I. 线性代数的来龙去脉 -----了解内容简介 1. 一元一次方程 的公式解： 2.问题： Eg1.二元一次方程组 的公式解？ 提出的上述问题有两种公式解法： 1.行列式方法； 2.矩阵方法 战略上要藐视敌人，战术上要重视敌人。 这也是学习的战略战术。 公式解!

公式解! 公式解! 藐视,纷繁复杂的内容；重视,每一个计算环节 解1（行列式方法）： 解2（矩阵方法） 矩阵形式 行列式计算 方程组矩阵表示 1.矩阵相乘 2.逆矩阵

Eg2.方程组 时 方程组为 有无穷多组解，其通解为 无穷多个解 出现了向量 无穷多组解的表示 向量组，就要谈线性相关还是线性无关

补： 增广矩阵为 时，方程组无解. 时，方程组有无穷多解 且 时，方程组有唯一解

再比如方程组 得 令 原方程组的一特解为: 原方程组的通解为:

线性代数内容 1.行列式 (定义及其计算) 2.矩阵 (定义及其计算—四则运算、初等变换) 3.向量 4.线性方程组 5.特征值与特征向量 1.行列式 (定义及其计算) 2.矩阵 (定义及其计算—四则运算、初等变换) 3.向量 （向量组，就要谈线性相关还是线性无关；秩等） 4.线性方程组 行列式、矩阵、向量组计算及其性质在全面解决线性方程组 无解、有唯一解、有无穷多组解的解和通解上的应用 5.特征值与特征向量 方阵的进一步学习----方阵的n次幂,利用特征值与特征向量对角化的方法来进行 6.二次型 对角化方法、配方法，解决多元二次函数最大最小值问题

2.矩阵 (定义及其计算—四则运算、初等变换) 矩阵是一个表格，矩阵运算是表格中的运算

而相应的行列式及其运算 (一个数)

Eg3. 解方程：

3.向量 求此向量组的秩和一个极大无关组， 并将其余向量用极大无关组线性表示 Eg1

秩

5. 特征值与特征向量 对角阵1 对角阵2 Eg.设矩阵 求一正交矩阵P，使得 为对角阵，并写出相应的对角阵 解:

单位正交化得所求为 使得 对角阵

复习题 分析 一、填空题 1.若3阶行列式|A|=4, 解: 所以A可逆,

2. 已知4阶方阵A的特征值为−1, 1, 2, 3 , 则|2A| = 解: 3.设4阶行列|A|=1, 解: 因为4阶行列|A|=1≠0, 所以A满秩, 即R(A)=4.

4.若 则a,b,c满足的条件是____. 解: (这是3阶范德蒙行列式) 所以a,b,c满足的条件是:a,b,c各不相等.

5.设3阶方阵A的特征值为 对应的特征向量依次为 解: 取

容易求得

6.若A是秩为2的三阶方阵, 组Ax = b 的非零解, 则Ax = b 的通解是___________________. 解: 由于R(A)=2, 所以导出组的 n − r = 3-2 = 1 , 基础解系包含一个解向量. 是导出组的解 向量, 是方程组Ax = b的一个特解, 所以方程组Ax = b的通解为

7.已知 线性相关, 则 =_____________. −2或=1. 解: 线性相关, 所以有

8.已知 是正定的, 则t的取值范围是_______________. 二次型的矩阵表达式为 解: 一阶主子式 2 > 0. 二阶主子式 三阶主子式

二、选择题 1.设A,B都是n阶方阵, 则下列结论正确的是( ). C (A) |A+B|=|A|+|B|; (B) (D) |−A|=|A| . (C) |A+B|≠|A|+|B|,选项(A)不正确. 解: 选项(B)也不正确. 选项(C)正确. 选项(D)不正确.

2.已知三阶行列式|A|=2,|B|=3, 则 D 解: 直接计算,解此题. 故选项(D)正确.

3. 设n阶方阵A 的行列式|A| = a≠0 , 则 D 解: 直接计算,解此题. 故选项(D)正确.

4. |A|=0 的充要条件是( ) . C (A) A为零矩阵; (B) A中有两行元素成比例; (D) A的特征值全为零. (C) A中的行向量组线性相关; 解: A为零矩阵是|A|=0的充分但不必要的条件. A中有两行元素成比例是|A|=0的充分但不必要的条件. A中的行向量组线性相关是|A|=0的充分必要条件. 故选项(C)正确. 若A的特征值为 则 只需一个特征值为零即可. 选项(A),(B),(D)均不正确.

5. 若A , B都是n阶正交矩阵, 则( ). C (A) A+B也是正交矩阵; (B) AB+BA也是正交矩阵; (C) 也是正交矩阵; (D) AB+I也是正交矩阵. 解: 若A是正交矩阵, 则有 以下根据定义验证: 由于 选项(A)错误. 由于

选项(B)错误. 由于 选项(C)正确. 由于 选项(D)错误.

6. 已知4个向量: 则这向量组的极大 线性无关组为( ). B (C) (D) (A) (B) √ √ √ 解: 设 R(A)=3, 极大无关组为 故选项(B)正确.

7. 设(≠0)是n阶方阵A的特征值, 则A的伴随矩阵 的特征值为( ). A (C) (D) (A) (B) 则 解: 若是A的特征值, 由于 所以 的特征值为 故选项(A)正确.

8. 设Ax = 0 ①是非齐次方程组Ax=b ②的导出组, 则( ). B (A) 若②有无穷多组解,则①仅有零解; (B) 若②有无穷多组解,则①有非零解; (C) 若①有非零解,则②有唯一零解; (D) 若①有非零解,则②有无穷多解. 解: 导出组①有非零解, 非齐次方程组②未必有解, 故选项(C)与(D)均错误. 若非齐次方程组②有无穷多 解, 则有R(A)= R(B) =r < n , 此时导出组①有非零解. 故选项(B)正确.

4.若 则 ( ). × 解: 则 若A可逆, 若A−I可逆, 则 即A = 0或A = I是有条件的. 结论错误.

5. 若A与B相似, 且B为实对称矩阵, 则A也是实对称 矩阵( ). × 解: 因为A与B相似, 所以存在可逆阵P,使 即有 又因为B是实对称矩阵, 则有 只有P是实对称矩阵时上式右边才等于A, A才是实对 故结论 由于P只是可逆矩阵不是实对称矩阵, 称矩阵, 不正确.

6. 若A正定, 则 也是正定矩阵.( ). √ 解: 因为A是正定矩阵, 所以A的全部特征值 均为正数. 的特征值为 也均为正数. 所以 是正定矩阵. 结论正确.

四、计算题与证明题 1.若4阶方阵 且 |A| = 4, |B| = 1, 求 |A+B| . 解: 则 (由行列式的性质)

2. 设A为三阶方阵, 且 求 解: 3.设三阶方阵A满足A+B = AB , 且 求A. 解: 由A+B = AB,

4. 对线性方程组 讨论: (1) a,b 取何值时方程组无解,取何值时有解; (2)当有解时求导出组的基础解系; (3)求方程组的通解. 解:

(1)要使方程组有解, 则R(A)=R(B). 要使方程组无解, 则 a≠ 1 , 或 b≠3 . (2) 有解时 与导出组同解的方程组为

由于 取 为自由未知量, 令 得 导出组的基础解系为:

(3) 与原方程组同解的方程组为: 令 得 原方程组的一特解为: 原方程组的通解为:

5. 已知三阶方阵A的特征值为 对应的特征向量依次为 求 解: 令 由于|P| = 27 ≠ 0, 所以P可逆. 则有 即有

则 容易求得 所以

6. 已知向量组 的秩为3, 试证明向量组 也线性无关. 因为向量组 证: 的秩为3, 所以向量组 (向量组的秩与向量组所含向量 线性无关. 的个数相同) 设 即有 也即有 由于向量组 线性无关, 所以有

系数行列式 所以 只有零解 因此向量组 线性无关. 证毕. 7. 设二次型 (1) 写出二次型的矩阵表达式; 并写出所作的可逆 (2) 用配方法化二次型为标准形, 线性变换.

解: (1) (2) 令 则

所作的可逆线性变换为