4 線性模型 與矩陣代數

線性模型與矩陣代數 4.1 矩陣與向量 4.2 矩陣運算 4.3 向量運算 4.4 交換律、結合律與分配律 4.5 單位矩陣與零矩陣 4.6 轉置矩陣與逆矩陣 5

然而，矩陣代數只用於直線型方程體系。 （缺點） 使用矩陣代數的好處： 可將相當大的方程體系以簡潔形式寫出 可以行列式判斷並測試解存在與否 可得其解（若解存在） 然而，矩陣代數只用於直線型方程體系。 （缺點） 6

以直線型方程式描述實際經濟關係妥適嗎？ 很多情況下，即使因假定線性關係而犧牲某些實際性，只要所假定的直線型模式極接近非直線型的實際關係，則可矣。 在其他情況下，即使保留模型的非直線性，仍可移轉變數，以得直線型關係來處理。 例如 y ＝ a x b 可以兩邊取對數，轉移函數為 log y ＝ log a ＋ b log x 簡言之，在經濟上常採直線型之假定，在某些情況下昰相當合理且可成立的。

矩陣與向量:聯立方程式 m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (4-1) 稱為線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若x1 = s1, x2 = s2,……, xn = sn能滿足聯立方程式(4-1)時，我們稱(s1, s2,…, sn)為聯立方程式(4-1)的解。

矩陣與向量 以矩陣表示： A x = d

矩陣與向量 例 可寫為

矩陣的定義 凡數字、參數或變數之矩形排列。排列中之各項，稱為矩陣之元素（elements），兩邊常以中括號包圍之，如（4.2）式。 由 mn 個實數所構成的 m 列(row) n 行(column)長方形數列，稱為 m  n 階(order)矩陣(matrix) A。

矩陣每元素之位置可以其下標辨識，每個矩陣為一有序的集合。 矩陣之橫列數與縱行數合成矩陣之大小（dimension）。 為簡便計，m  n 矩陣常以符號 A = [aij]mn，或更簡 單的[aij]來表示。在矩陣 A 中第 i 列、第 j 行位置的 aij 稱為矩陣 A 的(i, j)元素(element, or entry)。 矩陣每元素之位置可以其下標辨識，每個矩陣為一有序的集合。 矩陣之橫列數與縱行數合成矩陣之大小（dimension）。 例如，矩陣A含有m橫列與n縱行，稱其為m × n 的矩陣。 當m = n時，矩陣稱為正方矩陣（square matrix）。

矩陣與向量 某些矩陣指含有一縱行，如（4.2）之x 與d。此稱行向量（column vectors）。 若將變數 x i 排成水平的，則得1 × n 矩陣，稱列向量（row vector）。 4-1作業 2.3.4.5

4.2 Matrix Operations 1.若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m  n 矩陣，且aij = bij ，1  i  m， 1  j  n ，則稱矩陣 A 和矩陣 B 相等(equal)。並寫成 A = B。 例

4.2 Matrix Operations [a ij] ＋ [b ij] ＝[c ij]而c ij＝ a ij ＋ b ij 2. 矩陣之相加與相減（addition and subtraction of matrices） 1)可相加條件：兩矩陣有相同的大小（same dimension） 2) A＝[a ij] and B＝[b ij]之相加定義為求每一對應元素之和 [a ij] ＋ [b ij] ＝[c ij]而c ij＝ a ij ＋ b ij [a ij] － [b ij] ＝[d ij]而d ij＝ a ij － b ij

加法運算(matrix addition) 若 A = [aij]， B = [bij] 皆為 m  n 矩陣，則 A 與 B的和(sum) C = [cij] 亦為 m  n 矩陣，且 即 C 是一個由 A 與 B 中相對應的元素相加而得的 m  n 矩陣，或寫成 C = A + B。

4.2 Matrix Operations 例

4.2 Matrix Operations 3. 與純量相乘：一矩陣與一數相乘，即乘純量（scalar），為該矩陣每一元素乘該純量。例：

4.2 Matrix Operations 4. 矩陣相乘： 兩矩陣AB相乘必須滿足一項條件，A之行數＝B之列數。 若A之大小為m×n，而B之大小為p×q，若且唯若n＝p，則可定義矩陣乘積AB。而且乘積大小為m×q。 例：已知ABC3矩陣如下，請問矩陣乘積AB，BA，AC，CA，BC，CB是否可定義？

乘法運算(matrix multiplication) 若 A = [aij] 為 m  n 矩陣，B = [bij] 為 n  p 矩陣，則 A 和 B 的乘積(product) C = [bij] 為 m  p 矩陣，其中

若以符號表示，可寫成 C = AB  第 j 行

4.2 Matrix Operations 2個向量之內乘積（inner product）： 已知兩個分別含有n個元素之向量u與v，如（u1, u2,⋯, un）與（v1, v2,⋯, vn）排乘一橫列，一縱行，其內乘積，寫為uv定義為 uv = u1v1+u2v2+ ⋯ +unvn 此為對應元素之乘積和，因此兩向量之內乘積為一純量。 乘積矩陣C ＝ AB之元素cij即可視為前矩陣A之第i橫列與後矩陣B之第j縱列的內乘積。

4.2 Matrix Operations 5. 矩陣相除：不能寫成A/B 對任兩數a與b，其商a/b（b≠0）可寫成ab-1或b-1a。

4.2 Matrix Operations 6.Σ（sigma）：表示加總的簡寫。例如 讀作：xj之和，而j由1至3，j為加總指標，且只取整數。Xj代表加總各項，它是j的函數。

4.2 Matrix Operations 可擴及x項前加一數或相加之各項皆給予某一整數指數。例如

4.2 Matrix Operations （4.6）乘積矩陣C=AB之每一元素定義為各項和，可重寫如下： 將此推及m×n矩陣A與n×p矩陣B兩者乘積C之元素可寫為

4-2作業 1.2.4.6.7

4.3 Notes on Vector Operations 向量之相乘： m × 1的行向量u與1 × n的列向量 相乘得m × n之乘積矩陣 。 1 × n的列向量 與 n × 1的行向量v相乘，其乘積 之dimension為1×1。 為u的元素之平方和。例如

4.3 Notes on Vector Operations 向量運算之幾何意義 行（或列）向量運算之幾何解釋：兩者皆指同一序對。為圖形上之一點或一射線（半徑向量，radius vector）。圖4.3（a） 向量與一純量相乘；同一射線只是箭頭之位置改變，除非k=1。（k＞1；k＜1；0＜k＜1）圖4.3（b）

4.3 Notes on Vector Operations

4.3 Notes on Vector Operations 線型依存： 若且唯若一組向量集合，其中一個向量可表示為其他向量之線型組合，則稱其為線型依存（linearly dependent）；否則為線型獨立（linearly independent）。 例 ⇒

4.3 Notes on Vector Operations 重新定義 若且唯若有一組純量k1,k2,…,k n（非皆為零），使得 則稱集合中之m個向量為線型依存。若此方程式唯有全部k i=0方成立，則這些向量為線型獨立。

4.3 Notes on Vector Operations 線型依存的幾何意義： 兩向量線型依存，其射線在同一直線上（圖4.3a或b）； 兩向量為線型獨立，其射線不在同一直線上（圖4.3c）。 當考慮二維空間，兩個以上向量時，可得一重要結論：於二維空間內，若我們可以找到兩個線型獨立之向量，則在空間內所有其他向量將可表示為此兩向量之線型組合。因而，任3個或更多個2元素向量之集合必為線型依存。

4.3 Notes on Vector Operations 向量空間 任何兩個線型獨立的向量u與v可編織出二維空間（vector space） ， 此稱為二維空間之基底(basis)。 單位向量，[1 0]其圖形為水平軸上之射線，[0 1]則為垂直軸上的射線，因二者為線型獨立，亦可作為構成二維空間的基礎。 基底並不唯一，用單位向量為基底， 有一個方便的好處 可推廣至三維甚至n維空間。

4-3作業 2.4.5.6

4.4 Commutative, Associative, and Distributive Laws 1.加法交換律：A + B ＝ B + A 證明：A + B ＝[a ij +b ij]＝[b ij +a ij] ＝ B + A 例 ：已知 與 A + B ＝ B + A＝

4.4 Commutative, Associative, and Distributive Laws 2.加法結合律：( A + B ) + C ＝ A + ( B + C ) 證明：( A + B ) + C ＝[aij +bij] + [cij]＝[aij +bij+ cij]＝[aij ]+[bij+ cij]＝A+(B+C) 例 2 ： ( A + B ) + C＝ + ＝ A + ( B + C )＝ + ＝ 加法結合律應用到向量的線型組合，表示可先選擇任一對向量相加或相減，而不必循著n項之先後排列次序。

4.4 Commutative, Associative, and Distributive Laws 3.乘法交換律：矩陣相乘不合交換律 AB ≠ BA 例3 例外： 1.當A為方陣，B為單位矩陣 ⇒ AB＝AI＝A＝IA＝BA 2.當A為B之逆矩陣 ⇒ AB＝B-1B＝I＝BB-1＝BA

4.4 Commutative, Associative, and Distributive Laws 4.乘法結合律：(AB)C ＝ A(BC) ＝ABC 每一對相鄰的矩陣必須滿足可乘性條件 例 5.乘法分配律： A(B+C)＝AB+AC [前乘A] (B+C)A＝BA+CA [後乘以A]

4-4作業 1.2.3.5

4.5 Identity Matrices and Null Matrices 單位矩陣定義 為一正方矩陣，其主要對角線上元素為1，其他元素為0。以符號 I 或 In 表之，其下標n表示其列數。 單位矩陣的特性 對任何矩陣A而言，可得IA＝AI＝A 在A為方陣下，此矩陣相乘合於交換律的一種例外情形。(當A為方陣，B為單位矩陣 ⇒ AB＝AI＝A＝IA＝BA ) 單位矩陣為自乘不變矩陣（idempotent matrix）AA=A

4.5 Identity Matrices and Null Matrices 單位矩陣擔任數字1的角色，零矩陣擔任數字0的角色。 零矩陣定義 為所有元素皆為零的矩陣。 零矩陣的特性 零矩陣不限於方陣矩陣。 類似純量0 ; A+0=A ; A × 0 = 0 正方的零矩陣為自乘不變矩陣，但非正方者不是。（為什麼？）

4.5 Identity Matrices and Null Matrices 矩陣代數的兩個重要特性 數字的情況下，a b＝0表示a或b為0，但在矩陣相乘的情況下便不然。例 A B＝ 或 C D＝？ C E＝？ 此種結果唯有在某些特殊的矩陣方成立，稱之為奇異矩陣（singular matrices），上述之A、B與C矩陣即屬之。（粗略言之，凡矩陣某橫列元素為另一橫列者之倍數者，即稱之。）

4-5作業 1.2.3.4

4.6 Transposes and Inverses 1.轉置（transpose）：若將矩陣A的橫列與縱欄互相交換，則得A的轉置矩陣，表示為 或AT。 例 與 與 求其轉置矩陣 若矩陣A為m×n，則其轉置矩陣必為n×m 對稱矩陣（symmetric matrices），對角線兩旁元素對稱。對稱矩陣的轉置矩陣等於自己。例I，D。

4.6 Transposes and Inverses 轉置矩陣的性質

4.6 Transposes and Inverses 2.逆矩陣與其性質 定義：唯若A為正方矩陣，則其逆矩陣逆矩陣滿足如下條件AA-1＝A-1A＝I 並非每個方陣都有逆矩陣。若方陣A有逆矩陣，則稱A為非奇異（nonsingular）矩陣；若A沒有逆矩陣，則稱A為奇異（singular）矩陣。 A與A-1互為逆矩陣。 若A為n×n，則A-1也必為n×n。 若逆矩陣存在，則其為唯一的。

4.6 Transposes and Inverses 逆矩陣具如下三種性質：

4.6 Transposes and Inverses 逆矩陣與直線方乘體系解 兩邊前乘A-1，可得

4-6作業 1.2.4.6