Potential Vorticity Diagnosis of a Simulated Hurricane Potential Vorticity Diagnosis of a Simulated Hurricane. Part I: Formulation and Quasi-Balanced Flow 碩一　林柏旭 Reference: Wang, X., and D.-L. Zhang, 2003, Potential Vorticity Diagnosis of a Simulated Hurricane. 　　Part I: Formulation and Quasi-Balanced Flow. J. Atmos. Sci., 60, 1593-1607 Liu, Y., D.-L. Zhang, and M. K. Yau, 1997, A Multiscale Numerical Study of Hurricane 　　Andrew (1992). Part I: Explicit Simulation and Verification. Mon. Wea. Rev., 125, 3073-3093 劉豫臻, 2009, 聖帕颱風模擬的位渦反演之診斷分析. 中大大物所碩士論文

Outline 關鍵字 摘要 前人研究 研究方法 個案分析 反演結果 結論

關鍵字 Nonlinear Balanced (NLB) Equation PV Inversion Quasi Balanced 非線性平衡方程-由等壓座標下的動量方程推導而來 PV Inversion 在已知的PV分佈下，給訂平衡條件及邊界條件，即可得出完整的三維流場 Quasi Balanced 準平衡-接近平衡狀態 可以得出重力位與質量場的關係，而對一個在F-Plane上軸對稱的渦旋，NLB若沒有摩擦項會成為GWB 前人的研究、觀測也指出在PBL以上，GWB會是不錯的近似法

摘要 本研究中發展了一個包含摩擦、絕熱加熱、水相等非保守過程的位渦反演系統 配合非線性平衡條件，使用軸對稱的基本場，非軸對稱之擾動流場，發展出一套在虛高座標下的位渦反演法 利用MM5模擬資料(Liu. et al, 1997)，對1992的颶風Andrew做測試，用以檢驗此系統在診斷風暴內核區域的準平衡對稱特性之可用性、正確性 發現颶風流場大部分為平衡流場，而在低層及高層有較大的非平衡特性 Liu等人展示出MM5

前人研究 Elissen(1952)發展了軸對稱非線性平衡模式 Hoskins等人(1985)提出位渦應用上的重要性 Davis & Emanuel(1991)發展Ertel’s PV反演技術 Davis & Weisman (1994) 及Davis等人(1996)的PV反演演算法成功的用於診斷凝結加熱的效應 Wu & Emanuel(1995)以位渦反演研究颶風運動，把和颶風有關渦旋擾動去除後再進行位渦反演 Shapiro(1996)和Shapiro & Franklin(1999)將水平風場分解成軸對稱的風場和非對稱的風場，再使用位渦反演 Möller & Jones(1998)基於Shapiro & Montgomery(1993)提出的非對稱平衡的理論，使用位渦反演來研究原始方程模式 Davis等人(1996)和Olsson & Cotton (1997)使用平衡的風場透過準平衡ω方程式來估計三維的輻散輻合的流場。 Elissen的是用來研究颶風渦旋在潛熱釋放、地表摩擦的影響下會如何變動 由於PV以及NLB的非線性特性，使得對應用在中尺度上會讓它成為幾乎不實際的一件事，而經過特別的線性化之後，DE的演算法可以將3D PV場以片段的方法分解（對溫帶氣旋）

研究方法:位渦反演 NLB 包含水相作用的位渦方程 ＊要求慣性、靜力穩定 ▽h為二維梯度運算子，Φ是重力位，Ψ為非輻散之流函數，F為柯氏參數，Fr是包含數值耗散跟PBL的摩擦力 Z為虛高，G為重力加速度，P0為參考壓力1000mb，Rd為乾空氣的理想氣體常數 在慣性穩定、靜力穩定下，可以導出該位渦方程 瞬間場可能不符合其要求，於是設定絕對渦度稍微大於零

研究方法:線性化 因NLB、PV方程皆為非線性＝>將其線性化 無因次化 小寫皆代表無因次化後的變數

研究方法:線性化 將流場分解成基本狀態場、擾動場 選取基本場： 取得擾動場（ex: Φ’＝ Φ - Φ ） 所有三維空間的資料都由卡氏座標轉為柱狀座標，取環狀方位角平均，得軸對稱平均Φ 透過梯度風平衡方程(GWB)得Ψ、q 取得擾動場（ex: Φ’＝ Φ - Φ ）

研究方法: 擾動場 利用平均場與擾動場的關係，得: …A …B

研究方法:滿足橢圓條件 Arnason(1958) 對於NLB求解的研究中指出對一個不移動的渦旋，NLB求解必須滿足: 限制了反氣旋式風切不能太大 為使其滿足條件，A式乘上ε （0<ε<1）後與B式相加

研究方法:滿足橢圓條件 假設其滿足橢圓條件 可看出ε越小越好，除非大氣非常穩定 但ε太小會導致方程式不收斂！

研究方法:邊界條件 上下邊界條件：滿足靜力穩定 Neumann Boundary Condition 側邊界條件：無輻散 Dirichlet Boundary Condition

研究方法:準平衡ω方程 由於基本假設之故，前述方法所得之三維流場為平衡的質量場及水平風場，並無輻散輻合，且垂直速度過小

Why Quasi Balanced? 由NLB及PV方程式可得出3D（無輻散）平衡質量場及水平風場（會包含些許垂直運動或颶風的二次環流） 二次環流會包含PBL輻合的入流、眼牆的垂直運動、上對流層輻散的出流。所以很明顯的任何颶風的平衡理論若無輻散則不完整，然而加入輻散量會使其偏離原本的定義=>因此定義為準平衡

個案分析 個案：1992 Andrew 資料來源：模式輸出 時間設定： Aug.23 2000-2100UTC 一小時中每四分鐘一筆，共15筆的平均資料 水平網格間距設定：54km、18km、6km 網格設定：124*124 垂直設定：σ - layers 23->34 *此時Andrew發展到最強的階段-CategoryV *即使是34層的資料也不能表示原始垂直高解析資料，由MUDPACK這個Multi-Grid Solver弄來的

反演結果 : 位渦 眼牆有顯著的非對稱性， 西側眼牆有較強的上升運動，與其深對流發展一致 風眼中的高PV值與其中心逆溫層位置一致 U型PV分佈 反演結果差異來源： 垂直解析度不佳，絕對渦度為正、較大的靜力穩定要求 西側的眼牆伴隨著一個較深的二次環流，有著較強上升運動、高層外流（比東側強） 風眼中的潛熱加熱較弱，它與z=2.5km的熱力逆溫層的位置一致 此逆溫層分隔了來自上層的乾空氣與PBL的濕空氣 從圖三及圖二可以看出反演出來的PV的分佈、強度以及二次環流都與模擬結果接近 註：垂直運動之速度向量乘上了放大因子5

反演結果 : 切線風 反演出其基本架構及強度 誤差來源： 風眼中的弱氣流 PBL頂層的非對稱最大風速 PBL中的風力減弱現象 眼牆中傾斜的最大風速半徑與負強垂直風切 誤差來源： PBL:地表摩擦及不正確的摩擦效應表現形式 高層:絕對渦度為正之限制 PV反演得到1.颶風切線風的基本架構跟強度，如風眼中的弱氣流，2.位於PBL之上，強的非對稱風速極值，PBL中的風力減弱現象，以及眼牆中傾斜的最大風速半徑與大的負的垂直風切 RMW也是位在對流核外 反演場較模擬場平滑 不正確的摩擦效應=>垂直解析度 這些差異大多可視為是颶風不平衡的部份

反演結果 : 切線風 不平衡的切線風取切向平均後，差異減小 →與內重力波有關 在PBL以上，切向平均後的切線風幾乎是處於梯度風平衡 由於其他有可能的波很小（如聲波），不過這仍是未來需要研究的目標 與模擬結果很像

反演結果 : 垂直運動 其與潛熱釋放同相位 眼牆中約有六七成的上升運動是準平衡的 在外側區域的上升/下降帶皆有大致反演出來 高估上層的下降運動 反演結果沒有upper-level return flow 準平衡的ω equation可合理的反演垂直運動場！ 陰影是Heating Rate，等值線是垂直運動 *無論模擬/反演皆有此結果，尤其是在眼牆、主要雨帶（該處有強潛熱加熱） *雖然強度有點差異 *由於反演的高層出流弱，低層入流強 *水平解析度造成，不過cooling rate低，也沒辦法反演出來 對一個颶風，不論是給定診斷分析，或是模式初始

反演結果 : 垂直運動 ω方程式重現了 外側區域準平衡的ω-band在經過切向平均後消失了→表示其為高度非對稱 風眼中的下沉氣流 眼牆的上升氣流 外側區域準平衡的ω-band在經過切向平均後消失了→表示其為高度非對稱 不平衡的軸對稱ω-band顯示可能有重力波存在

反演結果:徑向風 在低層反演得合理的radial inflow 反演結果低估其強度 解釋了為何在低層1-2km處得到的垂直運動較弱 低層與Ekman pumping有關的外流噴流尤甚 解釋了為何在低層1-2km處得到的垂直運動較弱 外流噴流扮演著從風眼輸送能量的空氣，用以維持眼牆的發展，並降低中心氣壓

反演結果: 位溫變量 反演得3km高處有強逆溫的現象 跨越傾斜的眼牆有強的溫度梯度 反演出的眼牆低層位溫較高 總質量場反演的結果非常好，可看出PBL之上不平衡的質量擾動很小 較暖的邊界層會影響上升運動

結論 此反演系統需要颶風處在靜力、慣性穩定下，但允許負的PV存在，減少了資料修改的程度（其他方法要求PV>0） 此反演系統之優缺點： 可獲得許多發生在颶風中的典型特徵 會低估底層氣旋式的入流、由Ekman-Pumping造成的向上運動、邊界層中的熱力擾動、高層的反氣旋式出流 未來應對高度非對稱的個案進行測試 雖然缺點可能是因為水平、垂直解析度造成，

NLB : Derivation 等壓座標下的動量方程 Helmholtz Theorem 當VΨ>>Vχ 將上式取散度=>得重力位與流函數之關係 即旋轉流遠大於非旋轉流，如此可將Vh=VΨ，再將全微分展開

PV : Derivation Ertel’s PV: 含有水相作用的位渦 Pseudo Height: Exner function: θρ:虛位溫 ρ:包含乾空氣、所有水相粒子的總密度 絕對渦度向量: Pseudo Height: Exner function: Scale height: ρ，

PV: Derivation 虛高座標下靜力穩定的大氣，其包含水相作用之運動方程： 熱力方程 連續方程 潛熱加熱率

PV: Derivation 經向量等式　　　　　　　　　　改寫動量方程： 取其旋度，得三維渦度方程： 三圍渦度向量 絕對渦度向量 根據向量等式：

PV: Derivation 輻散項 帶入連續方程： 將連續方程帶回上式 得： 整理得： 虛密度

PV: Derivation 同除r(z) ▽θ． 得： 利用關係式： 可將上式改為位渦的形式

PV: Derivation 當絕熱，無摩擦時 可將上式改寫成 將其改為Ψ、Φ之關係式，假設其無輻散 帶入靜力方程

ω: Derivation 由虛高座標中垂直方向之渦度方程 熱力方程 配合 A B C B C A

Model Configuration Initial: 1992 Aug.21 1200UTC Water Cycle: with NCEP 2-deg (lat.-lon.) analysis (Enhanced by rawinsonde, surface observations, NAVY’s SST field) Water Cycle: Betts-Miller deep & shallow convective parameterization Tao-Simpson cloud microphysics scheme