集中量數

前言 要描述資料，通常會使用兩種數據： 1. 資料集中的情形，稱為集中量數，主要包括平均數、眾數、中位數。 2. 資料分散的情形，稱為變異量數。 除此之外，有時還會佐以資料的分佈圖，以便讓讀者更容易瞭解資料的特色。

第一節 平均數（1） 平均數： 1. 算數平均數 2. 幾何平均數 3. 調和平均數 為了區分描述統計與推論統計，如果資料描述的是母體，就用希臘字母。如果是描述樣本，就用英文字母。

第一節 平均數（2） （算數）平均數（mean） 其中N是個數，Xi是第i個分數， 是相加。m 是母體平均數，讀作/mu/。 讀作/X bar/

第一節 平均數（3） Excel的 AVERAGE函數可用來計算算數平均數。 如果這5個數字分別存放於A1到A5的欄位中，則鍵入「=AVERAGE(A1:A5)」得3。 如果沒有特別說明的話，所謂「平均數」指的是算數平均數。

第一節 平均數（4） 幾何平均數（geometric mean） 是相乘的意思；某個數的次方，就是開N次方。

第一節 平均數（5） 幾何平均數適用於平均改變率、平均成長率，或平均比率。例如1996年的經濟成長率是1%，1997年是2%，1998年是3%，1999年是4%。則平均的經濟成長率就是幾何平均數為

第一節 平均數（6） 幾何平均數適用於呈等比級數的資料。例如某公司近五年的廣告支出為5, 14, 40, 125, 350百萬元，此資料近似等比級數（每年成長約3倍）。 Excel的 GEOMEAN函數可用來計算幾何平均數，例如5, 14, 40, 125, 350的平均數可鍵入「=GEOMEAN(5, 14, 40, 125, 350)」得41.46。

第一節 平均數（7） 調和平均數（harmonic mean） 各數值倒數的算術平均之倒數，又稱為倒數平均數。

第一節 平均數（8） 若資料呈現調和級數（即倒數呈現等差數列），用調和平均數最能反映資料的集中趨勢。由於H的計算必須使用倒數，因此數字中不可出現0。 例如走國道高速公路由台北往高雄，平均時速為80公里，回程平均時速90公里，則全程的平均時速為何？這是典型的調和平均數例子。 用Excel的HARMEAN函數，例如鍵入「=HARMEAN(80,90)」得84.71

第一節 平均數（9） 算數平均數有所謂的m和 之別，其他的集中量數並無。因為我們會用樣本平均數來推論母體平均數m，但通常不會關心母體的幾何平均數、調和平均數、或其他集中量數。

第二節 其他集中量數（1） 中位數或中間值（median） 將分數由大到小排列時，中間的那個值即是中位數。例如有5個分數時，由大到小排列後，第三個值就是中位數。如果有6個分數時，中位數就是第3和第4個值的平均值。 例如1, 2, 3, 4, 5的中位數為3。1, 2, 3, 4的中位數為2.5。用Excel的MEDIAN函數計算之。例如「=MEDIAN(1, 2, 3, 4) 」得 2.5。

第二節 其他集中量數（2） 眾數（mode） 分數中出現最多的值。如果所有的數值只出現一次，那就沒有眾數。眾數可能有兩個值以上，這和平均數、中位數不一樣，它們只有一個值。 例如1, 2, 3, 4並沒眾數。1, 1, 2, 3, 4的眾數為1。1, 1, 2, 2, 3的眾數有兩個，分別是1和2。Excel的MODE函數可計算眾數，如「=MODE(1, 1, 2, 3, 4) 」得 1。

第二節 其他集中量數（3） 截尾平均數（trimmed mean） 將分數由小到大排列，排名第1/4的值稱為Q1，稱為第一個四分位數。排名2/4的值為Q2，稱為第二個四分位數，這其實也是中位數。排名3/4的值稱為Q3，稱為第三個四分位數。 將Q1以下的數值和Q3以上的數值排除，計算剩下數值的平均數，就是所謂的截尾平均數。

第二節 其他集中量數（4） 例如資料為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10。Q1和Q3分別為3.25和7.75。因此介於Q1和Q3之間的數值為4, 5, 6, 7。這四個值的平均數為5.5，這就是截尾平均數。 算數平均數容易受到極端值（outlier）的影響。截尾平均數將左右兩端的數值去除，就是為了避免受到極端值的影響。

第二節 其他集中量數（5） Excel的QUARTILE函數可計算Q1和Q3。 可得到Q1為3.25。其中大括號內就是資料，大括號外的1表示Q1。若鍵入「=QUARTILE({1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},3)」，可得到Q3為7.75。

第二節 其他集中量數（6） 溫塞平均數（Winsorized mean） Q1以下的數值和Q3以上的數值，並不是被排除，而是分別用Q1或Q3取代，然後計算平均數，就是溫塞平均數。 例如為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10。Q1和Q3分別為3.25和7.75。因此資料變為3.25, 3.25, 3.25, 4, 5, 6, 7, 7.75, 7.75, 7.75，其平均值為5.5，這就是溫塞平均數。

第三節 平均數、中位數、眾數的比較（1） 量尺特性 名義量尺：眾數 順序量尺：眾數、中位數 等距量尺：眾數、中位數、平均數

第三節 平均數、中位數、眾數的比較 （2） 就等距量尺而言，如果數值的分佈形狀是左右對稱，則平均數會等於中位數。 如果左右對稱外且只有一個高峰，則平均數、中位數、和眾數都會相等。 如果只是左右對稱，但有多個高峰，平均數和中位數仍是同一個值，但眾數卻有多個值（且和平均數不同）。 一般而言，我們所蒐集到的資料，這三個值都不會相同，因為不會那麼剛好單峰又左右對稱。

優缺點比較 第三節 平均數、中位數、眾數的比較 （3） 眾數優點：真實存在、多數意見、容易猜中。 眾數缺點：未必能代表集中趨勢 中位數優點：不受極端值影響 中位數缺點：不適合四則運算

第三節 平均數、中位數、眾數的比較 （4） 平均數優點： 平均數優點：容易受到極端值的影響 可以進行四則運算，是推論統計的基礎 。 使用了資料所有的數值，因此具有代表性。 用平均數來猜測所有數值，產生的誤差最小。 樣本的平均數是母體的平均數的最佳估計式（estimator）。 平均數較不會受到抽樣變動的影響 平均數優點：容易受到極端值的影響