局部排氣裝置導管設計 多氣罩範例

設計範例 空氣密度 r = 1.2 kg/m3 導管摩擦損失因數 f = 0.024 肘管壓力損失係數 Fe = 0.22 11.6 m 氣罩壓力損失係數 Fh = 0.85 合流支管壓力損失係數 Fm = 1.0 合流主導管壓力損失 = 0 11.6 m 5 3 4 3.6 m １ ２

問題 1 兩氣罩導管管徑均為 8.00 cm = 0.08 m 排氣機風量 Q = 17 m3/min Q1 = ？Q2 = ？ d1 = d2 = 0.08 m 排氣機風量 Q = 17 m3/min Q1 + Q2 = Q3 = …= Q6 = (17 m3/min)(60 min/s) = 0.2833 m3/s（相當於電路中 Kirchhoff 電流律） Q1 = ？Q2 = ？

0 - 1 - 3 A1 = pd12/4 = p(0.08 m)2/4 = 0.005027 m2 v1 = Q1/A1 = Q1/(0.005027 m2) = 198.9 Q1/m2 Q1 還未知 Pv1 = rv12/2 = (1.2 kg/m3)(198.9 Q1/m2)2/2= 23747 Q12/m4 Pt3 = -(Fh + fL13/d1 + 2Fe)Pv1 = -[0.85 + (0.024)(11.6)/0.08 + (2)(0.22)](23747 Q12/m4)= -(4.77)(23747 Q12/m4) = -1.132 × 105 Q12/m4 有兩個肘管

0-2-3 A2 = 0.005027 m2 d2 = d1 v2 = Q2/A2 = 198.9 Q2/m2 Q2 還未知 Pv2 = rv22/2 = 23747 Q22/m4 Pt3 = -(Fh + fL23/d2 + Fe+ Fm)Pv1 = -[0.85 + (0.024)(3.6)/0.08 + 0.22 + 1.00](23747 Q22/m4)= -(3.15)(23747 Q12/m4) = -7.48 × 104 Q22/m4 合流支管

點 3 （合流） 無論沿 0-1-3 或沿 0-2-3 所計算得的 Pt3 都要一樣 電路中的 Kirchhoff 電壓律 -1.132 × 105 Q12/m4 = -7.48 × 104 Q22/m4 簡化：11.32 Q12 = 7.48 Q22 Q1 = (7.48/11.32 )1/2Q2 = 0.8126 Q2 又 Q1 + Q2 = 0.2833 m3/s 0.8126Q2 + Q2 = 1.8126Q2 = 0.2833 m3/s

點 3 （合流，續） Q2 = (0.2833 m3/s)/1.8126 = (0.1563 m3/s)(60 s/min) = 9.38 m3/min Q1 = 17 m3/min – Q2 = 17 m3/min – 9.38 m3/min = (7.62 m3/min)(1 min/60 s) = 0.127 m3/s 順便算 v1 與 v2： v1 = Q1/A1 = 0.127 m3/s/0.005027 m2 = 25.3 m/s v2 = Q2/A2 = 0.1563 m3/s/0.005027 m2 = 31.3 m/s 再繼續算 Pv1 與 Pv2 繼續計算下游導管，一直到得到 FTP 與 FSP 為止

討論 因為導管 0-1-3 長度遠大於 0-2-3，在相同風量下壓損較大，因此通過的風量較小，使風速與動壓較另一側小，如此才能使兩側壓損一樣 但這樣一來，Q1 = 7.62 m3/min，可能過低 改善方案： 增加 0-1-3 管徑：可能使導管內風速過低 減少 0-2-3 管徑

問題 2 令通過 0-1-3 的風量 Q1 = (8.5 m3/min)(1 min/60 s) = 0.1417 m3/s 調整 0-2-3 的管徑 d2，使通過 0-2-3 的風量也是 Q2 = (8.5 m3/min)(1 min/60 s) = 0.1417 m3/s 這種方式稱為設計平衡法

0-1-3 A1 = 0.005027 m2 v1 = Q1/A1 = 0.1417 m3/s/(0.005027 m2) = 28.12 m/s Pv1 = rv12/2 = (1.2 kg/m3)(28.12 m/s)2/2 = 476.6 Pa Pt3 = -(Fh + fL13/d1 + 2Fe)Pv1 = -[0.85 + (0.024)(11.6)/0.08 + (2)(0.22)](476.6 Pa)= -(4.77)(476.6 Pa) = -2273 Pa

0-2-3 A2 = pd22/4 = pd22/4 = 0.7854 d22 這時 d2 還未知 v2 = Q2/A2 = (0.1417 m3/s)/ 0.7854 d22 = 0.1804 /d22 m3/s Pv2 = rv22/2 = (1.2 kg/m3)(0.1804 /d22 m3/s)2/2 = 0.01952/ d24 kg-m3/s2 Pt3 = -(Fh + fL23/d2 + Fe+ Fm)Pv1 = -[0.85 + (0.024)(3.6 m)/d2 + 0.22 + 1](0.01952/d24 Pa-m4) Pa = N/m2 = kg-m/s2/m2 = kg/(m-s2) Pa-m4

0-2-3（續） Pt3 = -[2.07+ (0.0864 m)/d2](0.01952/ d24 Pa-m4) Pt3 = -[(0.04041 m4)/d24 + (0.001687 m5) /d25] Pa

點 3 （合流） 無論沿 0-1-3 或沿 0-2-3 所計算得的 Pt3 都要一樣 Pt3 = -[(0.04041 m4)/d24 + (0.001687 m5)/ d25] Pa = -2273 Pa 0.04041 (m/d2)4 + 0.001687 (m/d2) 5– 2273 = 0 (d2/m)5 - 1.778 × 10-5 (d2/m) – 7.420× 10-7 = 0 令 x = d2 /m x5 - 1.778 × 10-5 x – 7.420× 10-7 = 0 （How to Solve?）

g(x) vs x 使 g(x) = 0 的 x 值在 0.07 與 0.08 之間，較靠近 0.07

疊代法 x5 = 1.778 × 10-5 x + 7.420× 10-7 x = (1.778 × 10-5 x + 7.420× 10-7)1/5 猜 x0 = 0.07 代入等號右邊（x = d2/m = 0.07 => d2 = 0.07 m） 第 1 個答案：x1 = [(1.778 × 10-5 )(0.07) + 7.420× 10-7]1/5 = 0.072377 將 x1 = 0.072377 代入等號右邊 第 2 個答案：x2 = [(1.778 × 10-5 )(0.072377) + 7.420× 10-7]1/5 = 0.072683 次數最高者 用計算機算時，記得用括號包圍 1/5 不然會算成 (…)1/5

疊代法（續） 將 x2 = 0.072683 代入等號右邊 還是得到 x3 = 0.072722 x4 = 0.072727 通式：xn+1 = (1.778 × 10-5 xn + 7.420× 10-7)1/5 舊的 x 值 新的 x 值

疊代法（續） 所以 x = d2/m = 0.072727 繼續計算 v2、Pv2 與下游導管 d2 = 0.072727 m ≈ 7.27 cm（其實 x2 已經夠準確） 較小的管徑可以用 Q = 8.5 m3/min 的風量產生與另一側相當的壓損 繼續計算 v2、Pv2 與下游導管

疊代法（續） 用以下方法，會得到發散的結果： xn+1 = ( xn5 - 7.420 × 10-7)/(1.778 × 10-5)

Newton 法（切線法） 0 - g(x0) = (x1 – x0)tanq = (x1 – x0)g'(x0) => x1 = x0 - g(x0)/g'(x0) q x0 x1 tanq = g'(x0)

Newton 法（續） xn+1 = xn – g(xn)/g'(xn) g(x) = x5 - 1.778 × 10-5 x – 7.420× 10-7 g'(x) = 5x4 - 1.778 × 10-5 xn+1 = xn – (xn5 - 1.778 × 10-5 xn – 7.420× 10-7) /(5xn4 - 1.778 × 10-5) xn+1 = (4xn5 + 7.420× 10-7)/(5xn4 - 1.778 × 10-5)

Newton 法（續） 令 x0 = 0.07 依序求得： x1 = 0.072987 x2 = 0.072730

二分法 令 xL = 0.07（左邊的 x 值），得 g(xL) = -3.05474 × 10-7（只要看正負值） 令 xR = 0.08 （右邊的 x 值），得 g(xR) = 1.11288 × 10-6 （只要看正負值） 令 x1 = (xL + xR)/2 = 0.075，得 g(x1) = 2.9979989 × 10-7 （只要看正負值） 因為 g(xL)g(x1) < 0，根必然在 0.07 與 0.075 之間

二分法（續） 令 xL = 0.07 （g(xL) < 0，沿用） 令 xR = 0.075 （g(xR) >0，沿用） x2 = (xL + xR)/2 = 0.0725，得 g(x2) >0 因為 g(xL)g(x1) < 0，根必然在 0.07 與 0.075 之間 繼續下去： x3 = 0.07375，g(x3) > 0 … x12 = 0.072727

割線法 (xR, yR = g(xR)) 將 g(x) 在 xR 與 xL 區間內以直線近似 yR - yL y = g(x) 0 - yL tanq = (0 – yL)/(x1 – xL) = (yR – yL)/(xR – xL) q (xL, yL = g(xL)) xR - xL x1 - xL x1 = xL + (xL - xR)(0 - yL)/(yR- yL) = 0.72154 g(x1)g(xR) < 0（根必然在 x1 與 xR 之間） 令 x1 = xR，xL = xL …

割線法（續） 依序求得： x1 = 0.072154 x2 = 0.072611 … x6 = 0.072727

討論 各種方法比較： 最好使用 Excel 若使用計算機最好要學會用自訂函數功能 疊代法： x4 = 0.072727 （最簡單） Newton 法： x3 = 0.072727（最快） 二分法： x12 = 0.072727 （最不需要算式，需要兩個猜測值） 割線法： x6 = 0.072727（需要兩個猜測值） 最好使用 Excel 若使用計算機最好要學會用自訂函數功能

討論（續） 如何判定是否收斂？ xn +1 與 xn 的差值是否夠小（|xn+1 - xn| < 給定誤差） g(xn) 是否夠靠近 0 （|g(x)| < 給定誤差） 二分法與割線法：xR 與 xL 是否夠靠近（|xR - xL| < 給定誤差）

問題 3 兩氣罩導管管徑均為 8.00 cm = 0.08 m 令通過 0-1-3 的風量 Q1 = (8.5 m3/min)(1 min/60 s) = 0.1417 m3/s 調整 0-2-3 的壓損（安裝檔板），使通過 0-2-3 的風量是 Q2 = (8.5 m3/min)(1 min/60 s) = 0.1417 m3/s 分別沿 0-1-3 與 0-2-3 計算 Pt3，檔板所需要造成的壓損就是二者的差值 檔板平衡法（通常用於設計完成後使用階段的調整）