第2章 正投影基础 2.1 投影基本知识 2.2 形体的三面投影图 2.3 点的投影 2.4 直线的投影 2.5 平面的投影

第2章 正投影基础 2.1 投影基本知识 2.1.1 投影的概念 2.1.2 投影法的分类 1、中心投影法 2.1 投影基本知识 2.1.1 投影的概念 2.1.2 投影法的分类 1、中心投影法 2、平行投影法 （1）斜投影法 （2）正投影法 2.1.3 正投影的基本性质 1、显实性 2、积聚性 3、类似性

在灯光或日光的照射下，形体在地面或墙面上会产生的影子。 2.1.1 投影的概念 在灯光或日光的照射下，形体在地面或墙面上会产生的影子。 这里的灯光或日光称为投影中心，光线称为投射线，地面或墙面称为投影面，这种得到形体的投影方法，称为投影法。 2.1.2 投影的分类 图2-3 中心投影 图2-4 斜投影 图2-5 正投影

1、显实性：若线段和平面图形平行于投影面, 其投影反映实长或实形。

2、积聚性：若线段和平面图形垂直于投影面，其投影积聚为一点或一直线段。

3、类似性：若线段和平面图形倾斜于投影面，其投影短于实长或小于实形，但与空间图形类似。

2.2 形体的三面投影图 2.2.1 三面投影图的形成 1、三投影面体系 2、形体在三投影面体系中的投影 3、三投影面的展开 2.2 形体的三面投影图 2.2.1 三面投影图的形成 1、三投影面体系 2、形体在三投影面体系中的投影 3、三投影面的展开 2.2.2 三面投影图的投影规律 1、投影规律 2、视图与形体的方位关系

问题的提出 C 形体的一面投影不能唯一确定其空间形状 B H A a,b,c (b) 水平投影图

1、三投影面体系——由三个互相垂直的投影面组成。 2.2.1 三面投影图的形成 1、三投影面体系——由三个互相垂直的投影面组成。 （1）投影面 正立投影面--V (正面） 水平投影面--H (水平面） 侧立投影面--W (侧面） （2）投影轴 OX轴 --- V H OY轴 --- HW OZ轴 --- VW （3）原点 O ---原点 Z H V X O W Y

—— 将形体放置在三投影面体系中，按正投影法向各投影面投影，则形成了形体的三面投影图。 2、形体在三投影面体系中的投影 —— 将形体放置在三投影面体系中，按正投影法向各投影面投影，则形成了形体的三面投影图。 三面投影图（三视图）： 正立面投影图（正面图）——主视图 水平面投影图（平面图）——俯视图 侧立面投影图（侧面图）——左视图

3、三面投影图的展开 —— 规定正面V不动，将水平面H绕OX轴向下旋转90°，侧面W绕OZ轴向右旋转90°，就得到如下图所示的在同一平面上的三个视图。

1、三面投影图的基本规律(三等关系) 2.2.2 三面投影图的投影规律 正面图与平面图长对正； 正面图与侧面图高平齐； 2.2.2 三面投影图的投影规律 1、三面投影图的基本规律(三等关系) 正面图与平面图长对正； 正面图与侧面图高平齐； 平面图与侧面图宽相等。

2、视图与形体的方位关系 正面图反映形体的上、下和左、右，不反映前、后； 平面图反映形体的前、后和左、右，不反映上、下； 侧面图反映形体的上、下和前、后，不反映左、右。

2.3 点的投影 2.3.1 点的三面投影 1、点三面投影的形成 2、点的投影规律(特性) 2.3.2 点的空间坐标 2.3 点的投影 2.3.1 点的三面投影 1、点三面投影的形成 2、点的投影规律(特性) 2.3.2 点的空间坐标 2.3.3 特殊位置的点 2.3.4 两点的相对位置 1、两点的相对位置 2、重影点及可见性判别

2.3.1 点的三面投影 H V X Z Y W O H a a a V W X O Z YW YH a a a A 1、点三面投影的形成 H V X Z Y W O H a a a V W X O Z YW YH a a a A A点的水平投影 — a A点的正面投影 — a A点的侧面投影 — a

aa  ox （长对正） 2、点的投影规律(特性) H a a a V W X O Z YW YH ax ay az H V X Z 分析： aaz = aay = x aax = aay = z aaz = aax = y aa  ox （长对正） aa oz （高平齐） aaz = aax（宽相等）

[例题2.1] 已知点B的正面与侧面投影，求点B的水平投影。 X Z YW YH O b b b

2.3.2 点的空间坐标 H V X Z Y W O ay ax az x y z a a a A 1、点的空间位置可用 直角坐标表示： 2.3.2 点的空间坐标 H V X Z Y W O ay ax az x y z a a a 1、点的空间位置可用 直角坐标表示： X坐标=A点到W面的距离Aa Y坐标=A点到V面的距离Aa Z坐标=A点到H面的距离Aa 2、书写形式为A (X，Y，Z) 。 A

2.3.3 特殊位置的点 —— 位于投影面、投影轴以及原点上的点。 2.3.3 特殊位置的点 —— 位于投影面、投影轴以及原点上的点。

2.3.4 两点的相对位置 1、两点的相对位置 X坐标确定左右：大者在左； Y坐标确定前后：大者在前； Z坐标确定上下：大者在上。

重影点 ----若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 2、重影点及可见性判别 重影点 ----若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 c d(c) d a(b) a b A B C D

2.3.5 点直观图的画法 为了便于建立空间概念，加深对投影原理的理解，常常需要画出具有立体感的直观图。根据点的投影，画其直观图的方法步骤见例2.2。 【例2.2】 已知A(28，0，20)、B(24，12，12)、C(24，24，12)、D(0，0，28)四点，试画出其直观图与投影图。 (a) 直观图 (b) 投影图

2.4 直线的投影 2.4.1 各种位置直线的三面投影 2.4.2 直线上点的投影 2.4.3 一般位置直线的实长及其与投影面的夹角

2.4 直线的投影 直线的投影——直线上任意两点同面投影的连线。 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。 a b c(d) C A B D 2.4 直线的投影 直线的投影——直线上任意两点同面投影的连线。 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。 D C A B a b H c(d)

2.4.1 各种位置直线的三面投影 1、投影面平行线 ——与一个投影面平行，而与另两个倾斜的直线。 （1）水平线——与H面平行，与V、W面倾斜； （2）正平线——与V面平行，与H、W面倾斜； （3）侧平线——与W面平行，与V、H面倾斜。 2、投影面垂直线 ——与一个投影面垂直（必与另两个平行）的直线。 （1）铅垂线——与H面垂直，与V、W面平行； （2）正垂线——与V面垂直，与H、W面平行； （3）侧垂线——与W面垂直，与V、H面平行。 3、一般位置直线 ——与三个投影面都倾斜的直线。

z （1）水平线 a b a b b a a a b a b b   投影特性：1) ab = AB X a b a b b a O z YH YW （1）水平线 X Z Y O a a b a b b A B     投影特性：1) ab = AB 2) ab OX ; ab OYW 3) 反映、 角的真实大小

（2）正平线 投影特性： 1) a b = AB 2) ab  OX ; a b OZ 3) 反映、角的真实大小 X YH YW （2）正平线 X Z Y O a a b a b b   A B   投影特性： 1) a b = AB 2) ab  OX ; a b OZ 3) 反映、角的真实大小

（3）侧平线 投影特性： 1) ab = AB 2) ab OZ ; ab  OYH 3) 反映 、 角的真实大小 X YW a a a b a b b   A B   投影特性： 1) ab = AB 2) ab OZ ; ab  OYH 3) 反映 、 角的真实大小

（1）铅垂线 Z b X a b a(b) O YH YW a O X Z Y b a(b) a a b A B 2) a bOX ; a b  OY 3) a b = a b = AB

z （2）正垂线 X ab b a O YH YW a b O X Z Y b ab a b a A B 2) ab  OX ; ab OZ 3) ab = ab =AB

（3）侧垂线 Z X ab b a O YH YW a b O X Z Y b a ab a b A B 2) ab  OYH ; ab OZ 3) ab = ab =AB

3、一般位置直线 Z Z a b b B b a b X YW O   a X O b  b a A a a Y YH 投影特性：1） a b、 ab、a b均小于实长 2） a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3）不反映  、  、 实角

A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b X O c c C 2.4.2 直线上点的投影 直线上的点具有两个特性： 1、从属性 若点在直线上， 则点的各个投影必在直线的各 同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2、定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。

[例题2.3] 已知线段AB的投影图，试将AB分成 2 ：1 两段， 求分点C 的投影。 b X a a b c c

2.4.3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便简捷。 (a) 直观图 (b) 利用水平投影求实长 (c) 利用正面投影求实长

[例题2.4] 已知线段AB的水平投影ab和点B的正面投影b'(如图2-23(a)所示)，线段AB与H面的夹角 =30°，求出线段AB的正面投影a'b'。

[例题2.5]已知线段AB的投影(如图2-24(a)所示)，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。

2.5 平面的投影 2.5.1 平面的表示法 2.5.2 各种位置平面的投影特性 2.5.3 平面上点和直线的投影

2.5.1 平面的表示法 1、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2） 一直线和直线外一点； 2.5.1 平面的表示法 1、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2） 一直线和直线外一点； （3） 平行二直线； （4） 相交二直线； （5） 任意平面图形。 2、平面的迹线表示法 平面可以理解为是无限广阔的，这样的平面必然会与投影面产生交线。平面与投影面的交线，称为迹线。

1、用几何元素表示平面 a a b c b c b a a c b c b a a c b c a b c a b d d a a b c b c ※平面图形的投影 —— 组成该平面图形的各线段同面投影的集合。

2、平面的迹线表示法 (a) 直观图 (b) 投影图

2.5.2 各种位置平面的三面投影 1、投影面的平行面 ——与一个投影面平行（必与另两个垂直)的平面。 2.5.2 各种位置平面的三面投影 1、投影面的平行面 ——与一个投影面平行（必与另两个垂直)的平面。 （1）水平面——与H面平行，与V、W面垂直； （2）正平面——与V面平行，与H、W面垂直； （3）侧平面——与W面平行，与V、H面垂直； 2、投影面的垂直面 ——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。 （1）铅垂面——与H面垂直，与V、W面倾斜； （2）正垂面——与V面垂直，与H、W面倾斜； （3）侧垂面——与W面垂直，与V、H面倾斜。 3、一般位置平面 ——与三个投影面都倾斜的平面。

（1）水平面 V W H c a b b b a a c c a b c b a c a b c C A B 投影特性：（一框两线） 1、水平投影abc 反映 ABC实形 2 、abc、 abc 分别积聚为一条线

（2）正平面 b a c a b c b c a C B A V W H c a b b a c b c a 投影特性：（一框两线） 1、正面投影abc 反映 ABC实形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线

（3 ）侧平面 V W H a b b b a c c c a b c b a c a b c C A B a 投影特性：（一框两线） 1、侧面投影abc 反映 ABC实形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线

（1）铅垂面 V c c P a a B W b b A a  a C b PH c c  H b 投影特性：（一线两框） 1、水平投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为ABC的类似形 3、abc 与OX、OY的夹角反映、角的真实大小

（2）正垂面 b b V b c c QV  α a a a A W B c c Q C a H b 投影特性：（一线两框） 1、正面投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为 ABC的类似形 3、abc 与OX、OZ的夹角反映α、 角的真实大小

（3 ）侧垂面 a b b b a a α β c c c V W H SW S C a b A B c 投影特性：（一线两框） 1、侧面投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为 ABC的类似形 3、abc 与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小

3、一般位置平面 a b b a c c b a c a b c b a c a b C A B 投影特性：（三框） 1、abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 2、不反映、、 的真实角度

2.5.3 平面上点和直线的投影 1、平面上的直线 2、平面上的点 3、平面上的投影面平行线

1、平面上的直线 直线在平面上的几何条件是： ① 通过平面上的两点； ② 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 C D A B M N

2、平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 D B F 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。

3、平面上的投影面平行线 平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。 属于平面的水平线和正平线 在平面上作正平线和水平线

平面上的水平线和正平线 V H PV P PH

在平面上作正平线和水平线 e' d' e d

[例题2.6] 已知三角形ABC的两面投影，如图2-29(a)所示，在三角形ABC平面上取一点K，使K点在A点之下15mm，在A点之前13mm，试求K点的两面投影。