第四章 四边形性质的探索 　吴菲 周南中学

判定 性质 四条边都相等的四边形 性质 性质 边 对边分别平行,相等. 四条边都相等 角 对角相等. 边 对边分别平行,相等. 对角线 对角线互相垂直平分,且平分一组对角. 角 对角相等. 对角线 对角线互相平分 一组邻边相等 一个角为直角 判定 一组邻边相等的平行四边形. 边 两组对边 分别平行 四条边都相等的四边形 对角线 互相垂直的平行四边形. 一个角为直角 性质 相等 边 对边分别平行且相等. 角 四个角都是直角 判定: 判定 对角线 对角线互相平分且相等 边 对边分别平行,相等. 一组邻边相等 一个角为直角 一组对边平行且相等 对角线 互相平分. 一组邻边相等 垂直 判定 一个角是直角的平行四边形. 角 四个角都是直角的四边形. 对角线 对角线互相平分且相等的平行四边形.

提高与练习 一、判断题 相等 1、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（ ） √ X 2、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ） 1、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（ ） √ X 2、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ） 3、两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形。（ ） X 4、两条对角线相等的菱形是正方形。（ ） √ 5、矩形的对角线互相垂直。（ ） X 相等

理由:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 如图:ＡＢ＝ＣＤ＝ＥＦ，∆ＡＣＥ≌∆ＢＤＦ． 图中有几个平行四边形？ 说说你的理由。 Ｃ Ａ Ｅ Ｄ Ｂ Ｆ 答: 图中有三个平行四边形。 理由:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ，ＣＥ交于点Ｅ． 四边形ＯＣＥＤ是矩形吗? 说说你的理由. 如图:Ｏ是菱形ＡＢＣＤ对角线的交点,作 ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ，ＣＥ交于点Ｅ． 四边形ＯＣＥＤ是矩形吗? 说说你的理由. Ｄ Ａ Ｅ Ｏ Ｃ Ｂ 答: 四边形ＯＣＥＤ是矩形。 理由:有一个角是直角的平行四边形是矩形。.

如图:Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ延长线 上的点．且ＣＥ＝ＡＣ． 求∠ＡＣＥ，∠ＣＡＥ的度数。 解: 在正方形ＡＢＣＤ中, ∠ＡＤＣ＝∠ＤＣＢ＝９０° ＡＤ＝ＤＣ ∠ＤＣA＝４５° A D ∠ＤＣＥ＝９０° ∠ＡＣＥ＝１３５° ＡＣ＝ＣＥ B E C ∠ＣＡＥ＝２２．５°

动动手 看谁最聪明！ 如图,平行四边形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ是 ＤＢ上的点,且ＢＥ＝ＣＦ 求证:四边形ＡＥＣＦ是平行四边形. 证明: 在平行四边形ABCD中: A D ＯＡ＝ＯＣ F E ＯＢ＝ＯＤ O ＯＥ＝ＯＦ B ＢＥ＝DＦ C 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形 动动手 看谁最聪明！

? 试一试: 如图,平行四边形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ是ＤＢ上的点,且 ＢＥ＝ＣＦ 求证:四边形ＡＥＣＦ是平行四边形. 证明: 在平行四边形ABCD中: A D ＢＣ＝ＡＤ F ∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ E O ＢＥ＝ＣＦ C B ∆ＢＥＣ≌∆ＤＦＡ ＣＥ＝ＡＦ 同理: ＡＥ＝ＣＦ 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形 ? 试一试: 还有其它方法吗

如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。 求证: 四边形AEDF为平行四边形． F 三角形ABE为等边三角形 证明: A 三角形BCD为等边三角形 AB=BE BC=BD ∠ DBC= ∠ EBA=60 ABD= ABD B C ∠ ∠ CAE ∠ DBE= ∠ DE=AC DE=AF DBE≌ CBA 同理： AE=FD 在等边三角形ACF中 AC=AF 四边形为ABCD平行四边形

动动手 如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。 当三角形ABC怎样时， 四边形AEDF为为菱形．

想一想 如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形ABC,连接DF,DE。 当三角形ABC怎样时， 四边形AEDF为为矩形．

动动脑 如图：以三角形ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABE,三角形BCD,三角形AFC,连接DF,DE。 当三角形ABC怎样时， 四边形AEDF为为正方形．

在直角三角形ABC中，D,E分别为AB,AC的中点. 结论： DE平行且等于BC的一半. 三角形的中位线平行且等于对边的一半． BE等于AC的一半. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图,已知: o为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,E,F,G,H分别是OA,OB, OC,OD的中点.求证:四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明： 在三角形OAD中: A E,H分别是OA,OD的中点 EH AD ∥ D E 在三角形OBC中: H O F,G分别是OB,OC的中点 FG BC ∥ F G B C 在平行四边形ABCD中: AD BC ∥ EH FG ∥ 同理:EF GH ∥ 四边形ABCD是平行四边形. 想一想: 还有其它方法吗 ?

M,N,F分别是EC,ED,DC的中点 NF∥EM A D 四边形EMFN是平行四边形 MF∥EN N 在梯形ABCD中 如图所示:在梯形ABCD中，AD ∥ BC,E点在AB上，DE，CF分别平分∠ADC,∠DCB 又M,N,F分别是EC,ED,DC的中点．求证：四边形ABCD是矩形． 证明： M,N,F分别是EC,ED,DC的中点 NF∥EM A D 四边形EMFN是平行四边形 MF∥EN N 在梯形ABCD中 AD∥BC　　∠ADC＋∠DCB＝180 E ∠DEC＝90 F DE,CE分别平分∠ADC，∠DCB M 四边形ABCD是矩形． B C ∥ 分析： 四边形ABCD是矩形． 四边形ABCD是平行四边形． 两组对边分别平行

动动脑 ？ 如图,已知: o为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,E,F,G,H分别是OA,OB, OC,OD的中点.求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明： 在三角形OAD中: E,H分别是OA,OD的中点 EH=1/2 AD A 在三角形OBC中: D E F,G分别是OB,OC的中点 FG=1/2 BC H 在平行四边形ABCD中: AD=BC F G B EH=FG C 同理:EF =GH 四边形ABCD是平行四边形. 动动脑 ？ 还有其它方法吗

A D M,N,F分别是EC,ED,DC的中点 N NF∥EM 四边形EMFN是平行四边形 MF∥EN E F M,N分别是EC,ED的中点 如图所示:在梯形ABCD中，AD ∥ BC,E点在AB上，DE，CF分别平分∠ADC,∠DCB 又M,N,F分别是EC,ED,DC的中点．求证：四边形ABCD是矩形． A D 证明： M,N,F分别是EC,ED,DC的中点 N NF∥EM 四边形EMFN是平行四边形 MF∥EN E F M,N分别是EC,ED的中点 MN=1/2 DC 在梯形ABCD中 M AD∥BC　　∠ADC＋∠DCB＝180 C ∠DEC＝90 DE,CE分别平分∠ADC，∠DCB B MN=EF F是DC的中点 EF=1/2 DC 四边形ABCD是矩形． 分析： 四边形ABCD是矩形． 四边形ABCD是平行四边形． 对角线相等

在直角梯形ABCD中 A D AD∥BC ∠ADC=∠DCB＝90 ∠DEC＝90 DE=CD DE,CE分别平分∠ADC，∠DCB N BC,E点在AB上，DE，CF分别平分∠ADC,∠DCB 又M,N,F分别是EC,ED,DC的中点．求证：四边形ABCD是正方形． 证明： 在直角梯形ABCD中 A D AD∥BC　　∠ADC=∠DCB＝90 ∠DEC＝90 DE=CD DE,CE分别平分∠ADC，∠DCB N M,N,F分别是EC,ED,DC的中点 NF∥EM E F ∠ENF＝90 EM=EN M 同理：∠NFM=90 ,∠FME=90 C B 四边形ABCD是正方形． 分析： 四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是矩形． 四个角都是直角